Phân tích mô hình hồi qui đa biến

1Phân tích mô hình hồi qui đa biến  Khái niệm về phân tích hồi quy  Mô hình hồi qui hai biến  Phương pháp bình phương nhỏ nhất  Các giả định của mô hình hồi qui đa biến  Độ chính xác và sai số chuẩn của ước lượng  Kiểm định giả thuyết mô hình  Ví dụ mô hình hồi qui đa biến 2Khái niệm về phân tích hồi quy  Phân tích hồi quy đề cập đến việc nghiên cứu sự phụ thuộc của một biến số, biến phụ thuộc, vào một hay nhiều biến số khác, biến độc lập, với ý định ước lượng và/hoặc dự đoán giá trị trung bình (tổng thể) của biến phụ thuộc dựa trên những giá trị đã biết hay cố định của biến độc lập. 3Ví dụ 1  Chúng ta quan tâm đến việc dự báo chiều cao trung bình của những người con khi biết chiều cao của người cha.  Dùng biểu đồ phân tán để biểu diễn phân phối chiều cao của những người con trong một tổng thể tương ứng với chiều cao của những người cha được cho trước hay cố định 4Chiều cao của người con (tính bằng inch) Chiều cao của người cha (tính bằng inch) Hình 1.1 Phân phối giả thiết của chiều cao của những người con trai tương ứng với chiều cao của người cha được cho trước Giá trị trung bình 5Ví dụ khác  Một nhà kinh tế có thể quan tâm đến việc nghiên cứu sự phụ thuộc của chi tiêu cá nhân vào thu nhập cá nhân sau thuế hay thu nhập khả dụng thực tế.  Một nhà độc quyền, người có thể ấn định giá hay sản lượng (nhưng không cả hai) có thể muốn tìm ra phản ứng của cầu đối với sản phẩm khi giá thay đổi. Thực nghiệm này có thể cho phép sự ước lượng hệ số co giãn theo giá  … 6Mô hình hồi qui hai biến  Hàm hồi qui tổng thể (population regression function – PRF) có dạng: E(Y/Xi) = f(Xi) Nếu PRF có 1 biến độc lập thì được gọi là hàm hồi qui đơn (hồi qui hai biến), nếu có từ 2 biến độc lập trở lên được gọi là hàm hồi qui bội  Hàm hồi qui tổng thể cho biết giá trị trung bình của biến Y sẽ thay đổi như thế nào khi biến X nhận các giá trị khác nhau. 7Một ví dụ giả thiết  Giả sử có một tổng thể gồm 60 hộ gia đình, có thu nhập (X) và chi tiêu (Y) hàng tuần như sau 8Một ví dụ giả thiết  Mặc dù có sự biến động lớn của Y ứng với mỗi giá trị của X, nhưng, một cách tổng quát, X thì Y  Giá trị kỳ vọng của Y ứng với một giá trị nào đó của X đgl Giá trị kỳ vọng có điều kiện, ký hiệu: E(Y|X)  Ví dụ: E(Y|X=80) = 65; E(Y|X=260) = 173  Giá trị kỳ vọng không có điều kiện: E(Y) = 7273/60 = 121,20 9Phân phối có điều kiện của chi tiêu ứng với các mức thu nhập khác nhau 10 Hàm hồi quy tổng thể  Đường nối các điểm tròn đen trong hình là đường hồi quy tổng thể, biểu diễn sự hồi quy của Y vào X.  Về mặt hình học, một đường hồi quy tổng thể là quỹ tích các giá trị trung bình có điều kiện của biến phụ thuộc ứng với mỗi giá trị cố định của biến giải thích.  Ứng với mỗi giá trị của X, có một tổng thể các giá trị của Y, dao động xung quanh giá trị kỳ vọng có điều kiện của Y. 11 Đường hồi quy tổng thể 12 Mô hình hồi quy tuyến tính  Vậy kỳ vọng có điều kiện E(Y|Xi) là một hàm số của Xi: E(Y|Xi) = f(Xi)  Dạng hàm f(Xi) phụ thuộc vào các mối quan hệ kinh tế (thường được xác định dựa vào các lý thuyết kinh tế).  