Tiến triển của sóng trên nền dòng bất đồng nhất phương ngang và trong điều kiện nước sâu

201 202 phÇn 2. BiÕn d¹ng sãng giã trªn c¸c bÊt ®ång nhÊt quy m« lín Ch−¬ng 5 tiÕn triÓn cña sãng trªn nÒn dßng bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang vμ trong ®iÒu kiÖn n−íc s©u 5.1. §Æt bμi to¸n trong hÖ täa ®é ®Þa ph−¬ng Trong ch−¬ng 1 ®· nªu ra sù thiÕt lËp tæng qu¸t nhÊt vÒ bμi to¸n m« h×nh hãa to¸n häc sãng giã trong ®¹i d−¬ng d−íi t¸c ®éng cña c¸c nh©n tè kh¸c nhau h×nh thμnh phæ sãng giã. V× gi¶i bμi to¸n tæng qu¸t phøc t¹p, nªn ë ®©y ta sÏ xÐt mét tr−êng hîp riªng vμ kh¶o s¸t nh÷ng hiÖu øng liªn quan tíi sù biÕn thiªn phæ sãng trªn c¸c dßng bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang. M. S. Longuet-Higgins vμ R. Stewart ®· nhËn ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ lý thuyÕt c¬ së ®Çu tiªn trong viÖc gi¶i bμi to¸n nμy vμo nh÷ng n¨m 1961-1964 [311-314]. Tõ c¸c c«ng tr×nh cña c¸c t¸c gi¶ ®ã rót ra r»ng gi÷a sãng vμ dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang cã sù t−¬ng t¸c, kÕt qu¶ lμ sãng cã thÓ cho hoÆc nhËn n¨ng l−îng tõ dßng ch¶y. Lý thuyÕt cña hä cã thÓ gi¶i thÝch nhiÒu vÊn ®Ò ®éng lùc häc c¸c qu¸ tr×nh sãng, tuy nhiªn, ph¹m vi sö dông lý thuyÕt ®ã kh¸ h¹n hÑp. ThÝ dô, khi truyÒn sãng ng−îc dßng, mμ tèc ®é dßng t¨ng dÇn däc theo trôc cña nã, th× n¨ng l−îng sãng t¨ng dÇn, vμ t¹i ®iÓm n¬i tèc ®é nhãm sãng b»ng vÒ ®é lín vμ ng−îc h−íng so víi tèc ®é dßng th× biªn ®é sãng nhËn gi¸ trÞ lín v« h¹n. Cßn trªn thùc tÕ, t¹i l©n cËn ®iÓm ®Æc biÖt nμy (®iÓm tô tia) kh«ng thÓ ¸p dông c¸c kÕt qu¶ cña M. S. Longuet-Higgins vμ R. Stewart. PhÐp tiÕp cËn phæ tr×nh bμy trong c«ng tr×nh nμy sÏ cho phÐp kh¾c phôc nh÷ng dÞ th−êng xuÊt hiÖn ë l©n cËn c¸c ®iÓm tô tia vμ m« t¶ ®óng hμnh vi cña sãng trªn dßng ch¶y. Nh− ®· nhËn xÐt tr−íc ®©y, trong phÇn lín tr−êng hîp ®iÓn h×nh, ¶nh h−ëng cña dßng vμ n−íc n«ng lªn sãng mang tÝnh ®Þa ph−¬ng. Do ®ã, trong khi sö dông tr−êng hîp riªng cña bμi to¸n tæng qu¸t (1.84)–(1.90), ta nªn xÐt bμi to¸n trong hÖ täa ®é ®Þa ph−¬ng vμ viÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng mËt ®é phæ t¸c ®éng sãng trong hÖ täa ®é ph¼ng vu«ng gãc G dt dN dt kd k N dt rd r N t N         , (5.1) trong ®ã  },{ yxr  vect¬ kh«ng gian ngang;   yx kkk , vect¬ sãng trªn mÆt ph¼ng },{ yx ; G hμm nguån m« t¶ c¸c c¬ chÕ vËt lý h×nh thμnh phæ sãng giã. C¸c ®Æc tr−ng cña ph−¬ng tr×nh (5.1) lμ c¸c ph−¬ng tr×nh Hamilton, trong