Mô hình hóa quá trình phát tán

166 Ch­¬ng 6. M« h×nh hãa qu¸ tr×nh Ph¸t t¸n 6.1 Giíi thiÖu Nãi chung, c¸c nghiªn cøu ph¸t t¸n nh»m môc ®Ých ®Þnh l­îng ®é pha lo·ng ®¹t ®­îc trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh, d­íi nh÷ng ®iÒu kiÖn khÝ quyÓn vµ h¶i d­¬ng ®Æc tr­ng. M« h×nh to¸n häc cung cÊp ph­¬ng tiÖn ®Ó tÝnh to¸n sù pha lo·ng b»ng c¸ch sö dông d÷ liÖu vÒ møc ®é t¨ng thÓ tÝch bÞ chiÕm chç bëi mét khèi l­îng ®· cho cña chÊt ph¸t t¸n. Møc ®é nµy th­êng ®­îc m« t¶ bëi nh÷ng hÖ sè x¸o trén, mÆc dï cã thÓ ¸p dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p kh¸c, nh­ kü thuËt l¨ng trô thñy triÒu ph¸c th¶o trong môc 6.6.2. Nh÷ng m« h×nh s½n cã víi sù ®a d¹ng vÒ chñng lo¹i, nh÷ng kh¸c biÖt cña chóng th­êng phô thuéc vµo c¸ch m« t¶ sù h¹n chÕ t¨ng tr­ëng bëi c¸c biªn dßng ch¶y. Ch­¬ng nµy ®­a mét tæng quan chø kh«ng m« t¶ chi tiÕt cÊu tróc vµ øng dông cña tÊt c¶ c¸c lo¹i m« h×nh kh¸c nhau. ChØ cã c¸c c«ng thøc t­¬ng ®èi ®¬n gi¶n m« t¶ tr­íc ®©y s½n ®­îc gi¶i trong ch­¬ng nµy trªn c¬ së nh÷ng chi tiÕt ®· cho - ®èi víi nh÷ng m« h×nh tiªn tiÕn h¬n, hÇu hÕt ®ßi hái n¨ng lùc tÝnh to¸n ®¸ng kÓ, ng­êi lµm m« h×nh cã lÏ ph¶i tham chiÕu ®Õn nh÷ng tµi liÖu chuyªn m«n vÒ kü thuËt sè. Nh÷ng m« h×nh tiªn tiÕn ®­îc ®Ò cËp trong ch­¬ng nµy ®Ó b¶o ®¶m r»ng ng­êi ®äc ý thøc ®­îc ph¹m vi cña nh÷ng lo¹i m« h×nh s½n cã. Trong mét vµi hoµn c¶nh, phÇn mÒm cho mét m« h×nh nh­ vËy cã thÓ cã s½n, vµ nã sÏ quan träng ®èi víi ng­êi dïng ®Ó hiÓu nh÷ng qu¸ tr×nh ph¸t t¸n ®· ®­îc biÓu thÞ b»ng to¸n häc trong m« h×nh ra sao. Ch­¬ng nµy b¾t ®Çu m« t¶ sù pha lo·ng ban ®Çu cña mét chÊt næi th¶i vµo m«i tr­êng biÓn, khi xuÊt hiÖn t¹i nguån th¶i vµ nh÷ng nguån ®æ vµo kh¸c t¹i ®¸y biÓn. Hai môc tiÕp theo vÒ ph¸t t¸n nh÷ng ®èm loang vµ vÖt loang cung cÊp c¸c c«ng thøc cã thÓ sö dông ®Ó ®¸nh gi¸ 'cèt lâi bªn trong' cña nång ®é, hoÆc pha lo·ng mµ kh«ng cÇn kh¶ n¨ng tÝnh to¸n ®¸ng kÓ. Môc tiÕp theo m« t¶ kü thuËt ngÉu hµnh, mét ph­¬ng ph¸p cã c¸c øng dông thùc tÕ ®a d¹ng nh­ng cÇn mét tµi nguyªn tÝnh to¸n tèt. PhÇn cßn l¹i cña ch­¬ng nµy ph¸c th¶o nh÷ng lo¹i m« h×nh cã thÓ ¸p dông trong c¸c cöa s«ng vµ n­íc ven bê. Môc vÒ nh÷ng m« h×nh mét chiÒu ®èi víi cöa s«ng b¾t ®Çu víi viÖc m« t¶ nh÷ng m« h×nh l¨ng trô thñy triÒu. MÆc dï kü thuËt nµy ®· ®­îc thay thÕ bëi nh÷ng m« h×nh gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng l­îng vµ khèi l­îng (c¸c môc 2.4.2 vµ 4.2.3), quy tr×nh ®­îc nh¾c ®Õn ®Ó chØ ra viÖc cã thÓ xÐt t¸c ®éng thñy triÒu ®Ó suy luËn sù pha lo·ng nh­ thÕ nµo khi x¸o trén ®­îc h¹n chÕ bëi nh÷ng giíi h¹n cña mét cöa s«ng. Trong ph¸c th¶o nh÷ng m« h×nh tiªn tiÕn ë nöa sau ch­¬ng nµy, ®­a ra mét m« t¶ tiÕp cËn cho phÐp ph¸ huû nh÷ng chÊt dÔ bÞ ph©n hñy sinh häc. 167 6.2 Pha lo·ng vµ cuèn theo b»ng Tia Trong khuyÕch t¸n rèi qua mét mÆt ph©n c¸ch, cã vËn chuyÓn khèi l­îng nh­ng kh«ng cã vËn chuyÓn thùc tÕ cña n­íc. 