Ôn tập toán trung học phổ thông

Chủ đề 1. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng I. Mục đích yêu cầu 1. Kiến thức: H/s nắm vững các khái niệm nguyên hàm, tích phân, các tính chất của nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân. 2. Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng áp dụng các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân. Rèn luyện kỹ năng tính toán chính xác, kỹ năng làm bài thi. 3. Tư duy, tính cách: Phát triển tư duy logic, tư duy biện chứng, tư duy hàm, rèn luyện tính qui củ cẩn thận, thói quen tự kiểm tra. II. Phương tiện: 1. Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, đồ dùng dạy học. 2. Học sinh: Đồ dùng học tập. III. Phương pháp: Kết hợp các phương pháp thuyết trình, đàm thoại, gợi mở vấn đề. IV. Tiến trình A. Ổn định lớp B. Kiểm tra bài cũ: HS nhắc lại các tính chất, công thức liên quan đến nguyên hàm, tích phân. C. Bài mới. Thời gian Nội dung Hoạt động 10’ Bài 1. Tính ∫ (2x2 − 3x + 5)dx Hướng dẫn:∫ (2x2−3x+5)dx = ∫ 2x2dx+∫ (−3x)dx+∫ 5dx = 2 ∫ x2dx−3 ∫ xdx+5 ∫ dx = 2x3 3 −3x 2 2 +5x+C Học sinh lên bảng Giáo viên chữa Bài 2. Tính ∫ x2(5 − x)4dx Hướng dẫn Ta có x2(5 − x)4 = x6 − 20x5 + 150x4 − 500x3 + 625x2. Suy ra họ các nguyên hàm cần tìm là x7 7 − 10 3 x6 + 30x5 − 125x4 + 625 3 x3 + C HS làm bài Giáo viên chữa bài 1 Bài 3. Tính ∫ x3 x + 2 dx Hướng dẫn:∫ x3 x + 2 dx = ∫ (x3 + 8)− 8 x + 2 dx = ∫ x3 + 8 x + 2 dx −∫ 8 x + 2 dx = ∫ (x2−2x+4)dx−8 ∫ dx x + 2 = 1 3 x3−x2 +4x− 8 ln |x + 2| + C. HS lên bảng làm bài Giáo viên chữa bài. Bài 4. Tính ∫ x sin 2xdx Hướng dẫn: Áp dụng công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu(∗) Đặt { u = x dv = sin 2xdx ⇒   du = dx v = −1 2 cos 2x Ta có∫ x sin 2xdx = −x 2 cos 2x − ∫ (−1 2 cos 2x)dx = −x 2 cos 2x + 1 4 sin 2x + C HS làm bài GV hướng dẫn Bài 5. Tính ∫ sin2 x 2 dx Giải: Dùng công thức hạ bậc, ta có∫ sin2 x 2 dx = x− sin x 2 + c HS làm bài GV chữa bài Bài 6. Tính ∫ ( 3 sinx− 2 cos2 x ) dx Giải:∫ ( 3 sinx− 2 cos2 x ) dx = 3 ∫ sinxdx − 2 ∫ x cos2 x dx = −3 cosx− 2 tanx + C HS làm bài GV chữa bài Bài 7. Tính ∫ (e2x + 5)3e2xdx Giải: ∫ (e2x + 5)3e2xdx = ∫ (e2x + 5)3 1 2 d(e2x + 5) = (e2x + 5)4 8 + C HS lên bảng làm bài GV hướng dẫn 2 Bài 8. Tính ∫ exdx ex + 1 Giải:∫ exdx ex + 1 = ∫ d(ex + 1) ex + 1 = ln(ex + 1) + C HS làm bài GV hướng dẫn Bài 9. Tính ∫ 1√ 3x + 1 dx Hướng dẫn: Đặt u = 3x + 1 ⇒ du = 3dx∫ 1√ 3x + 1 dx = 2 3 ∫ du 2 √ u = 2 3 √ 3x + 1 + C HS làm bài GV chữa bài Bài 10. Tính ∫ 1 x2 − 3x + 2dx Hướng dẫn y = 1 x2 − 3x + 2 = 1 x− 2 − 1 x− 1. Suy ra họ nguyên hàm cần tìm là ln |x− 2| − ln |x− 1|+ C = ln |x− 2 x− 1 |+ C HS làm bài GV hướng dẫn Bài 11. Tính ∫ 1 0 (2x + 1)3dx. Giải.