Ở đây, ta thường sử dụng hàm số tuyến tính: 13 Mô hình hồi qui hai biến  PRF tuyến tính: E(Y/Xi) = β1+ β2Xi trong đó β1, β2 là các tham số chưa biết nhưng cố định – các tham số hồi qui.  β1 là hệ số tự do, cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y sẽ thay đổi như thế nào khi biến X nhận giá trị 0.  β2 là hệ số góc, cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y sẽ thay đổi (tăng or giảm) bao nhiêu đơn vị khi giá trị của biến độc lập X tăng 1 đơn vị với điều kiện các yếu tố khác không thay đổi. 14 Mô hình hồi qui hai biến  Thuật ngữ “tuyến tính” ở đây được hiểu theo hai nghĩa: tuyến tính đối với tham số và tuyến tính đối với biến. - E(Y/Xi) = β1+ β2Xi2 là tuyến tính tham số - E(Y/Xi) = β1+ β22Xi là tuyến tính biến số.  Hàm hồi qui tuyến tính luôn được hiểu là tuyến tính đối với tham số, nó có thể không tuyến tính đối với biến. 15 Các hàm số tuyến tính đối với tham số 16 Mô hình hồi qui hai biến  Ứng với mỗi giá trị của X, giá trị Y của một số quan sát có độ lệch so với giá trị kỳ vọng.  Giá trị quan sát thứ i của biến phụ thuộc Y được ký hiệu là Yi. - Ký hiệu Ui là chênh lệch giữa Yi và E(Y/Xi) Ui = Yi - E(Y/Xi) hay Yi = E(Y/Xi) + Ui (dạng ngẫu nhiên PRF) Ui đgl đại lượng ngẫu nhiên hay sai số ngẫu nhiên  Lý do cho sự tồn tại của Ui  Yếu tố đại diện cho các biến không đưa vào mô hình (biến không rõ, không có số liệu, ảnh hưởng quá nhỏ …) 17 Mô hình hồi qui hai biến  Trong thực tế, ta thường phải ước lượng các hệ số hồi quy của tổng thể từ hệ số hồi quy của mẫu.  Hàm hồi qui mẫu (sample regression function – SRF): sử dụng khi chúng ta không thể lấy tất cả thông tin từ tổng thể mà chỉ thu thập được từ các mẫu riêng lẻ từ tổng thể.  Nếu hàm PRF có dạng tuyến tính (E(Y/Xi) = β1+ β2Xi), ta có SRF: ii XY   21   iY  1  2 trong đó là ước lượng điểm của E(Y/Xi) là ước lượng điểm của β1; là ước lượng điểm của 18 Hàm hồi qui mẫu  Dạng ngẫu nhiên của SRF: ei là ước lượng điểm của Ui và gọi là phần dư hay sai số ngẫu nhiên iii eXY   21  19 Hàm hồi qui mẫu SRF 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Ti êu d ùn g, Y (X D ) (PRF) (SRF) Xi Yi E(Y/Xi) Yi ei i 1 1 2 2 20 Hàm hồi qui mẫu  Rõ ràng, các ước lượng từ hàm hồi quy mẫu có thể ước lượng cao hơn (overestimate) hay ước lượng thấp hơn (underestimate) giá trị thực của tổng thể.  Vấn đề đặt ra là SRF được xây dựng như thế nào để càng gần i thực càng tốt, mặc dù ta không bao giờ biết i thực. 21 Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) iiiii iiiii XYYˆYe eYˆeXY     21 21   1ˆ Ta có hàm SRF: •Ta muốn tìm và sao cho gần bằng với Y nhất, có nghĩa là ei nhỏ nhất. Tuy nhiên, ei thường rất nhỏ và thậm chí bằng 0 vì chúng triệt tiêu lẫn nhau. •Để tránh tình trạng này, ta dùng phương pháp “Bình phương nhỏ nhất” 2ˆ Yˆ 22 Phương pháp OLS  2212   iii XˆˆYe  1ˆ • Bây giờ, ta muốn tìm và sao cho ei2 nhỏ nhất. • Lưu ý rằng biểu thức trên có thể được xem như là một hàm số theo và và chúng ta cần tìm các  sao biểu thức đạt cực tiểu2 ˆ 1ˆ 2ˆ )ˆ,ˆ(fei 21 2   • Vậy để tìm giá trị cực tiểu của biểu thức trên, ta cần tính đạo hàm của hàm số trên theo các  và cho các đạo hàm =0. 