'Cuèn theo' kh¸c víi khuyÕch t¸n ë chç vËn chuyÓn khèi l­îng kÌm theo chuyÓn ®éng thùc tÕ cña n­íc. Sù cuèn theo cã thÓ xuÊt hiÖn khi mét chÊt láng ®ang lan truyÒn nhanh so víi mét chÊt láng kÒ bªn; kh¸c biÖt vËn tèc gi÷a nh÷ng chÊt láng lµm cho mét chÊt láng sÏ bÞ kÐo vµo bªn trong chÊt kh¸c. VÝ dô, khi n­íc s«ng ch¶y ra biÓn trªn n­íc chuyÓn ®éng chËm vµ nhiÒu muèi h¬n ë mét cöa s«ng, nh÷ng chuyÓn ®éng t­¬ng ®èi kÐo n­íc mÆn vµo trong dßng ch¶y mÆt, mét hiÖu øng cã thÓ lµm t¨ng thÓ tÝch vËn chuyÓn vÒ phÝa biÓn cña n­íc nhiÔm mÆn kho¶ng hai m­¬i lÇn l­u l­îng thÓ tÝch ®Õn cöa s«ng do c¸c nguån s«ng nhËp vµo (Bowden, 1967). H×nh 6.1 Sù cuèn theo vµo bªn trong mét tia ®ang tråi lªn, ®­îc h×nh thµnh do viÖc th¶i liªn tôc mét chÊt næi t¹i ®¸y biÓn Do sù cã mÆt cña mét thÓ tÝch n­íc ngät lín, chÊt th¶i hoÆc nh÷ng chÊt th¶i c«ng nghiÖp nãi chung cã mËt ®é thÊp h¬n n­íc biÓn. Nh­ vËy, nh÷ng nguån ®æ xuèng ®¸y biÓn d©ng lªn phÝa mÆt n­íc vµ trë nªn lo·ng bëi sù cuèn theo cña n­íc biÓn ë vïng l©n cËn (h×nh 6.1). NÕu chuyÓn ®éng h­íng lªn cña chÊt th¶i ch­a ®­îc ng¨n ngõa bëi sù cã mÆt cña mét líp cã mËt ®é thÊp, viÖc pha lo·ng tia tiÕp tôc t¨ng lªn cho ®Õn khi nã ®¹t ®Õn mÆt n­íc biÓn vµ lan réng ra ®Ó h×nh thµnh mét tr­êng réng. Tr­êng nµy, ®­îc coi nh­ mét tr­êng 's«i', th­êng râ rµng nhËn ra nh­ mét khu vùc biÓn mÞn phÝa trªn nguån ®æ. Nh÷ng dßng thñy triÒu liªn tôc mang tr­êng chÊt th¶i ra khái khu vùc nguån ®æ, vµ do bÞ pha lo·ng bëi x¸o trén rèi, nã h×nh thµnh mét vÖt loang më réng. Sù pha lo·ng bëi cuèn theo liªn quan ®Õn ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng x¶ vµ giai ®o¹n nµy cña qu¸ tr×nh pha lo·ng th­êng x¸c ®Þnh tõ c«ng thøc kinh nghiÖm h¬n lµ b»ng c¸ch gi¶i nh÷ng ph­¬ng tr×nh c©n b»ng thÓ tÝch vµ ®éng l­îng. Mét hä tiªu biÓu nh÷ng ®­êng cong pha lo·ng ®­îc thiÕt lËp bëi Abraham (1963) trªn c¬ së c¸c thùc nghiÖm víi tia trong nh÷ng bÓ n­íc yªn tÜnh. Nh÷ng ®­êng cong nµy liªn hÖ sù pha lo·ng mét tia ®ang d©ng lªn theo tû lÖ cña ®é s©u n­íc víi ®­êng kÝnh cña cöa tho¸t, vµ víi 'sè Froude tia' Fj cña 168 dßng ch¶y. Sè Froude liªn quan ®Õn mËt ®é tøc thêi cña tia j, vµ mËt ®é n­íc bao quanh a, víi vËn tèc tia u bëi biÓu thøc   5,0' j j dg u F  (6.1) trong ®ã g' = g(a-j)/a vµ dj lµ ®­êng kÝnh cña tia. Mét c«ng thøc h÷u Ých ®èi víi ®é pha lo·ng D0 ph¸t sinh do sù cuèn theo, cho mét kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ nh÷ng ®­êng cong pha lo·ng cña Abraham lµ 3/5 0 66,0 38,0 54,0          jj j Fd h FD (6.2) trong ®ã h lµ toµn bé ®é s©u n­íc (Cederwall, 1968). VÝ dô Víi viÖc x¶ l­u l­îng lµ 0,1 m3 s-1 tõ mét nguån ®æ cã ®­êng kÝnh 0,3 m ®Þnh vÞ t¹i ®¸y biÓn trong n­íc cã ®é s©u 12 m, ®ßi hái ®¸nh gi¸ ®é pha lo·ng ban ®Çu t¹i mÆt n­íc biÓn. Víi mËt ®é cña nguån th¶i lµ 1005 kgm-3 vµ mËt ®é n­íc biÓn lµ 1020 kgm-3, gia tèc triÕt gi¶m do träng lùc lÊy b»ng g'= 9,81 x ( 1020 - 1005) /1020 = 0,144 ms-2. VËn tèc uj lÊy b»ng l­u l­îng thÓ tÝch chia cho diÖn tÝch mÆt c¾t cña nguån ®æ, cho ta u = 0,1/ x (0,3 / 2)2= 1,41 ms-1. Do ®ã tõ ph­¬ng tr×nh (6.1), Fj = 1,41 /(0,144 x 0,3) 1/2 = 6,8. Tõ ph­¬ng tr×nh (6.2), D0= 0,54 x 6,8 [( 0,38 x 12) /( 0,3 x 6,8) +0,66] 5/ 3 = 21,4 lÇn. §©y lµ tiªu biÓu cña ®é pha lo·ng ban ®Çu do t¨ng ®é næi nhËn ®­îc trong n­íc t­¬ng ®èi n«ng nh­ vËy. CÇn thÊy r»ng c«ng thøc hîp lý víi n­íc yªn tÜnh, nh­ cã thÓ thÊy trong biÓn t¹i nh÷ng thêi gian thñy triÒu dõng khi h­íng dßng ch¶y ®¶o ng­îc. C«ng tr×nh thùc nghiÖm chØ ra r»ng cã thÓ thu ®­îc nh÷ng pha lo·ng ban ®Çu h¬i cao h¬n khi th¶i vµo n­íc ®ang chuyÓn ®éng. §èi víi mét tia chÊt láng næi tõ mét nguån trong biÓn, tÝnh liªn tôc thÓ tÝch ®ßi hái r»ng bduQD v 00  (6.3) trong ®ã D0 lµ ®é pha lo·ng ban ®Çu do cuèn theo, Qv lµ l­u l­îng thÓ tÝch th¶i qua miÖng tia, u0 lµ vËn tèc dßng ch¶y bao quanh ®i qua ®iÓm th¶i, b lµ chiÒu réng ban ®Çu cña tr­êng næi vµ d lµ ®é s©u cña nã (h×nh 6.1). Nh÷ng biÓu thøc nµy cho thÊy chiÒu réng vµ ®é s©u ban ®Çu cña tr­êng phô thuéc vµo vËn tèc dßng ch¶y ra sao, vµ khi dßng ch¶y bao quanh ®­îc chØ râ, cã thÓ sö dông ®Ó ®¸nh gi¸ nh÷ng biÕn nµy nÕu c¸c ®Æc tr­ng kh¸c ®· x¸c ®Þnh. Mét xÊp xØ th­êng sö dông lµ gi¶ thiÕt r»ng ph©n bè nång ®é ngang qua tr­êng lµ Gauss vµ ph©n bè th¼ng ®øng lµ b¸n Gauss. D¹ng ph©n bè nång ®é Gauss ®­îc cho trong h×nh 4.3; d¹ng b¸n Gauss liªn quan ®Õn mét nöa ph©n bè nµy, lÊy tõ mét ®­êng ®èi xøng qua nång ®é cùc ®¹i. Mét thuéc tÝnh h÷u Ých cña ph©n bè nång ®é Gauss lµ chiÒu réng b gi÷a c¸c ®iÓm, b»ng mét phÇn m­êi nång ®é cùc ®¹i, b»ng 4,3 lÇn ®é lÖch chuÈn cña ph©n bè, ®é lÖch chuÈn ®­îc x¸c ®Þnh trong môc 6.3.1; gi¸ trÞ nµy ®­îc lµm trßn thµnh 4,0 ®èi 169 víi ®a sè c¸c øng dông thùc tÕ. T­¬ng tù, ®èi víi ph©n bè nång ®é b¸n Gauss trong h­íng th¼ng ®øng, ®é t¸ch ra d gi÷a mÆt n­íc vµ ®é s©u mµ nång ®é t¹i ®ã b¨ng mét phÇn m­êi cùc ®¹i, xÊp xØ b»ng hai lÇn ®é lÖch chuÈn cña ph©n bè (h×nh 6.2). Nh­ vËy 4 0 b y  2 0 d z  (6.4) trong ®ã y0 vµ z0 lµ c¸c ®é lÖch chuÈn ban ®Çu cña tr­êng mÆt n­íc. Nhí r»ng nång ®é cùc ®¹i xuÊt hiÖn t¹i vÞ trÝ y = 0, ng­êi ®äc cã thÓ muèn chøng minh r»ng yÕu tè thËt sù lµ 4,3 trong quan hÖ gi÷a y0 vµ b, b»ng c¸ch sö dông c«ng thøc ®èi víi ph©n bè Gauss ®· cho trong ph­¬ng tr×nh (6.8) d­íi ®©y. H×nh 6.2 §é s©u d t¹i ®ã nång ®é b»ng 1/10 nång ®é mÆt n­íc ®èi víi ph©n bè b¸n Gauss KÕt hîp nh÷ng ph­¬ng tr×nh (6.3) vµ (6.4), ®é lÖch chuÈn th¼ng ®øng ban ®Çu cña tr­êng nguån ®æ cho b»ng 00 0 0 8 y v z u QD    . (6.5) §èi víi nh÷ng môc ®Ých m« h×nh ho¸, th­êng cÇn ®¸nh gi¸ ®é lÖch chuÈn h­íng ®øng vµ h­íng ngang t¹i lóc cuèi giai ®o¹n pha lo·ng ban ®Çu. Trong nhiÒu tr­êng hîp chiÒu réng b cña tr­êng cã thÓ ®¸nh gi¸ t¹i giai ®o¹n nµy, hoÆc bëi vÕt loang thÊy ®­îc trªn mÆt n­íc, hoÆc bëi viÖc th¶i th«ng qua mét m¸y khuÕch t¸n nhiÒu cæng cã ®é dµi cho tr­íc c¾t qua dßng ch¶y, cã thÓ gi¶ thiÕt b»ng b. Víi viÖc sö dông ph­¬ng tr×nh (6.4), cã thÓ tÝnh to¸n ®é lÖch chuÈn h­íng ngang y0, vµ sau ®ã ®é lÖch chuÈn ban ®Çu cña ph©n bè th¼ng ®øng, tÝnh to¸n tõ ph­¬ng tr×nh (6.5). §©y lµ ®iÓm b¾t ®Çu ®Ó tÝnh to¸n sù pha lo·ng thø cÊp tiÕp theo trong mét vÖt