Nghiên cứu ổn định vị trí cân bằng của hệ con lắc ngược

1 Nghiên cứu ổn định vị trí cân bằng của hệ con lắc ngược Nguyễn Đông Anh1, Khổng Doãn Điền2, Nguyễn Duy Chinh2 1 Viện Cơ Học, 2 Đại học Thuỷ Lợi Tóm tắt: Khi lắp bộ hấp thụ dao động dạng TMD [TMD-Tuned mass damper] vào cơ cấu con lắc ngược thì trạng thái làm việc của con lắc ngược sẽ có những thay đổi so với thiết kế ban đầu. Bởi vậy trong bài báo này các tác giả nghiên cứu tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động, để tìm ra các điều kiện đảm bảo là hệ ổn định chuyển động theo tiêu chuẩn của kỹ thuật . 1. Mở đầu: Cùng với sự phát triển của đất nước, các công trình có quy mô ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao. Sự gia tă ng về quy mô kết cấu, dẫn tới sự gia tă ng độ nhậy cảm dao động khi chịu kích động ngoài nên công trình sẽ phát sinh những dao động có hại ... để giảm dao động cho cơ cấu ta có thể tă ng độ cứng vững của kết cấu, tuy nhiên cách này ít được sử dụng vì chi phí cho công trình lớn . Cách thứ hai để giảm dao động động cho cơ cấu là sử dụng các bộ hấp thụ dao động. Sử dụng các bộ hấp thụ dao động là một lĩnh vực công nghệ hiện đại, mới phát triển nhanh chóng trong vài chục năm gần đây. Với ưu điểm về kỹ thuật và kinh tế, công nghệ này đã và đang được áp dụng rộng rãi trên thế giới. Khi lắp đặt bộ hấp thụ dao động vào cơ cấu, chính là gia tăng thêm tải trọng vào cơ cấu mà ta nghiên cứu, bởi vậy các tải trọng này cần đảm bảo một giới hạn nào đó để hệ làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật, trong bài báo này các tác giả nghiên cứu tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động, để tìm ra các điều kiện cần có của thiết kế của bộ hấp thụ dao động đảm bảo cho hệ làm việc ổn định. 2. Sơ đồ tính toán của hệ con lắc ngược có gắn bộ hấp thụ dao động: M k2 U  x y k m c1 G  L Hình 1 Mô hình tính toán cơ cấu có dạng hệ con lắc ngược 2 3. Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ [7]: O 2 2 1 iω t(J m ) m u (k -MLg-mg ) mgu P Le m mu mg k u cu 0                          J: Mômen quán tính của cơ hệ m: khối lượng của bộ TMD M: khối lượng của con lắc ngược  : góc quay của con lắc ngược. u: dịch chuyển của bộ hấp thụ dao động. 4. Tìm điều kiện ổn định của hệ con lắc ngược Từ phương trình vi phân chuyển động của hệ (1) sau một vài phép biến đổi ta đưa hệ về dạng sau: 2 1 1 J (k -MLg) (mg k )u c u 0 m mu mg k u cu 0                          (2) 2 1 2 1 1 k -MLg (mg k ) c ( ) u u J J J k -ML g J k (mg k ) c c u ( )u-( )u J m J m J                                (3) Ta đưa vào các ký hiệu sau: 2 1 2 1 1 k -MLg a ( ) J (mg k ) b J c c J k -ML g Jg a ' J k (mg k ) b ' ( ) m J c c c ' -( ) m J                                     (4) (1) 3 Thay (4) vào (3) ta có phương trình vi phân (3) được viết dưới dạng: a b u c u u a ' b 'u d'u                   (5) Ta chuyển hệ 2 phương trình vi phân cấp 2 này về hệ 4 phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt như sau: 1 2 3 4 x u x x u x            (6) Từ (5) và (6) ta suy ra:                   4213 4213 42 31 x'cx'bx'ax xcxbxax xx xx (7) Có thể viết hệ phương trình (7) dưới dạng ma trận xAx    (8) Với x  là ma trận cột ( véc tơ cột ) A là ma trận vuông cấp 4 x 4 . Theo lý thuyết phương trình vi phân, nghiệm của (8) có thể tìm dưới dạng t s sx B e  (s = 14) (9) ở đây Bs là những hằng số. 4 Đạo hàm (9) theo t ta có: tx B es s    (s = 14) (10) Thay (9) và (10) vào (7) ta có: 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 4 B B 0 B B 0 a B b B B c B 0 a 'B b 'B (c ' )B 0                       (11) Để hệ phương trình (11) không có nghiệm tầm thường cần phải có: 0 1 0 0 0 1 0 a b c a ' b ' 0 c '            (12) Hệ phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng, còn định thức (12) tương ứng là định thức đặc trưng. Khai triển định thức (12) ta có phương trình đặc trưng sau: 4 3 2c ' (a b ') (a c ' a 'c ) (a b ' a 'b ) 0                (13) Theo định luật Hurwitz [6-tr118] để hệ ổn định chuyển động ta cần có:  1 2 3 4 2 5 1 2 3 3 2 4 D c ' 0 D (a b ') 0 D a c ' a 'c 0 D a b ' a 'b 0 D D D D D D D 0                                        (14) 5 Thay (4) vào (14) ta có : 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 4 2 1 1 5 c c D ( ) 0 m J k -MLg k (mg k ) D ( ) ( ) 0 J m J k -MLg c c k -ML g Jg c D ( )( ) 0 J m J J J k -MLg k (mg k ) k -ML g Jg (mg k ) D ( )( ) 0 J m J J J c c k -MLg k (mg k ) D ( ) ( ) ( ) m J J m J                                                      2 2 2 2 2 2 1 1 2 (15) k -MLg c c k -ML g Jg c ( )( ) J m J J J k -MLg c c k -ML g Jg c ( )( ) J m J J J k -MLg k (mg k ) ( ) ( ) J m J k -MLg k J                                         1 1 2 1(mg k ) k -ML g Jg (mg k ) 0 m J J J                                             Giải hệ (15) ta có điều kiện ổn định của hệ như sau: 2 1k MLg m g (mg)2 / k   (16) Kết luận: Nếu không thoả mãn điều kiện (16) hệ sẽ mất ổn định. 5. Ví dụ : Ta tiến hành thiết kế bộ hấp thụ dao động của con lắc ngược theo lí thuyết điều khiển tối ưu mà ta đã nghiên cứu [7]. Ví dụ 1 Con lắc ngược với các thông số sau. > J:= 10000000(Kgm2); M:=1000(kg); > g:=9.842(m/s2); k2:= 794950000(KNm); > p0:=50000(KN); := 2 = 6.28(rad/s); L:=100(m); Dựa vào lý thuyết nghiên cứu bộ hấp thụ dao động dạng TMD [7] ta xác định các thông số của bộ TMD: Bộ TMD được thiết kế có khối lượng m =20kg, được gắn vào cơ cấu 6 cách nền ngang một khoảng  =50m, ta có  = m/M=0.02,  =  /L= 0.5 ,theo [7] ta có fopt =28.3071, hopt = 28.3691, opt=0.9838 từ các kết quả này ta suy ra k1 = 157.81 (KN/m), c=12.3254 (KNs/m). Thay các kết quả này vào phương trình (1) ta được phương trình vi phân chuyển động của hệ. Chuyển động của con lắc ngược được xác định ở hình (2) được lập trong phần mềm Maple 8 với các điều kiện đầu  (0)=0.0001,   (0)=0.0, u(0)=0.0,  u (0)=0 Kiểm tra điều kiện ổn định: Ta có : k2:= 794950000(KNm) MLg+m  g+(mg)2/ k1= 1000.100.10+20.50.10+(20.10)2/157=1010254.777(KNm) Ta thấy 2 1k MLg m g (mg)2 / k   vậy theo (16) hệ làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kĩ thuật. Từ đồ thị (hình 2) ta thấy rằng dao động của con lắc ngược trong trường hợp lắp đặt bộ hấp thụ dao động, đã tác dụng tốt trong việc giảm dao động của con lắc ngược. Hình 2: Mô phỏng dao động của con lắc