phÐp xÊp xØ quang h×nh chóng m« t¶ sù lan truyÒn c¸c chïm sãng trong m«i tr−êng bÊt ®ång nhÊt. t R dt d r R dt kd k R dt rd     ;     ; , (5.2) ë ®©y  tÇn sè sãng ®−îc ®o trong hÖ täa ®é kh«ng di ®éng. TÇn sè  cã thÓ x¸c ®Þnh theo tÇn sè sãng  ®−îc ®o trong hÖ täa ®é di ®éng g¾n liÒn víi dßng ch¶y:  22 Vk  , víi 203 204  ),( trVV  tèc ®é dßng ch¶y. Trong tr−êng hîp c¸c sãng mÆt träng lùc cã thÓ viÕt )(kHkg th 2  ,  )(rHH  ®é s©u thñy vùc. Nh÷ng ph−¬ng tr×nh trªn ®©y cã thÓ xem lμ ®óng trong tr−êng hîp tèc ®é dßng ch¶y kh«ng biÕn ®æi trªn ph−¬ng th¼ng ®øng. Nh−ng trong thùc tÕ gi¶ thiÕt nμy Ýt khi hiÖn thùc. Nh− ®· chØ ra trong ch−¬ng 1, khi hiÖn diÖn chªnh lÖch tèc ®é dßng trªn ph−¬ng th¼ng ®øng, th× viÖc gi¶i bμi to¸n còng kh«ng cã g× phøc t¹p vÒ nguyªn t¾c, mÆc dï khèi l−îng tÝnh to¸n t¨ng rÊt nhiÒu. §¹i ®a sè c¸c tr−êng hîp thùc tÕ tr¾c diÖn th¼ng ®øng vËn tèc dßng th−êng kh«ng ®−îc biÕt chÝnh x¸c, cßn c¸c trÞ sè trung b×nh cña vËn tèc ®−îc cho tr−íc. V× vËy trong môc nμy ta sÏ xem r»ng gi¸ trÞ tèc ®é dßng ch¶y ®−îc x¸c ®Þnh b»ng trÞ sè trung b×nh theo toμn ®é s©u x©m nhËp chuyÓn ®éng sãng. C¸c tr−êng hîp ¶nh h−ëng cña dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng th¼ng ®øng lªn sãng sÏ xÐt sau. §Ó gi¶i bμi to¸n x¸c ®Þnh mËt ®é phæ t¸c ®éng sãng ),,( trkN   *. Qua mçi ®iÓm cña kh«ng gian chØ cã thÓ cã mét quü ®¹o pha ®i qua, tøc c¸c quü ®¹o pha kh«ng giao nhau. Thùc chÊt tÝnh chÊt nμy lμ hÖ qu¶ cña ®Þnh lý duy nhÊt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu cho tr−íc. M« t¶ c¸c quü ®¹o truyÒn c¸c chïm sãng trong kh«ng gian pha cã mét lo¹t c¸c tÝnh chÊt lý thó [5, 18, 135]. ThÝ dô, tr−êng hîp v¾ng mÆt hμm nguån ( 0G ) tõ ph−¬ng tr×nh (5.1) rót ra   0 ,,,,  dt tkkyxNd yx . Cã nghÜa r»ng mËt ®é phæ n¨ng l−îng t¸c ®éng sãng gi÷ kh«ng ®æi däc theo tia * Kh«ng gian nμy cßn ®−îc gäi lμ kh«ng gian täa ®é - xung. Hμnh vi cña c¸c hÖ Hamilton trong kh«ng gian nh− vËy ®−îc kh¶o s¸t trong h×nh häc hiÖn ®¹i [5]. ),,,(),,,,( 00000 yxyx kkyxNtkkyxN  . (5.3) Kh¸c víi m« t¶ sãng trong kh«ng gian vËt lý (xem môc 1.3), ë ®©y v¾ng mÆt Jacobien chuyÓn tiÕp tõ c¸c trÞ sè ban ®Çu sang c¸c trÞ sè hiÖn t¹i. Ng−êi ta lý gi¶i nh− sau: tr−êng hîp m« t¶ sãng trong kh«ng gian pha chóng ta sö dông c¸c biÕn chuÈn. Sù b¶o tån gi¸ trÞ t¸c ®éng sãng trong mét ®¬n vÞ thÓ tÝch pha cã thÓ viÕt b»ng y0y k k  0000 xx kyxNkyxN . V× chuyÓn ®éng cña hÖ trong kh«ng gian pha diÔn ra t−¬ng øng víi c¸c ph−¬ng