∫ 1 0 (2x + 1)3dx = 1 2 ∫ 1 0 (2x + 1)3d(2x + 1) = 1 2 (2x + 1)4 4 |10 = 1 8 (81 − 1) = 10 HS làm bài GV hướng dẫn Bài 12. Tính ∫ 2 1 √ x + 2dx. Giải. Đặt u = x + 2 ⇒ du = dx Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 3; x = 2 ⇒ u = 4. Vậy ∫ 2 1 √ x + 2dx = ∫ 4 3 u1/2du = 2 3 u3/2|43 = 2 3 ( √ 43 − √ 33) = 16− 6√3 3 HS làm bài GV chữa bài 3 Bài 13, Tính ∫ 1 0 x(x− 1)2007dx Giải. Đặt t = x− 1 ⇒ dt = dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1; x = 1 ⇒ t = 0∫ 1 0 x(x−1)2007dx = ∫ 0−1(t+1)t2007dt = ∫ 0−1(t2008+ t2007)dt = ( t2009 2009 + t2008 2008 ) ∣∣∣∣0−1 = −12009.2008 HS làm bài GV hướng dẫn Bài 14. Tính ∫ pi 6 0 cos 3xdx. Giải. Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = pi 6 ⇒ t = pi 2 Do đó ∫ pi 6 0 cos 3xdx = 1 3 ∫ pi 2 0 cos tdt = 1 3 sin t ∣∣∣pi20 = 1 3 . HS làm bài GV hướng dẫn Bài 15. Tính ∫ pi 4 pi 4 tanxdx. Hướng dẫn: Đặt t = cosx ĐS: 0 Nhận xét: Có thể nhận thấy ngay kết quả trên nếu để ý rằng hàm số y = tanx là hàm số lẻ. HS làm bài GV hướng dẫn Bài 16. Tính ∫ pi 2 −pi 2 sin 2x sin 7xdx. Giải.∫ pi 2 −pi 2 sin 2x sin 7xdx = ∫ pi 2 −pi 2 −cos 9x− cos 5x 2 dx = 1 2 [ (−1 9 sin 9x) ∣∣∣pi2 −pi 2 + (1 5 sin 5x) ∣∣∣pi2 −pi 2 ] = 4 45 . HS làm bài GV hướng dẫn Bài 17. Tính ∫ 2 1 x2 − 2x x3 dx. Giải.∫ 2 1 x2 − 2x x3 dx = ∫ 2 1 ( 1 x − 2 x2 ) dx = lnx|2 1 + 2 x |2 1 = ln 2 − 1 HS làm bài GV chữa bài 4 Bài 18. Tính ∫ 1 −1 2 (x− 2)(x + 3)dx. Giải.∫ 1 −1 2 (x− 2)(x + 3)dx = 2 5 ∫ 1 −1 dx x− 2− 2 5 ∫ 1 −1 dx x + 2 = 2 5 (ln |x− 2| − ln |x + 3|)|1−1 = 2 5 ln 1 6 . HS làm bài GV hướng dẫn Bài 19. Tính ∫ 1 −1 2x + 1√ x2 + x + 1 dx. Giải. Đặt u = x2 + x + 1 ⇒ du = (2x + 1)dx Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 3∫ 1 −1 2x + 1√ x2 + x + 1 dx = ∫ 3 1 1√ u du = 2 √ u|3 1 = 2( √ 3 − 1) HS làm bài GV hướng dẫn Bài 20. Tính ∫ 2 1 dx (2x− 1)2 . Giải.∫ 2 1 dx (2x− 1)2 = 1 2 ∫ 2 1 (2x− 1)−2d(2x− 1) = 1 2 ( −1 2x− 1 ) ∣∣∣2 1 = 1 3 HS làm bài GV hướng dẫn D. Củng cố: Nhấn mạnh các phương pháp, các dạng đặc biệt, các kỹ thuật biến đổi cơ bản. E. BTVN: SGK, Sách ôn tập. 5