ngược- trường hợp hệ làm việc ổn định D ịc h c h uy ển (r ad ) Thời gian(giây) Không có TMD Có TMD 7 Ví dụ 2 Con lắc ngược với các thông số sau. > J:= 10000000(Kgm2); M:=1000(kg); > g:=9.842(m/s2); k2:= 1055000(KNm); > p0:=5000(KN); := 2 = 6.28(rad/s); L:=100(m); Bộ TMD được thiết kế có khối lượng m =500kg, được gắn vào cơ cấu cách nền ngang một khoảng  =50m, k1 = 150 (KN/m), c=12 (KNs/m). Thay các kết quả này vào phương trình (1) ta được phương trình vi phân chuyển động của hệ. Chuyển động của con lắc ngược được xác định ở hình (3) được lập trong phần mềm Maple 8 với các điều kiện đầu  (0)=0.000,   (0)=0.0, u(0)=0.0,  u (0)=0 Kiểm tra điều kiện ổn định: Ta có : k2:= 1055000 (KNm) MLg+m  g+(mg)2/ k1= 1000.100.10+500.50.10+(500.10)2/150=1416667(KNm) Ta thấy 2 1k MLg m g (mg)2 / k   vậy theo (16) hệ làm việc không ổn định theo tiêu chuẩn của kĩ thuật Từ đồ thị (hình 3) ta thấy rằng: trong trường hợp lắp đặt bộ hấp thụ dao động biên độ  rất lớn, điều này chứng tỏ công trình đã bị đổ. D ịc h ch uy ển (r ad ) Thời gian(giây) Không có TMD Có TMD Hình 3: Mô phỏng dao động của con lắc ngược-trường hợp hệ làm việc không ổn định 8 6. Kết luận Công nghệ thiết kế các bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho các cơ cấu có dạng con lắc ngược, chính là dùng hệ thống cơ cấu lắp trực tiếp vào cơ cấu con lắc ngược, để toàn bộ năng lượng dao động của con lắc ngược được truyền vào bộ hấp thụ dao động, khi đó biên độ dao động của bộ hấp thụ dao động sẽ tăng lên và dao động có hại của con lắc ngược sẽ giảm. Các nghiên cứu cho thấy khối lượng của bộ hấp thụ dao động càng lớn, khả năng giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược càng lớn. Như chúng ta đã biết các cơ cấu có dạng con lắc ngược như: Nhà cao tầng, tháp vô tuyến, giàn khoan ... thường có độ cao lớn, nếu hệ làm việc không ổn định có thể gây sập, đổ, đứt gẫy.... bởi vậy khối lượng của bộ hấp thụ dao động chỉ tăng đến một giới hạn nào đó nếu không sẽ rất nguy hiểm. Trong bài báo này các tác giả đã nghiên cứu tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động để tìm ra các điều kiện cần có của thiết kế của bộ hấp thụ dao động, đảm bảo cho hệ làm việc ổn định. 7. Tài liệu tham khảo 1. Soong T.T (1989), Active Structural Control: Theory and Practice, John Willey & Son, Inc, NewYork 2. Brock J.E., Note on the Vibration Absober, J. Appl. Mech., (1964), 13(4). A-284 3. Hiroshi MATSUHISA và Masashi YASUDA, dynamic absorbers for rolling structures, Kyoto University, Japan.(1995) 4. P.C Muller & W. O. Schiehlen (1997), Dao động tuyến tính, Nhà xuất bản xây dựng, người dịch Nguyễn Đông Anh. 5. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền, Lý thuyết dao động, Nhà xuất bản nông nghiệp (2004). 6. Phan Nguyên Di, Nguyễn Văn Khang, Đỗ Sanh, ổn định chuyển động trong kỹ thuật, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật(1986). 7. Nguyễn Đông Anh, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Duy Chinh, Nghiên cứu bộ hấp thụ dao động đối với hệ con lắc ngược, Tạp chí Thuỷ lợi và môi trường số 7/2004, kỷ niệm 45 năm thành lập trường Đại học thuỷ lợi, tr 61- 69.