tr×nh Hamilton, nªn tõ ®Þnh lý Luiville [121] suy ra sù b¶o tån thÓ tÝch phÇn tö kh«ng gian pha. Trong ®iÒu kiÖn ®ã Jacobien chuyÓn tiÕp tõ phÇn tö thÓ tÝch pha ban ®Çu sang phÇn tö hiÖn hμnh ®ång nhÊt b»ng ®¬n vÞ: 1 ),( ),( 0000   yx yx k,ky,x k,k,yx . VËy t−¬ng quan (5.3) tho¶ m·n. Nh÷ng ®iÓm kú dÞ - tô tia liªn quan tíi viÖc Jacobien tiÕn tíi 0 sÏ kh«ng xuÊt hiÖn nh− trong tr−êng hîp m« t¶ sãng trong kh«ng gian vËt lý (xem môc 1.3). §iÒu kiÖn (5.3) cã nghÜa r»ng khi kh«ng cã t¸c ®éng cña c¸c nguån vμ c¸c dßng n¨ng l−îng sÏ b¶o toμn mËt ®é phæ t¸c ®éng sãng däc theo quü ®¹o truyÒn c¸c chïm sãng. NhËn thÊy r»ng tÝnh chÊt nμy ®èi víi tr−êng hîp biÕn tÝnh phæ sãng trªn n−íc n«ng ®· ®−îc M. S. Longuet-Higgins [310] chøng minh lÇn ®Çu tiªn. 5.2. TiÕn triÓn cña phæ tÇn sè  gãc trªn dßng ch¶y BiÓu thøc tæng qu¸t m« t¶ sù t¸n x¹ cña phæ tÇn sè  gãc cña sãng. XÐt tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt cña ph−¬ng tr×nh ®éng häc (5.1), khi cã thÓ bá qua c¸c hμm nguån ë vÕ tr¸i ph−¬ng tr×nh nμy vμ mËt ®é phæ N gi÷ nguyªn kh«ng ®æi däc 205 206 theo quü ®¹o truyÒn chïm sãng. Bμi to¸n t×m N theo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ),,( 000 trkN  quy vÒ viÖc tÝch ph©n c¸c ph−¬ng tr×nh Hamilton (5.2) vμ x¸c ®Þnh c¸c mèi phô thuéc ),,(00 trkkk   , ),,(0 trkrr 0   . PhÇn lín tr−êng hîp chØ cã thÓ gi¶i b»ng sè hÖ ph−¬ng tr×nh (5.1). Ta sÏ chuyÓn tõ mËt ®é phæ t¸c ®éng sãng )(kN  sang mËt ®é phæ n¨ng l−îng ),(  SS phô thuéc vμo tÇn sè  vμ gãc )/( xy kk arctg . ViÖc chuyÓn tõ mét mèi phô thuéc phæ nμy sang mèi phô thuéc cã thÓ dÔ thùc hiÖn trong tr−êng hîp gi÷a c¸c hîp phÇn vect¬ sãng k  , tÇn sè  vμ gãc  tån t¹i liªn hÖ:      sin,cos, kkkk yx ; Jacobian chuyÓn tiÕp tõ yx kk , sang c¸c biÕn  , b»ng        kkkk yx , , . TrÞ sè phæ S tuú thuéc vμo c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã thÓ viÕt d−íi d¹ng    trSkktrS 000 1 0 0 2 0 2 ,,,,,,          . (5.4) BiÓu thøc (5.4) nhËn ®−îc víi nh÷ng gi¶ thiÕt kh¸ tæng qu¸t vμ nã cã thÓ m« t¶ sù t¸n x¹ sãng khi cã mÆt bÊt ®ång nhÊt ®é s©u vμ khi sãng truyÒn trªn nÒn dßng ch¶y. Kh¸c víi n−íc n«ng, dßng ch¶y kh«ng chØ dÉn ®Õn sù t¸n x¹ sãng. ë ®©y xuÊt hiÖn nh÷ng hiÖu øng bæ sung, liªn quan tíi sù bÊt ®ång nhÊt tèc ®é dßng trong thêi gian vμ kh«ng gian. Sù biÕn thiªn thêi gian dÉn tíi sù dÞch chuyÓn Dopler vÒ tÇn sè, bÊt ®ång nhÊt kh«ng gian - tíi sù t−¬ng t¸c gi÷a sãng vμ dßng. Chóng ta sÏ xÐt kü h¬n vÒ hiÖu øng thø