23 Phương pháp OLS  Giải hệ ta được:  Ta được hệ phương trình chuẩn: 24 Phương pháp OLS 1ˆ và 2ˆ đgl các ước lượng bình phương nhỏ nhất của 1 và 2 Các thuộc tính của1ˆ v à 2ˆ I. Các ước lượng OLS là các ước lượng điểm, có nghĩa là, với mẫu cho trước, mỗi ước lượng chỉ cho biết duy nhất một giá trị của tham số của tổng thể nghiên cứu. II. Một khi thu được các ước lượng từ mẫu, ta có thể vẽ được đường hồi quy mẫu và đường này có những đặc tính sau: 25 Đặc điểm của đường hồi quy mẫu 1. Nó đi qua giá trị trung bình mẫu của X và Y, do 26 Đặc điểm của đường hồi quy mẫu 2. Giá trị ước lượng trung bình của Y bằng với giá trị trung bình của Y quan sát. 3. Giá trị trung bình của sai số ei bằng 0: ei = 0. 4. Sai số ei không có tương quan với giá trị dự báo Yi. 5. Sai số ei không có tương quan với Xi. 27 Giả định của mô hình hồi qui đa biến (1)Giả định 1: Tuyến tính các tham số hồi qui (linear in parameters). (2)Giả định 2: Các giá trị mẫu của xj được ước lượng đúng, không có sai số (random sampling): Giá trị các biến giải thích là các số đã được xác định. (3)Giả định 3: Kỳ vọng hoặc trung bình số học của các sai số là bằng 0 (zero conditional mean). E(u/xi) = 0 28 Giả định 3: E(ui/xi) = 0 29 Giả định của mô hình hồi qui đa biến (4)Giả định 4: Các sai số u độc lập với biến giải thích. Cov(ui, Xi) = 0 (5) Giả định 5: Các sai số u có phương sai bằng nhau (homoscedasticity). Var(u/xi) = σ2 30 Giả định 5: Var(u/xi) = σ2 31 Phương sai sai số không đồng nhất: var(ui|Xi) = i2 32 Giả định của mô hình hồi qui đa biến (6) Giả định 6: Các sai số u từng cặp độc lập với nhau. Cov(ui, ui’) = E(uiui’) = 0, nếu i  i’ 33 Giả định của mô hình hồi qui đa biến (7) Giả định: Không có biến độc lập nào là hằng số, và không tồn tại các mối liên hệ tuyến tính hoàn toàn chính xác giữa các biến độc lập (no perfect multicollinearity). (8) Số quan sát n phải lớn hơn số biến độc lập. (9) Mô hình hồi quy được xác định đúng đắn: không có sai lệch về dạng mô hình. 34 Sai lệch về dạng mô hình 35 Độ chính xác hay sai số chuẩn của các ước lượng OLS  Các giá trị của ước lượng OLS phụ thuộc vào số liệu của mẫu. Số liệu giữa các mẫu khác nhau lại khác nhau => cần đo lường độ chính xác của các ước lượng.  Ta đo lường độ chính xác bằng sai số chuẩn (standard error – se). 36 Sai số chuẩn của các ước lượng OLS Trong đó: var: phương sai; se: sai số chuẩn và 2: phương sai của sai số, có thể được ước lượng bằng công thức: 2 2 2   n e ˆ i  2ie : Tổng bình phương của các sai số (Residual sum of squares – RSS)    222222 iiiii xˆy)YˆY(e  37 Sai số chuẩn của các ước lượng OLS 2 2    n e ˆ i Sai số chuẩn của ước lượng hay còn gọi là sai số chuẩn của hồi quy (se): nó là độ lệch giữa giá trị Y so với đường hồi quy được ước lượng và được dùng để chỉ “Độ tin cậy của mô hình” (goodness of fit). 38 Một số đặc điểm của phương sai hay se của các ước lượng OLS 1. Phương sai của ước lượng 2 tỷ lệ với 2, nhưng nghịch biến với xi2. Do vậy, X biến động càng lớn, se càng nhỏ => ước lượng càng chính xác; n càng lớn, càng chính xác. 2. Phương sai của ước lượng 1 tỷ lệ với 2 và Xi2, nhưng nghịch biến với xi2 và cở mẫu 39 Định lý Gauss-Markov  Một ước lượng được gọi là “ước lượng không chệch tuyến tính tốt nhất” (BLUE) nếu thỏa các điều kiện:  Nó là tuyến tính, có nghĩa là một hàm tuyến tính của một biến ngẫu nhiên,  Nó không chệch,  Nó có phương sai nhỏ nhất, hay còn gọi là ước lượng hiệu quả (efficient estimator).  Định lý: Với những giả định của mô hình hồi quy cổ điển, các ước lượng bình phương bé nhất có phương sai nhỏ nhất, trong nhóm những ước lượng tuyến tính không chệch, tức là, chúng là BLUE. 40 Hệ số xác định R2: một thước đo Độ tin cậy của mô hình  Gọi TSS (Tổng bình phương sai số tổng cộng): TSS = (Yi -Y)2  ESS: bình phương sai số được giải thích ESS = ( -Y)2  RSS: tổng bình phương sai số: RSS = ei2  Ta chứng minh được: TSS = ESS + RSS iYˆ TSS RSS TSS ESSR  12 41 Hệ số xác định R2  R2 cho biết % sự biến động của Y được giải thích bởi các biến số X trong mô hình.  0 < R2 < 1  R2  1: mô hình giải thích được càng nhiều sự biến động của Y  mô hình càng đáng tin cậy.  Một nhược điểm của R2 là giá trị của nó tăng khi số biến X đưa vào mô hình tăng, bất chấp biến đưa vào không có ý nghĩa.  Cần sử dụng R2 điều chỉnh (adjusted R2 -R2) để quyết định việc đưa thêm biến vào mô hình. 42 Hệ số xác định điều chỉnhR2 kn n)R(R    111 2 2 • Khi k > 1, R2 < R2. Do vậy, khi số biến X tăng,R2 sẽ tăng ít hơn R2. • Khi đưa thêm biến vào mô hình mà làm choR2 tăng thì nên đưa biến vào và ngược lại. 43 Kiểm định giả thuyết mô hình  CLRM còn giả định ui theo phân phối chuẩn: ui ~ N(0, 2)  Yi ~ N(1 + 2Xi, 2).  Do ui theo phân phối chuẩn, các ước lượng OLS của 1 và 2 cũng theo phân phối chuẩn vì chúng là các hàm số tuyến tính của ui.  Chúng ta có thể áp dụng các kiểm định t, F, và 2 để kiểm định các giả thuyết về các ước lượng OLS. 44 1. Xây dựng khoảng tin cậy của 1 và 2  Để xem 2 “gần” với 2 đến mức nào, ta cần tìm 2 giá trị  và  sao cho xác suất của khoảng: (2 - , 2 + ) có chứa giá trị thực của 2 là 1 -  hay: Pr(2 -   2  2 + ) = 1 - .  (2 - , 2 + ): là khoảng tin cậy,  1 - : hệ số tin cậy,   với (0 <  < 1): là mức ý nghĩa.  Ví dụ: nếu  = 0,05 = 5%, ta đọc “xác suất để khoảng tin cậy chứa giá trị thực của 2 là 95%.       45 Khoảng tin cậy của 2  Do 2 không biết trước, ta thường dùng ước lượng không chệch của nó là 2, ta có:  Biến t sẽ theo phân phối t với bậc tự do n – k (số tham số được ước lượng kể cả hệ số tự do).  Khoảng tin cậy từ phân phối t:   Pr(-t/2 < t < t/2) 46 Kiểm định 2 đuôi  Giả sử ta muốn kiểm định giả thuyết: H0: 2 = 0 và H1: 2  0.  Kiểm định các giả thuyết trên gọi là kiểm định 2 đuôi.  Kiểm định được sử dụng khi ta không biết rõ chiều hướng khác biệt của 2 so với 0.  Quy tắc quyết định: Xây dựng khoảng tin cậy 100(1-) cho 2. Nếu giá trị 2 trong giả thuyết H0 nằm trong khoảng tin cậy này, ta chấp nhận H0, nhưng nếu nó nằm ngoài, ta bác bỏ H0. 