Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Phương trình vi phân cấp hai (tiếp)

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT) • Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình vi phân cấp hai + + = 2 2 0 d x dx m c kx dt dt ; 1 ( )LI RI I E t C ′′ ′ ′+ + = k là hệ số co dãn của lò xo; c là hệ số giảm xóc; m là khối lượng vật thể 3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a) Định nghĩa. ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = (1) b) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ( ) ( ) 0y p x y q x y′′ ′+ + = (2) Định lí 1. 1 2,y y là các nghiệm của (2) ⇒ 1 1 2 2c y c y+ cũng là nghiệm của (2), 1 2,c c∀ ∈
• Định nghĩa. Các hàm 1 2( ), ( )y x y x là độc lập tuyến tính trên [ ];a b ⇔ 2 1 ( ) ( ) y x y x ≠ hằng số trên [ ];a b . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1. a) 2,x xe e b) 2 2 1, 1x x x+ + + c) tan , 2 tanx x Định nghĩa. Cho các hàm 1 2( ), ( )y x y x , khi đó định thức Wronsky của các hàm này là 1 2 1 2 1 2 ( , ) y yW y y y y = ′ ′ Định lí 2. Các hàm 1 2,y y phụ thuộc tuyến tính trên [ ];a b ⇒ 1 2( , ) 0W y y = trên đoạn đó Chú ý. Nếu 1 2( , ) 0W y y ≠ tại 0x nào đó thuộc [ ];a b ⇒ độc lập tuyến tính Định lí 3. Cho 1 2,y y là các nghiệm của (2), 1 2( , ) 0W y y ≠ tại [ ]0 ;x a b∈ , các hàm ( ), ( )p x q x liên tục trên [ ];a b ⇒ [ ]1 2( , ) 0, ;W y y x a b≠ ∀ ∈ Định lí 4. Các nghiệm 1 2,y y của (2) độc lập tuyến tính trên [ ];a b ⇒ [ ]1 2( , ) 0, ;W y y x a b≠ ∀ ∈ Định lí 5. Cho 1 2,y y là các nghiệm độc lập tuyến tính ⇒ nghiệm tổng quát của (2) là 1 1 2 2y c y c y= + . Ví dụ 2. 0y y′′ + = Định lí 6. Biết nghiệm riêng 1 0y ≠ của (2) ⇒ tìm được nghiệm riêng 2y của (2) độc lập tuyến tính với 1y và có dạng 2 1( ) ( ) ( )y x y x u x= Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6, nghiệm 2y tìm được theo công thức sau ( ) 2 1 2 1 1 p x dxy y e dx y − = ∫∫ (Liouville). PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 3. a) ′′ ′− = 0y y +) Dễ thấy =1 1y là nghiệm +) − −= =∫∫ ( 1) 2 dx xy e dx e +) = +1 2 xy C C e b) ′′ ′− − =2 0x y xy y +) =1y x là nghiệm +) −= = = − ∫∫ ∫ 1 2 2 3 1 1 1 2 dx xy x e dx x dx x x x +) = + 21 Cy C x x c) (2 1) 4 4 0x y xy y′′ ′+ + − = ( −= + 21 2 xy C x C e ) d) (2 1) ( 1) 0xy x y x y′′ ′− + + + = ( = + 21 2x xy C e C x e ) e) 22(1 tan ) 0y x y′′ − + = ( = + +1 2tan (1 tan )y C x C x x ) c) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x′′ ′+ + = (1) Định lí 1. Nghiệm tổng quát của (1) có dạng y y Y= + , ở đó y là nghiệm tổng quát của (2), Y là nghiệm riêng của (1). Định lí 2. (Nguyên lí chồng nghiệm) Nếu 1y là nghiệm của phương trình 1( ) ( ) ( ).y p x y q x y f x′′ ′+ + = 2y là nghiệm của phương trình 2( ) ( ) ( ).y p x y q x y f x′′ ′+ + = Thì có 1 2y y y= + là nghiệm của phương trình 1 2( ) ( ) ( ) ( ).y p x y q x y f x f x′′ ′+ + = + Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange • Biết nghiệm tổng quát của (2) là 1 1 2 2y c y c y= + • Giải hệ sau 1 1 2 2 1 1 2 2 0 ( ) c y c y c y c y f x ′ ′+ =  ′ ′ ′ ′+ = có 1 1 1( )c x k= +φ , 2 2 2( )c x k= +φ • Nghiệm tổng quát của (1) là 1 1 1 2 2 2( ( ) ) ( ( ) )y y x k y x k= + + +φ φ Ví dụ 4. a 1) −′′ ′− = 3 2 xxy y e x +) =1 1y là nghiệm +) = =∫∫2 dx xy e dx e +) = +1 2 xy C C e +) Giải hệ ′ ′ + =   − ′ ′+ = 1 2 1 2 3 0 2 .0 x x x C C e xC C e e x ⇔ − ′ = −  − ′ =  1 3 2 3 2 2 xxC e x xC x ⇔  = −   = − +  ∫ ∫1 2 3 2 22 2 1 1 x xe eC dx dx x x C K x x Ta có  = + = +   ∫ ∫1 12 2 2 1x xxe eC dx e d K x x x +) Nghiệm tổng quát    = + + − + = + +        1 2 1 22 2 1 11. x x x xe ey K e K K K e x x x x PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2) ′′ ′+ − =2 2x y xy y x +) Theo ví dụ 3 có = + 21 Cy C x x +) Giải hệ  ′ ′+ =    ′ ′+ − =     1 2 1 2 2 1 0 1 .1 1 C x C x C C x ⇔  ′ ′+ =   ′ ′ − =  1 2 2 1 2 2 1 0 1 1 C C x C C x ⇔  ′ =   ′ = −  1 2 2 1 2 2 C xC ⇔  = +   = − +  1 1 3 2 2 2 6 xC K xC K +) Nghiệm tổng quát   = + + − +        3 1 2 1 2 6 x xy x K K x = + + 22 1 3 K xK x x b 1) 2 33x y xy x′′ ′− = ( = 31y x ) 2) 2 2x y xy y x′′ ′+ − = ( = + +2 213 x Cy C x x ) c) 3 2( ) 2x y y x′′ − = − ( −= − + +1 21 x xy C e C e x ) d. 1) 2( 1) 2x x y y′′+ = , biết nghiệm riêng 1 11y x = + ( +   = + + + − − +       21 2 1 1 11 1 ln( 1)xy C C x x x x x ) 2) 2tan (tan 2) 2 cot 0y x y x y x′′ ′+ − + = , biết nghiệm riêng 1 siny x= ( = + 21 2sin siny C x C x ) 3) 2 24 ( 2) xx y xy x y e′′ ′+ + + = bằng cách đổi hàm số 2 zy x = ( = + +1 22 2 2cos sin 2 xC C ey x x x x x ) e. 1) 2xy y xy x′′ ′+ + = bằng cách đổi hàm số uy x = ( = + +1 21 ( cos sin )y C x C x x x ) 2) 2tan cos 0y y x y x′′ ′+ − = , biết nghiệm riêng sin1 xy e= ( −= +sin sin1 2x xy C e C e ) 3) 13 2 1x y y y e ′′ ′+ + = + ( − − − −= + + + +2 21 2 ( ) ln(1 )x x x x xy C e C e e e e ) f. 1) 2 0 y yy x x ′ ′′ − + = biết nghiệm riêng 1y x= ( = +1 2 lny C x C x x ) 2) 2 2 2 2 0 1 1 xy yy x x ′ ′′ − + = + + biết nghiệm riêng 1y x= ( = + −21 2( 1)y C x C x PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn g. 1) 2 2 2 3 3(6 2 ) (9 6 2) 4 xx y x x y x x y x e′′ ′− + + + + = bằng cách đặt yu x = ( = + +3 2 31 2( 2 )xy e C x C x x 2) 2(1 ) ( 2) xxy x y x y e−′′ ′+ − + − = bằng cách đặt u yx= ( −= + +1 2 14 x x xey C C e e x x ) h. 1) ′′ + = +cos tany y x x ( += + + − − 1 2 cos 1 sin cos sin sin ln 2 2 1 sin x x xy K x K x x x ) 2) ′′ + = +sin coty y x x ( += + − − − 1 2 sin 1 cos cos sin cos ln 2 2 1 cos x x xy K x K x x x ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!