nhÊt. DÞch chuyÓn Dopler phæ tÇn sè - gãc. Khi truyÒn sãng trªn dßng ch¶y kh«ng dõng ®ång nhÊt vect¬ sãng theo ph−¬ng tr×nh (5.2) gi÷ nguyªn kh«ng ®æi, tøc tVkdtd  //  . Sö dông biÓu thøc cña phæ (5.4), trong tr−êng hîp nμy cã thÓ viÕt    trStrS ,,,,,,    000 , (5.5) ë ®©y S phæ trong hÖ täa ®é bÊt ®éng, cßn 0S phæ sãng trªn dßng ch¶y. C¸c tÇn sè  vμ 0 liªn hÖ víi nhau b»ng mèi quan hÖ t¶n m¹n cña sãng trªn dßng ch¶y Vk  . Víi c¸c sãng trªn n−íc s©u, khi 0S kh«ng phô thuéc vμo r  , ta viÕt l¹i biÓu thøc (5.5) d−íi d¹ng         ,/cos, 0121 SgVS , (5.6) trong ®ã  gãc gi÷a h−íng trôc Ox vμ tèc ®é V . §Æc ®iÓm cña quan hÖ nμy lμ ë chç  kh«ng ph¶i lμ hμm ®¬n trÞ cña  . Ta sÏ biÓu diÔn sù phô thuéc cña  vμo  d−íi d¹ng       cos~cos~ VV 11 2 , (5.7) ë ®©y  gVV /~ 4 tèc ®é dßng ch¶y kh«ng thø nguyªn. DÊu (+) trong (5.7) øng víi c¸c sãng tíi, cßn dÊu (–) (khi 0 )cos(~V ) øng víi sãng ng−îc [332]. Phæ toμn phÇn ),( S ph¶i gåm tæng c¸c phæ t−¬ng øng víi c¸c nh¸nh kh¸c nhau cña quan hÖ (5.7). §èi víi nh÷ng tèc ®é dßng ch¶y ®iÓn h×nh tån t¹i thùc trªn §¹i d−¬ng thÕ giíi, phÇn ®ãng gãp t−¬ng ®èi cña c¸c sãng ng−îc (chu kú cña chóng gV / 4 ) vμo d¶i phæ mang n¨ng l−îng cña c¸c sãng giã t−¬ng ®èi nhá, v× vËy ®«i khi cã thÓ chØ giíi h¹n xÐt c¸c sãng tíi. Khi ®ã quan hÖ (5.5) viÕt l¹i d−íi d¹ng 207 208        1 0 cos~/,, VSS . (5.8) Nhê c¸c quan hÖ (5.7) hay (5.8) cã thÓ chØ ra r»ng dÞch chuyÓn Dopler sÏ dÉn tíi xª dÞch nh÷ng hîp phÇn phæ, ®Æc biÖt nh÷ng tÇn sè lín. Trong ®ã, dÜ nhiªn, c¶ ®é cao sãng trung b×nh lÉn phæ kh«ng gian cña chóng kh«ng thay ®æi. Trªn dßng ch¶y cïng h−íng cùc ®¹i phæ xª dÞch vÒ phÝa nh÷ng tÇn sè lín h¬n, cßn phÇn cao tÇn cña mËt ®é phæ trë nªn tho¶i h¬n. Trªn dßng ch¶y ng−îc h−íng diÔn ra sù xª dÞch ng−îc l¹i. BiÕn d¹ng phæ tÇn - gãc cña sãng trªn dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt. Sù biÕn d¹ng phæ sãng trªn dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang diÔn ra theo c¸ch kh¸c. Ta sö dông quan hÖ (5.4) ®Ó nhËn biÓu thøc tiÕn triÓn phæ sãng khi truyÒn trªn n−íc s©u ( gk2 ) trong ®iÒu kiÖn tån t¹i dßng ch¶y dõng bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang )(rV   . Trong tr−êng hîp nμy, tÇn sè  gi÷ nguyªn däc theo c¸c tia vμ cã thÓ nhËn ®−îc nghiÖm cuèi cïng d−íi d¹ng t−êng minh. XÐt sù truyÒn sãng tõ vïng kh«ng cã dßng ch¶y ( 0V ) tíi vïng víi tèc dßng h−íng däc theo trôc Ox  0);,( yxVV  . Gi¶ sö rμng tho¹t ®Çu (tøc khi 0V ) phæ sãng lμ ®ång nhÊt vμ dõng ),(  00 SS . Khi truyÒn sãng trªn dßng ch¶y phæ cña chóng theo quan hÖ (5.4) cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng          cos~cos~ ,,, VV SVS 111 16 00 , (5.9) trong ®ã  gVV /~ 4 tèc ®é dßng ch¶y kh«ng thø nguyªn. DÊu ( ) trong biÓu thøc nμy chøng tá tÝnh kh«ng ®¬n trÞ x¸c ®Þnh phæ sãng trªn dßng ch¶y tuú thuéc vμo tÇn sè  , gãc  vμ tèc ®é V  . TÝnh kh«ng ®¬n trÞ t−¬ng tù còng x¶y ra khi x¸c ®Þnh trÞ sè sè sãng kk  trªn dßng ch¶y   2 2 11 4      cos~ ,, Vg Vk . (5.10) §Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña phæ trong biÓu thøc (5.9) cÇn t×m 0 , nã cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh t−¬ng ®èi dÔ trong c¸c tr−êng hîp khi tèc ®é V phô thuéc chØ vμo mét trong hai täa ®é. Khi )(yVV  täa ®é x lμ täa ®é trô, vμ theo ph−¬ng tr×nh (5.2) hîp phÇn xk gi÷ nguyªn trong khi truyÒn chïm sãng, khi ®ã              20 11 4 cos~ cosarccos V . (5.11) Tr−êng hîp kh¸c, khi )(xVV  , constk vμ khi ®ã              20 11 4 cos~ sinarcsin V . (5.12) Tr−êng hîp thø nhÊt (5.11) øng víi t×nh huèng truyÒn sãng trªn dßng bÊt ®ång nhÊt ngang cã tÝnh ®øt ®o¹n vμ sÏ ®−îc xÐt sau nμy. Ta kh¶o s¸t tr−êng hîp thø hai mét c¸ch tØ mØ h¬n. VËy gãc  biÕn ®æi nh− thÕ nμo phô thuéc vμo tèc ®é kh«ng thø nguyªn V~ khi truyÒn chïm sãng tíi vïng dßng ch¶y cã tèc ®é )(xV t¨ng dÇn. XuÊt ph¸t tõ ®iÒu kiÖn b¶o toμn tÇn sè  vμ hîp phÇn vect¬ sãng yk däc quü ®¹o, ta viÕt tÝch ph©n ®éng l−îng chïm sãng trong c¸c biÕn V~ vμ  d−íi d¹ng   sinsincos~ 4 V , (5.13) trong ®ã  2/ygk tham sè kh«ng thø nguyªn, kh«ng ®æi däc 209 210 quü ®¹o. §èi víi nh÷ng chïm sãng ®i ra tõ vïng kh«ng cã dßng ch¶y ( 00 V ) gi¸ trÞ cña tham sè  nhá h¬n ®¬n vÞ vμ b»ng sin . Trong tr−êng hîp khi c¸c sãng tho¹t ®Çu ®−îc sinh ra trªn dßng ch¶y,  cã thÓ lín h¬n ®¬n vÞ. H×nh 5.1. BiÕn d¹ng c¸c tham sè phæ trªn dßng ch¶y t¨ng dÇn tèc ®é (a) vμ chi tiÕt h¬n t¹i l©n cËn ®iÓm phong to¶ (b) I - ®−êng cong trªn ®ã tho¶ m·n quan hÖ 0 )( gCk  ; II - quü ®¹o truyÒn chïm sãng trong c¸c biÕn  ,~V (mòi tªn chØ h−íng truyÒn); III - ®−êng cong trªn ®ã 0gxC Quan hÖ (5.13) cã thÓ xem nh− quü ®¹o truyÒn chïm sãng trªn mÆt ph¼ng   ,~V . Quü ®¹o nμy víi 1 biÓu diÔn trªn h×nh 5.1a d−íi d¹ng ®−êng cong IIa (hay ®−êng cong IIb víi 1 ). Phô thuéc )~(V kh«ng ph¶i lμ phô thuéc ®¬n trÞ, tøc øng víi cïng mét gi¸ trÞ V~ khi 1 cã hai gi¸ trÞ gãc  (khi 1 øng víi mét V~ cã thÓ tån t¹i ba gi¸ trÞ  ). NÕu chïm sãng truyÒn