47 Quy tắc quyết định 48 Kiểm định giả thuyết mô hình 1. Kiểm định giả thuyết về từng phần tử của  Thông thường, giả thuyết được đặt ra là i = 0, nghĩa là biến Xi không ảnh hưởng đến mô hình, khi đó chúng ta xét: )kn( k k t~ )ˆ(se ˆ t    Nếu t < t/2, (n-k): ta chấp nhận giả thuyết H0: I = 0 ở mức độ tin cậy , có nghĩa là Xi không có ảnh hưởng đến Y. Nếu t > t/2, (n-k): ta bác bỏ giả thuyết H0 và chấp nhận H1: i  0 ở mức độ tin cậy , có nghĩa là Xi có ảnh hưởng đến Y. 49 Kiểm định giả thuyết mô hình 2. Kiểm định ảnh hưởng tất cả các biến độc lập cùng lúc Giả thuyết của kiểm định này là: H0: 2 = 3 =... = k = 0 2 2 1 1 R R. k knF     Bác bỏ giả thuyết H0 khi F > F(k-1, n-k),, nghĩa là có ít nhất một tham số khác 0 ; hoặc là có ít nhất một biến có ảnh hưởng đến Y.  F < F(k - 1, n – k), thì chấp nhận giả thuyết H0, nghĩa là tất cả các tham số 2, 3, ... , k đều bằng 0; hoặc là không có biến độc lập nào ảnh hưởng đến Y. 50 Phương pháp dự đoán trong mô hình hồi qui 2 2 2021 11 i o / x )xX( n st)Xˆˆ(     Cho trước 1 giá trị X0, ta có thể dùng mô hình hồi quy để dự báo giá trị Y ứng với một mức tin cậy  nào đó. Công thức: s: sai số chuẩn của ước lượng 2 2    n e ˆs i 51 Ví dụ: Có bộ số liệu về chi tiêu và thu nhập của hộ gia đình ở VN 1998 như sau: Variable Obs Mean Std.Dev Min Max Label pcexp 5999 3210 2682 337.705 54886.9 Chi tieu/nguoi rincome 5999 15274 18535 -29524.4 445334 Tong thu nhap thuc hhsize 5999 4.77 1.97 1 19 So nhan khau child 5999 1.66 1.40 0 8 So tre em Ta cần kiểm định mối quan hệ giữa mức chi tiêu/đầu người với thu nhập của hộ gia đình, số nhân khẩu, số trẻ em trong gia đình. 52 Kết quả ước lượng mô hình hồi quy Source SS df MS Number of obs = 5999 F( 3, 5995) = 1116.09 Model 1.55E+10 3 5.16E+09 Prob > F = 0 Residual 2.77E+10 5995 4619197 R-squared = 0.3584 Adj R-squared = 0.358 Total 4.32E+10 5998 7195461 Root MSE = 2149.2 pcexp Coef. Std. Err. t P>t [95% Conf. Interval] rincome 0.082 0.00 51.90 0.000 0.08 0.08 hhsize -376.468 20.22 -18.62 0.000 -416.11 -336.83 child -145.951 27.57 -5.29 0.000 -199.99 -91.91 _cons 4001.691 75.15 53.25 0.000 3854.37 4149.01 53 Trình bày Kết quả d145,95chil-ze376,47hhsi4001,69   rincome,exppc 0820 se (75,148) (0,0015) (20,222) (27.567) t 53.25*** 51,90*** -18,62*** -5,29*** • R2 = 35,8%, chứng tỏ, các biến độc lập trong mô hình giải thích được 35,8% sự biến động của chi tiêu bình quân đầu người trong hộ. • Do giá trị t của các hệ số đều lớn hơn giá trị t5%, ta bác bỏ các giả thuyết H0, cho rằng các hệ số bằng 0. Hay ta có thể gọi các hệ số được ước lượng đều có ý nghĩa ở mức 5%. 54 Trình bày và giải thích Kết quả d145,95chil-ze376,47hhsi4001,69   rincome,exppc 0820 se (75,148) (0,0015) (20,222) (27.567) t 53.25*** 51,90*** -18,62*** -5,29*** • Khi thu nhập tăng thêm 1 đồng, chi tiêu đầu người tăng bình quân 0,082 đồng, trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. • Khi số nhân khẩu trong gia đình tăng thêm 1 người, chi tiêu đầu người giảm bình quân 376.000 đồng, trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. • Khi số trẻ em trong gia đình tăng thêm 1, chi tiêu đầu người giảm bình quân 146.000 đồng