loang liªn tôc. 6.3 ph¸t t¸n ®èm loang 6.3.1 Ph­¬ng ph¸p thÓ hiÖn Gauss Nh÷ng m« h×nh dù ®o¸n nång ®é t¹i giai ®o¹n nµo ®ã trong qu¸ tr×nh khuÕch t¸n dùa vµo gi¶ thiÕt r»ng, mÆc dï thÓ tÝch bÞ chiÕm chç bëi vËt chÊt t¨ng theo thêi gian, toµn bé khèi l­îng lµ kh«ng ®æi. NÕu biÕt khèi l­îng cña vËt chÊt, th× vÊn ®Ò gi¶m thiÓu tíi 170 viÖc x¸c ®Þnh kÝch th­íc cña thÓ tÝch sau thêi gian khuyÕch t¸n x¸c ®Þnh nµo ®ã. Ph©n bè nång ®é trong mét h­íng ®· cho th­êng cã d¹ng h×nh chu«ng, cã thÓ gièng víi hµm Gauss, vµ møc tr¶i réng cña ph©n bè nµy cã thÓ biÓu thÞ bëi ®é biÕn thiªn cña nã. Th«ng th­êng m« t¶ ®é biÕn thiªn cña ph©n bè nång ®é nh­ sau       cdy dycy y 2 2 (6.6) trong ®ã c lµ nång ®é t¹i bÊt kú vÞ trÝ y nµo. Trong biÓu thøc nµy mÉu sè thÓ hiÖn toµn bé khèi l­îng cña chÊt trong mét ®o¹n cã ®é dµy dx vµ ®é s©u dz. NÕu M lµ toµn bé khèi l­îng cña chÊt th¶i th×       cdxdydzM . (6.7) Khi ph©n bè thùc sù lµ Gauss, hµm f(y) m« t¶ sù biÕn ®æi theo h­íng y b»ng            2 2 2 exp 2 1 yy y yf  (6.8) trong ®ã nh÷ng biÓu thøc t­¬ng ®­¬ng ¸p dông trong nh÷ng h­íng täa ®é kh¸c. NÕu mét ®èm loang chÊt khuÕch t¸n kh«ng cã bÊt kú sù ®èi xøng nµo trong ph©n bè nång ®é cña nã, nh­ cã thÓ xuÊt hiÖn víi mét tËp hîp cña c¸c h¹t khuÕch t¸n ®éc lËp, th× sù lan réng theo trôc y cã thÓ m« t¶ b»ng            dxdydzytzyxc M y 22 ,,, 1  . (6.9) BiÓu thøc nµy lµ mét sè ®o chiÒu réng toµn bé ®èm loang nh­ng ®ßi hái mét ®Æc tr­ng tr­êng nång ®é trong ba chiÒu (Csanady, 1973: tr. 27). §èi víi nhiÒu môc ®Ých, cã thÓ thùc hiÖn sù ®¬n gi¶n hãa lµ biÕn thiªn cña mét ph©n bè trong mét h­íng sÏ ®éc lËp víi hai h­íng kh¸c. D­íi nh÷ng hoµn c¶nh nh­ vËy, nång ®é t¹i bÊt kú ®iÓm nµo cã thÓ viÕt    zfyfxMftzyxc 321 )(),,,(  (6.10) trong ®ã nh÷ng hµm sè fi thÓ hiÖn nh÷ng ph©n bè Gauss cã d¹ng ®· cho trong ph­¬ng tr×nh (6.8). Nh­ vËy nång ®é nµy cã thÓ viÕt                  2 2 2 2 2 2 2/3 2 1 exp )2( ),,,( zyxzyx zyxM tzyxc  . (6.11) BiÓu thøc nµy m« t¶ ph©n bè nång ®é trong ba chiÒu khi sù lan réng cña ®èm loang vËt chÊt ch­a ®­îc chÆn bëi nh÷ng biªn hoÆc nh÷ng líp ph©n tÇng trung gian. Mét sè nghiªn cøu ph¸t t¸n chÊt chØ thÞ mµu ph¸t quang ®· chØ ra r»ng trong nh÷ng ®iÒu kiÖn rèi sù ph©n bè chÊt chØ thÞ lµ mét xÊp xØ tèt víi Gauss trong mÆt ph¼ng n»m ngang 171 (Csanady, 1973: tr. 82; Bowden vµ nnk., 1974). Nãi chung, hiÖu øng cña cÊu tróc mËt ®é th¼ng ®øng c¶n trë ph©n bè th¼ng ®øng do viÖc lÊy d¹ng Gauss. Tuy nhiªn, ®Ó m« t¶ ph©n bè nång ®é cña ®èm loang vËt chÊt b»ng nh÷ng sè h¹ng to¸n häc, tiÖn lîi h¬n lµ gi¶ thiÕt ph©n bè ®ã lµ Gauss trong tÊt c¶ ba h­íng. Trong ®iÒu kiÖn x¸o trén m¹nh ®èm loang cã thÓ n»m t¹i mÆt n­íc, hoÆc cã thÓ gÇn ®¸y, cho nªn sù lan réng th¼ng ®øng bÞ h¹n chÕ. Cã thÓ tÝnh ®Õn hiÖu øng cña biªn lªn ph©n bè b»ng viÖc lÊy mét nöa ®é lan réng nh­ ®· cho b»ng hµm sè f3(z), sao cho ph©n bè th¼ng ®øng ®ã lµ 'b¸n Gauss' (h×nh 6.2) vµ    zfyfxMftzyxc 321 )(2),,,(  (6.12) vµ t¹i t©m ®èm loang zyx M tc  2/32 ),0,0,0(  . (6.13) Mét trong