tõ vïng kh«ng cã dßng ch¶y ( 00 V ) tíi vïng dßng ch¶y t¨ng dÇn vÒ ®é lín V , th× trªn mÆt ph¼ng   ,~V sÏ t−¬ng øng diÔn ra sù chuyÓn ®éng vÒ bªn ph¶i däc theo phÇn trªn cña ®−êng cong bªn tr¸i II ®Õn ®iÓm A (®−êng cong IIa trªn h×nh 5.1a hay mét c¸ch chi tiÕt h¬n trªn h×nh 5.1 b). Trong khi ®ã h×nh chiÕu cña tèc ®é nhãm trªn trôc Ox d−¬ng, tøc )(cos 0 khi 0 2 1  VV k gCgx . T¹i ®iÓm A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt cña tèc ®é dßng ch¶y trªn quü ®¹o vμ quan hÖ (5.13) nh− mét hμm )(~ V cã gi¸ trÞ cùc ®¹i. §iÓm A lμ ®iÓm ngoÆt, sau khi ®i qua nã gxC trë thμnh ©m. Trªn mÆt ph¼ng   ,~V b¾t ®Çu sù chuyÓn ®éng däc theo phÇn d−íi cña ®−êng cong II tõ ®iÓm A vÒ bªn tr¸i (xem h×nh 5.1a, ®−êng cong σII ), tøc vÒ phÝa vïng gi¶m dÇn gi¸ trÞ tèc ®é dßng ch¶y. T¹i ®iÓm ngoÆt A sÏ b¾t ®Çu mÊt ®i sù kh«ng ®¬n trÞ x¸c ®Þnh gãc  , vμ gi¸ trÞ cña nã cã thÓ t×m tõ biÓu thøc (5.13) b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè bËc bèn t−¬ng øng, nghiÖm thùc cña nã lμ biÓu thøc:                   2 33 3 2 333 1 11 13 12111 2 4 1 vv vvvA arcsin (5.14) 211 212 trong ®ã 227161  / . Trong biÓu thøc nμy cÇn lÊy (–) nÕu 1 . §èi víi c¸c sãng víi 1 tån t¹i hai ®iÓm ngoÆt – A vμ A  (xem h×nh 5.1a). Tèc ®é dßng ch¶y t¹i ®ã diÔn ra sù phong to¶ sãng, phô thuéc vμo trÞ sè cña tham sè  (víi πg/,V AA 0960 40381 1 ,,,  ). Khi 433 / ®iÓm ngoÆt hoμn toμn biÕn mÊt. Trong c«ng tr×nh [10] dÉn ®Þnh nghÜa vÒ c¸c sãng tíi vμ sãng ng−îc trªn dßng ch¶y. C¸c sãng tíi lμ nh÷ng chïm sãng mμ tÝch v« h−íng cña vect¬ sãng k  víi vËn tèc nhãm gC  d−¬ng: 0)( gCk  . T−¬ng øng, c¸c sãng ng−îc lμ nh÷ng sãng mμ tÝch nμy ©m. Khi truyÒn sãng trªn dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt sù chuyÓn tõ c¸c sãng tíi sang c¸c sãng ng−îc diÔn ra khi 0)( gCk  . Cã thÓ dÔ dμng chØ ra r»ng ®iÒu nμy x¶y ra kh«ng ph¶i t¹i ®iÓm phong to¶ nh− tr−íc ®©y ng−êi ta t−ëng [10], mμ t¹i mét ®iÓm cña quü ®¹o n¬i ®ã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 01  cos~V . §Ó minh ho¹ ®iÒu võa nãi, quan hÖ trªn d−íi d¹ng ®−êng cong I ®−îc dÉn trªn mÆt ph¼ng   ,~V (xem h×nh 5.1a, b). §−êng cong I tiÕp gi¸p víi ®−êng cong II t¹i ®iÓm B ë ®ã   .