nh÷ng ­u ®iÓm cña viÖc sö dông nh÷ng hµm ®éc lËp ®· cho trong ph­¬ng tr×nh (6.10) lµ nÕu ph©n bè lµ ®ång nhÊt trong mét h­íng to¹ ®é, th× hµm sè trong h­íng ®ã ®¬n gi¶n ®Õn mét ®é dµi nghÞch ®¶o. VÝ dô, nÕu ph©n bè ®ång nhÊt theo ®é s©u f3( z) = 1/h, trong ®ã h lµ toµn bé ®é s©u, vµ nång ®é t¹i t©m ®èm loang nµy trë thµnh yxh M tc  ),0,0( . (6.14) Trong thùc tÕ, h cã thÓ lµ ®é s©u xuèng ®Õn mÆt ph©n c¸ch mËt ®é nµo ®ã mµ ng¨n chÆn x¸o trén rèi th¼ng ®øng. Tû lÖ cña nh÷ng ®é lÖch chuÈn h­íng däc so víi h­íng ngang t¹i bÊt kú thêi ®iÓm nµo lµ mét sè ®o tiÖn lîi vÒ møc ®é cña ­u thÕ ph¸t t¸n tr­ît theo mét trong sè hai h­íng thµnh phÇn nµy. Tû lÖ rv nµy x¸c ®Þnh b»ng y x vr    (6.15) ph¶i b»ng 1 nÕu nh÷ng ®iÒu kiÖn lµ ®¼ng h­íng theo h­íng ngang vµ lµm cho ®èm loang cã h×nh trßn. 6.3.2 Nguån cã chiÒu réng h÷u h¹n C«ng thøc nãi trªn gi¶ thiÕt r»ng vËt chÊt ®æ xuèng nh­ mét nguån ®iÓm. Trong thùc tÕ, tr­êng h×nh thµnh bëi mét sù th¶i rêi r¹c vËt chÊt sÏ cã kÝch th­íc h÷u h¹n tr­íc khi sù lan réng khuÕch t¸n thËt sù b¾t ®Çu. §iÒu nµy ph¶i ®­îc tÝnh ®Õn trong viÖc thiÕt lËp mét m« h×nh ®Ó m« t¶ sù thay ®æi nång ®é theo thêi gian khuyÕch t¸n, mµ th­êng ®­îc ®o tõ thêi gian mµ t¹i ®ã mét phÇn tö h×nh thµnh mét phÇn cña tr­êng trªn mÆt. Gi¶ thiÕt r»ng nh÷ng biÕn thiªn ban ®Çu vµo thêi gian t = 0 cã mét ®é lín h÷u h¹n b»ng viÖc chÊp nhËn nh÷ng ph­¬ng tr×nh 22 0 2 xtxx   (6.16) trong ®ã nh÷ng chØ sè d­íi 0 vµ t quy vÒ nh÷ng biÕn thiªn cña tr­êng ban ®Çu t¹i mÆt n­íc vµ phÇn cña ph©n bè kÕ tiÕp do x¸o trén thuÇn tóy rèi g©y ra. Nh÷ng biÓu thøc 172 t­¬ng øng cã thÓ ph¸t biÓu ®èi víi nh÷ng h­íng thµnh phÇn kh¸c. T¹i t = 0, xt b»ng kh«ng nªn x0 2 thÓ hiÖn sù biÕn thiªn ph©n bè däc cña tr­êng ban ®Çu. Ph­¬ng tr×nh (6.16) cã thÓ thay vµo ph­¬ng tr×nh (6.11) ®Ó cung cÊp mét biÓu thøc cho nång ®é cña ®èm loang cã kÝch th­íc h÷u h¹n ban ®Çu. Mét d¹ng ®Æc biÖt h÷u Ých ®èi víi nång ®é trªn mÆt t¹i t©m ®èm loang, lan réng tõ mét tr­êng ban ®Çu cã kÝch th­íc h÷u h¹n 2/122 0 2/122 0 2/122 0 2/3 )()()(2 ),0,0,0( ztzytyxtx M tc    . (6.17) H×nh 6.3 VÖt loang ®­îc m« t¶ nh­ (a) sù xÕp chång mét ®ît c¸c ®èm loang rêi r¹c, hoÆc (b) mét ®ît c¸c l¸t máng §Ó ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.17), mét ®¸nh gi¸ biÕn thiªn ban ®Çu cña ®èm loang cã thÓ x¸c ®Þnh tõ kÝch th­íc cña nã khi sö dông ph­¬ng tr×nh (6.4), vµ nh÷ng biÕn thiªn kÕ tiÕp sau thêi gian khuyÕch t¸n t nµo ®ã sÏ x¸c ®Þnh tõ c¸c mèi quan hÖ cña c¸c hÖ sè x¸o trén, nh­ ®· cho trong nh÷ng ph­¬ng tr×nh (5.23) vµ (5.24). 6.4 ph¸t t¸n nh÷ng vÖt loang 6.4.1 VÖt loang Gauss VÖt loang h×nh thµnh bëi viÖc th¶i liªn tôc cã thÓ xÊp xØ b»ng sù chång kÕ tiÕp lªn nhau cña c¸c ®èm loang riªng biÖt (h×nh 6.3 (a)). Hîp lý khi gi¶ thiÕt r»ng sù x¸o trén lÉn nhau gi÷a nh÷ng mÆt c¾t kÒ bªn cña mét vÖt loang trong h­íng x kh«ng cã hiÖu øng ®¸ng kÓ lªn nång ®é v× nh÷ng gradient nång ®é theo h­íng ®ã ph¶i t­¬ng ®èi thÊp so víi nh÷ng gradient trong h­íng ®øng vµ ngang. ThÊy r»ng mét vÖt loang cã thÓ xÐt nh­ mét ®ît nh÷ng l¸t máng, qua ®ã kh«ng cã vËn chuyÓn khuÕch t¸n (h×nh 6.3 (b)). Trong mçi l¸t nh÷ng ph©n bè nång ®é cã thÓ vÉn lÊy nh­ Gauss vµ nång ®é t¹i mét ®iÓm trong vÖt loang ch­a bÞ h¹n chÕ bëi bÊt kú biªn nµo nh­ mÆt n­íc hoÆc ®¸y biÓn, b»ng )()()/(),,( 320 zfyfuQtzyc  (6.18) 173 trong ®ã Q lµ l­u l­îng khèi l­îng vµ u0 lµ vËn tèc cña dßng ch¶y t¹i nguån. Tû lÖ Q/u0 thÓ hiÖn khèi l­îng vËt chÊt ®­a vµo trong mçi l¸t máng trong mÆt ph¼ng y-z. Cã thÓ thÊy r»ng nÕu dßng ch¶y chËm, khèi l­îng ®æ xuèng trong mét ®¬n vÞ thêi gian ®i vµo thÓ tÝch sÏ nhá h¬n so víi khi dßng ch¶y nhanh, vµ nh­ vËy lµm cho nång ®é ban ®Çu cao h¬n. Thay thÕ biÓu thøc ®èi víi ph©n bè h­íng ngang, ®· cho trong ph­¬ng tr×nh (6.8), vµ mét biÓu thøc t­¬ng ®­¬ng ®èi víi ph©n bè th¼ng ®øng dÉn ®Õn                  2 2 2 2 0 2 1 exp 2 ),,( zyzy zy u Q tzyc  . (6.19) §©y lµ ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n m« t¶ mét vÖt loang vËt chÊt më réng trong dßng ch¶y æn ®Þnh khi kh«ng cã h¹n chÕ lªn sù lan réng h­íng ngang hoÆc ®øng cña nã. Tuy nhiªn, nÕu vÖt loang ®­îc ®Þnh vÞ t¹i mÆt biÓn ®Ó nã chØ cã kh¶ n¨ng x¸o trén xuèng d­íi, th× m« h×nh nh­ vËy cã thÓ ¸p dông khi gi¶ thiÕt cã sù ph¶n x¹ hoµn toµn lªn mÆt ph¼ng h×nh thµnh bëi mÆt n­íc, chøng tá r»ng nång ®é ®­îc gÊp ®«i. §iÒu nµy dÉn ®Õn mét ph­¬ng tr×nh söa ®æi                  2 2 2 2 0 2 1 exp),,( zyzy zy u Q tzyc  . (6.20) Däc theo trôc vÖt loang y = 0 vµ z = 0, vµ x¸c ®Þnh nång ®é c(0, 0, t) däc trôc nµy theo cp, ph­¬ng tr×nh (6.20) cã thÓ viÕt                  2 2 2 2 2 1 exp),,( zy p zy ctzyc  (6.21) trong ®ã zy p u Q tcc  0 ),0,0(  . (6.22) BiÓu thøc nµy ®èi víi cp ®¬n gi¶n ph¸t biÓu r»ng nång ®é t¹i mÆt biÓn phô thuéc vµo sù lan réng, x¸c ®Þnh bëi ®é lÖch chuÈn cña mét khèi l­îng chÊt nhÊt ®Þnh Q/u0 trong mçi phÇn tö thÓ tÝch ®i qua ®iÓm x¶ trong mét ®¬n vÞ thêi gian. NÕu x¸o trén ®ñ m¹nh ®Ó nång ®é cña chÊt hoµ tan ®ång nhÊt theo ®é s©u, ph­¬ng tr×nh (6.19) ë trªn cã thÓ tÝch ph©n ®Ó cã nång ®é trung b×nh ®é s©u. Nång ®é nµy b»ng        yy m y hu Q tyc 2 2 0 2/1 2 1 exp )2( ),(  (6.23) trong ®ã, trong vÝ dô nµy, u0 lµ dßng ch¶y trung b×nh ®é s©u. 6.4.2 Cho phÐp ®èi víi giíi h¹n biªn VËt chÊt ®æ liªn tôc xuèng mÆt biÓn sÏ trë nªn x¸o trén xuèng tíi ®¸y. Tr­íc khi ®¹t ®Õn mét tr¹ng th¸i ®ång nhÊt th¼ng ®øng hoµn toµn, nång ®é t¹i mÆt biÓn bÞ ¶nh 174 h­ëng bëi vËt chÊt x¸o trén ng­îc tõ ®¸y. Qu¸ tr×nh nµy cã thÓ biÓu thÞ b»ng viÖc xem xÐt ph©n bè ph¶n x¹ tõ biªn ®¸y cho nªn nh÷ng ph­¬ng tr×nh (6.21) vµ (6.22) cho ta                                2 2 2 2 2 2 )2( 2 1 exp 2 1 exp 2 1 exp),,( zzy p hzzy ctzyc  (6.24) trong ®ã h lµ toµn bé ®é s©u. Lý luËn còng ¸p dông ®èi víi x¸o trén xuèng ®Õn mÆt ph©n c¸ch mËt ®é t¹i ®é s©u trung gian nµo ®ã d­íi mÆt n­íc. Sù xÊp xØ nµy cã thÓ c¶i thiÖn b»ng viÖc bæ sung thªm mét chuçi c¸c sè h¹ng ®Ó cho phÐp nhiÒu ph¶n x¹ (Pasquill vµ Smith, 1983: tr. 328). Khi y = 0 vµ z = 0, ph­¬ng tr×nh ( 6.24) ®¬n gi¶n thµnh                2 22 exp1),0,0( z p h ctc  . (6.25) BiÓu thøc nµy chØ ra sù cho phÐp hiÖu øng ph¶n x¹ tõ ®¸y lªn nång ®é theo trôc cña vÖt loang t¹i mÆt biÓn cã thÓ thùc hiÖn ra sao. Cã thÓ viÕt ra mét ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng ®Ó m« t¶ ¶nh h­ëng cña ph¶n x¹ mÆt n­íc lªn nång ®é t¹i ®¸y biÓn ®èi víi viÖc th¶i t¹i sµn ®¸y biÓn. H×nh 6.4 Ph©n bè nång ®é theo trôc c(0, z, t) cña vÖt loang víi ph©n bè b¸n Gauss theo h­íng th¼ng ®øng so víi nång ®é cm(0, t) víi ph©n bè x¸o trén th¼ng ®øng hoµn toµn Ph­¬ng tr×nh (6.24) kh¸ phøc t¹p, vµ ®èi víi nh÷ng øng dông thùc tÕ trong m«i tr­êng biÓn tèt h¬n hÕt lµ ¸p dông ph­¬ng tr×nh (6.20) trong hai giai ®o¹n kh¸c nhau: Giai ®o¹n 1: z < 0,8 h, x¸o trén th¼ng ®øng kh«ng bÞ ¶nh h­ëng bëi ®¸y vµ z trong ph­¬ng tr×nh (6.20) lÊy b»ng z = (2Kzt) 1/ 2. Giai ®o¹n 2: z  0,8 h, gi¶ thiÕt x¸o trén th¼ng ®øng sÏ hoµn toµn vµ z lÊy b»ng 0,8 h trong ph­¬ng tr×nh (6.20). 175 VÝ dô H×nh 6.4 chØ ra nång ®é c(0, z, t) lóc ®©ï cã ph©n bè b¸n Gauss theo ®é s©u nh­ thÕ nµo. X¸o trén th¼ng ®øng lµm cho nång ®é mÆt n­íc gi¶m trong khi nång ®é ®¸y biÓn t¨ng lªn - nh÷ng ph©n bè tiªu biÓu ®­a ra t¹i c¸c thêi gian t1 vµ t2 trong qu¸ tr×nh x¸o trén. Tr­íc khi mét chÊt hoµ tan x¸o trén tíi ®¸y, nång ®é c(y, 0, t) t¹i mÆt biÓn do ph­¬ng tr×nh (6.20) ®­a ra víi z = 0, bá qua ph¶n x¹ tõ ®¸y biÓn ®· nãi trong môc nµy tr­íc ®©y; v× sù x¸o trén tiÕp tôc, c(y, 0, t) tiÕp cËn ®Õn nång ®é x¸o trén hoµn toµn cm(y, t) ®· cho bëi ph­¬ng tr×nh (6.23). §iÒu kiÖn mµ t¹i ®ã x¸o trén hoµn toµn cã thÓ minh häa b»ng viÖc lÊy tû lÖ cña ph­¬ng tr×nh ( 6.20) (t¹i z = 0) ®èi víi ph­¬ng tr×nh (6.23), cho ta zzm hh tyc tyc  8,0 2 ),( ),0,( 2/1        . Nh­ vËy lµ nång ®é c(y, 0, t) b¾t nguån tõ ph­¬ng tr×nh (6.20) b»ng c¸ch thay z b»ng 0,8 h t­¬ng tù nh­ nång ®é x¸o trén hoµn toµn do ph­¬ng tr×nh (6.23) ®­a ra. Cho r»ng z gi¶ thiÕt b»ng 0,8h vµ lµ h»ng sè sau khi nã ®· v­ît qu¸ 0,8h, ph­¬ng tr×nh vÖt loang (6.20) cã thÓ ¸p dông trong nh÷ng tr¹ng th¸i mµ t¹i ®ã x¸o trén th¼ng ®øng cuèi cïng sÏ ®­îc giíi h¹n. T­¬ng tù, hiÖu øng x¸o trén h­íng ngang gÇn ®­êng bê ®èi víi nång ®é theo trôc vÖt loang cm(0, t) trung b×nh theo ®é s©u, cã thÓ m« t¶ b»ng c¸ch sö dông ph­¬ng tr×nh (6.23) víi nh÷ng gi¸ trÞ y t¨ng cho ®Õn khi y ®¹t 0,8d, trong ®ã d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m vÖt loang ®Õn ®­êng bê; sau ®ã lu«n lu«n cã mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi b»ng 0,8 d. NÕu sù tr¶i réng h­íng ngang cña chÊt tõ mét nguån liªn tôc bÞ h¹n chÕ bëi nh÷ng bê bao ë c¶ hai phÝa vµ x¸o trén ngang qua chiÒu réng nhanh h¬n nhiÒu x¸o trén xuèng d­íi, th× sù gi¶m tiÕp theo cña nång ®é sÏ phô thuéc vµo x¸o trén th¼ng ®øng. Mét t×nh huèng nh­ vËy cã thÓ xuÊt hiÖn trong cöa s«ng hÑp t­¬ng ®èi s©u, ®Æc biÖt trong ®ã x¸o trén th¼ng ®øng ®­îc ng¨n chÆn bëi mét møc ®é ph©n tÇng. Nång ®é qua hÖ thèng ®­îc lÊy ®ång nhÊt vµ mét biÓu thøc ®èi víi nång ®é cA t¹i bÊt kú ®é s©u z nµo cã thÓ dÉn xuÊt b»ng viÖc tÝch ph©n ph­¬ng tr×nh (6.19) theo gi¸ trÞ y ®Ó cho ta        2 2 0 2/1 2 exp )2( ),( zz A z u Q tzc  (6.26) trong ®ã Qw, l­u l­îng khèi l­îng th¶i trªn chiÒu réng ®¬n vÞ. Nång ®é cA nµy t­¬ng øng víi mét nguån v« h¹n trªn ®­êng n»m ngang. Trong nh÷ng tr¹ng th¸i mµ sù lan réng h­íng ngang cña vÖt loang kh«ng bÞ h¹n chÕ, nång ®é cA, ®­¬c tÝch ph©n theo tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ y, lµ mét tham sè h÷u Ých bëi v× nã cã thÓ biÓu thÞ toµn bé khèi l­îng trªn ®é s©u ®¬n vÞ cña mét chÊt trong bÊt kú mÆt c¾t nµo qua vÖt loang. Nh­ vËy b»ng viÖc so s¸nh nh÷ng gi¸ trÞ cA t¹i nh÷ng ®é s©u kh¸c nhau nhËn ®­îc tõ nh÷ng b¶n ghi liªn tôc nång ®é chÊt chØ thÞ, cã thÓ sö dông ®Ó kh¶o s¸t ph©n bè th¼ng ®øng cña khèi l­îng trong mét mÆt c¾t ngang cña vÖt loang; ®iÒu nµy tr¸nh viÖc ph¶i bËn t©m vÒ nh÷ng hiÖu øng x¸o trén ngang khi ®¸nh gi¸ nh÷ng hÖ sè x¸o trén th¼ng ®øng. 176 6.4.3 Nguån cã chiÒu réng h÷u h¹n Víi m« h×nh ®èm loang rêi r¹c, nh÷ng ph­¬ng tr×nh vÖt loang gi¶ thiÕt r»ng chÊt ®ang nãi ®Õn ®­îc ®æ xuèng tõ mét nguån ®iÓm. Trong thùc tÕ, nh÷ng èng th¶i hoÆc nh÷ng lç khuÕch t¸n cã thÓ ®ñ nhá ®Ó gi¶ thiÕt nµy hîp lÖ, nh­ng tr­êng mÆt n­íc ®­îc h×nh thµnh bëi nguån th¶i l¹i cã chiÒu réng ban ®Çu h÷u h¹n. §Ó cho phÐp ®iÒu nµy, nh÷ng biÕn thiªn thÓ hiÖn chiÒu réng vµ bÒ dµy cña vÖt loang cã thÓ liªn quan ®Õn kÝch th­íc nguån t­¬ng øng nh­ trong ph­¬ng tr×nh (6.16). Thay nh÷ng biÕn thiªn nµy vµo ph­¬ng tr×nh (6.21) cho ta                     22 0 2 22 0 2 2 1 exp),,( ztzyty pr zy ctzyc  (6.27) trong ®ã 2/122 0 2/122 00 )()( ztzyty pr u Q c    . (6.28) Hai ph­¬ng tr×nh nµy cã thÓ sö dông ®Ó m« t¶ nång ®é t¹i mÆt biÓn cña chÊt ph¸t ra tõ mét nguån liªn tôc. Trong mét vµi øng dông thùc tÕ, ®iÒu h÷u Ých lµ biÓu thÞ ph­¬ng tr×nh (6.28) d­íi d¹ng pha lo·ng t­¬ng ®èi so víi nång ®é khëi ®iÓm cña tr­êng ban ®Çu. S¾p xÕp l¹i ta cã 2/1 2 0 2 2/1 2 0 2 000 11                    z zt y yt zy pr u Q c      . (6.29) Do ®ã ®é pha lo·ng D1 cho b»ng 2/1 2 0 2 2/1 2 0 2 0 1 11                   z zt y yt prc c D     (6.30) trong ®ã 0000 / zyuQc  . KÕt qu¶ nµy cã thÓ sö dông ®Ó ®¸nh gi¸ 'sù pha lo·ng thø cÊp', xuÊt hiÖn sau giai ®o¹n t¨ng ®é næi, ®èi víi mét nguån ®æ ra t¹i ®¸y biÓn. Møc ®é më réng cña vÖt loang nµy ®­îc dÉn ra b»ng viÖc biÓu thÞ nh÷ng ®é biÕn thiªn yt 2, zt 2 d­íi d¹ng nh÷ng hÖ sè x¸o trén vµ thêi gian ph¸t t¸n, ë d¹ng ph­¬ng tr×nh (4.17). Cã thÓ chó ý r»ng nÕu tr­êng ban ®Çu rÊt réng, th× sù pha lo·ng t¨ng do t¨ng tr­ëng h­íng ngang cña vÖt loang cã thÓ nhá so víi ¶nh h­ëng cña x¸o trén xuèng d­íi. 6.5 nh÷ng m« h×nh NgÉu hµnh 'M« h×nh ngÉu hµnh' kh«ng ¸p dông ph­¬ng tr×nh c©n b»ng khèi l­îng gièng nh­ nh÷ng m« h×nh m« t¶ trong hai môc tr­íc ®©y - khèi l­îng cña chÊt ph¸t t¸n ®­îc thÓ hiÖn bëi mét ®¸m h¹t, mçi h¹t t­¬ng ®­¬ng víi mét phÇn cña vËt chÊt. M« h×nh theo dâi sù chuyÓn ®éng cña mçi h¹t trong ba chiÒu khi nã ®­îc vËn chuyÓn bëi dßng ch¶y vµ dÞch chuyÓn theo h­íng däc, h­íng ngang hoÆc th