//~ 2411 BV §−êng cong I lμ ®−êng bao cña mét hä quü ®¹o t−¬ng øng víi nh÷ng trÞ sè kh¸c nhau cña tham sè  . Sù trïng hîp cña ®iÓm phong to¶ A víi ®iÓm chuyÓn tiÕp tõ c¸c sãng tíi sang sãng ng−îc B chØ x¶y ra trong ®iÒu kiÖn mét chiÒu, khi 0 sin . HiÖu øng c¸ch biÖt ®iÓm A víi ®iÓm B trë nªn thÓ hiÖn cμng râ nÐt h¬n khi tham sè  t¨ng dÇn. Mét thùc tÕ lý thó lμ trªn ®o¹n quü ®¹o tõ ®iÓm phong to¶ A ®Õn ®iÓm B c¸c sãng tíi bÞ dån ng−îc trë l¹i xu«i theo dßng ch¶y ( 0gxC ), vμ chØ sau ®ã t¹i ®iÓm B n¬i tèc ®é dßng b»ng 1 2414      )/(gVB míi trë thμnh c¸c sãng ng−îc. Xa dÇn sau ®iÓm B chóng bÞ cuèn xu«i theo dßng. §èi víi c¸c sãng ®ã lu«n tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc 0gxC . Sãng cμng truyÒn vμo vïng víi gi¸ trÞ tèc ®é dßng nhá dÇn th× gãc  gi¶m dÇn tíi kh«ng. Nh− ®· nhËn xÐt, hîp phÇn vËn tèc nhãm gxC cña c¸c sãng tíi cã thÓ d−¬ng, cã thÓ ©m. §iÒu kiÖn 0gxC cã thÓ viÕt thμnh d¹ng 023  coscos~V . §−êng cong III t−¬ng øng víi quan hÖ nμy còng ®−îc dÉn trªn h×nh 5.1a,b. Nã chia mÆt ph¼ng   ,~V thμnh hai vïng øng c¸c trÞ sè kh¸c nhau gxC . Bªn tr¸i ®−êng cong III, trong c¸c sãng tíi 0gxC . Nh÷ng sãng mμ 1 cã nh÷ng trÞ sè gxC d−¬ng trªn ®o¹n quü ®¹o II gi÷a hai ®iÓm phong to¶ A vμ A  . Cùc ®¹i cña hμm V~ ®¹t ®−îc t¹i )/(arccos 32  vμ b»ng 32 34 // . T¹i nh÷ng trÞ sè cña tèc ®é kh«ng thø nguyªn V~ lín h¬n 3/23/4 c¸c sãng víi 0gxC hoμn toμn kh«ng tån t¹i, mÆc dï trong khi ®ã c¸c sãng tíi cã thÓ tån t¹i víi 1~ V . §iÓm B cã tÝnh chÊt lμ t¹i ®ã tÝnh kh«ng ®¬n trÞ trong c¸c quan hÖ (5.9), (5.10) vμ (5.12) mÊt ®i. DÊu (+) t−¬ng øng víi c¸c sãng tíi trong c¸c biÓu thøc nμy, cßn dÊu (–) - c¸c sãng ng−îc. TrÞ sè cña sè sãng k t¹i ®iÓm B b»ng g/24 , tøc lμ nã kh«ng phô thuéc vμo tèc ®é dßng ch¶y vμ gãc  . Trong biÓu thøc phæ sãng (5.9) xuÊt hiÖn ®iÓm kú dÞ khi 01  cos~V . T¹i l©n cËn ®iÓm B ®é lín cña phæ tÇn - gãc tiÕn tíi v« cïng. §Æc ®iÓm nμy ®· xuÊt hiÖn do sö dông phÐp thay thÕ c¸c biÕn trong biÓu thøc (5.4). BiÓu thøc cã mÆt trong 213 214 Jacobien (5.4) trë thμnh v« cïng khi 01  cos~V . Trong tr−êng hîp nμy 0)( gCk  , tøc h×nh chiÕu cña vËn tèc nhãm cña chïm lªn h−íng ®· chän, x¸c ®Þnh bëi gãc  , b»ng 0. Trªn h−íng nμy thêi gian sèng ®o ®−îc cña chïm víi tÇn sè  cos/ Vg 4 t¨ng v« h¹n. Chïm sãng thÓ hiÖn b»ng mét sãng ®¬n, ®Òu, phæ cña nã ®−îc xÊp xØ b»ng hμm-  S ~ )cos/(  Vg 4 cã ®iÓm kú dÞ t¹i  cos/ Vg 4 . Nh− vËy ®èi víi hîp phÇn ®· cho ®é lín cña phæ thêi gian ),( S nhËn trÞ sè v« cïng lín. Nh− sÏ chØ ra d−íi ®©y, nÕu nh− kh«ng dïng phæ thêi gian, mμ dïng phæ kh«ng gian, th× ®iÓm kú dÞ nμy ®· kh«ng xuÊt hiÖn. Kú dÞ phæ (5.9) t¹i ®iÓm B lμ kh¶ tÝch. TrÞ sè phæ cña c¸c sãng ng−îc ),( S còng t¨ng cïng víi sù gi¶m tèc ®é dßng ch¶y, vμ vÒ gi−ãi h¹n khi 0V xuÊt hiÖn kú dÞ kh«ng kh¶ tÝch, chøng tá vÒ sù sù t¨ng v« h¹n biªn ®é c¸c sãng träng lùc. Theo (5.9) b−íc sãng cña c¸c sãng nμy gi¶m cïng víi sù gi¶m vËn tèc. §é dèc c¸c sãng bÞ dßng ch¶y mang xu«i dßng t¨ng m¹nh vμ cã thÓ v−ît qu¸ gi¸ trÞ tíi h¹n cho phÐp, ®iÒu nμy ch¾c ch¾n dÉn tíi ®æ nhμo sãng. Ta xÐt tr−êng hîp ph©n bè gãc cña phæ ban ®Çu khi kh«ng cã dßng ch¶y lμ kh¸ hÑp vμ nã cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng tÝch    000  SS  , ë ®©y )( 0 hμm-delta cña Dirak. Trong tr−êng hîp nμy nhê t−¬ng quan (5.9) phæ tÇn sè mét chiÒu ®−îc dÉn tíi d¹ng     2 0 0 11 1 4          VV SdVSS ~~ )()~,(, . (5.15) BiÓu thøc cña phæ )(S trïng víi mét t−¬ng quan ®· nhËn ®−îc trong mét c«ng tr×nh tr−íc ®©y [281]. §èi víi c¸c sãng ®Òu )(S chuyÓn thμnh mét biÓu thøc quen thuéc vÒ diÔn biÕn biªn ®é sãng trªn dßng ch¶y do M. S. Longuet-Higgins vμ R. Stewart ®· nhËn ®−îc [314]. Trªn dßng ch¶y ®èi mÆt t¨ng dÇn, phæ toμn phÇn cña sãng ®−îc quan nÖm t¹o thμnh tõ c¸c phæ sãng tíi vμ sãng ng−îc. Sãng ng−îc, nh− ®· chØ ra tr−íc ®©y, xuÊt hiÖn do ph¶n x¹ c¸c sãng tíi tõ dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt ph−¬ng ngang vμ bÞ cuèn tr«i xu«i theo dßng ch¶y. NÕu tèc ®é dßng )(V ®¬n ®iÖu t¨ng ®Õn mét gi¸ trÞ nμo ®ã, sau ®ã trë nªn kh«ng ®æi, th× trªn ®o¹n n¬i tèc ®é kh«ng ®æi phæ sãng ®−îc m« t¶ chØ b»ng phæ cña c¸c sãng tíi. Ta sÏ xÐt sù biÕn d¹ng phæ tÇn - gãc cña sãng trong tr−êng hîp nμy. Gi¶ sö r»ng gi¸ trÞ ban ®Çu cña phæ sãng ®−îc m« t¶ bëi biÓu thøc xÊp xØ                  n n n n nmnQS maxmax exp, 1 1 10000 , (5.16) trong ®ã 0m m«men kh«ng cña phæ;  )( 0Q ph©n bè gãc ban ®Çu, ®−îc xÊp xØ b»ng hμm c«sin luü thõa bèn. Ta cho trÞ sè tÇn sè cùc ®¹i phæ max b»ng 0,86 rad/s, 4n . Trªn dßng ch¶y ®èi mÆt, theo nh÷ng ®iÒu ®· nãi ë trªn, ph©n bè gãc ®−îc x¸c ®Þnh b»ng quan hÖ                             4 2 2 4 2 11 16 1 11 16 1 3 8 cos~ sin cos~ sin)~,( VV VQ   2 3 V~coscos  , (5.17) 215 216 ë ®©y   V~, hμm Hevisside, tÝnh tíi sù v¾ng mÆt c¸c hîp phÇn sãng trong c¸c vïng t−¬ng øng cña mÆt ph¼ng  V~,  . H×nh 5.2. DiÔn biÕn phæ sãng ),( S trªn dßng ch¶y ng−îc m/s 1V (a) vμ trªn dßng cïng h−íng m/s 3V (b) øng víi nh÷ng gi¸ trÞ  : oooo 604;303;152;01  §−êng chÊm - g¹ch nèi chØ c¸c gi¸ trÞ t−¬ng øng cña kho¶ng c©n b»ng, ®−êng g¹ch nèi - phæ ban ®Çu khi oV 0 m/s 0  , Trªn h×nh 5.2a, b dÉn gi¸ trÞ phæ biÕn d¹ng trªn dßng ch¶y víi c¸c tèc ®é dßng 01,V vμ 3,0 m/s, tÝnh theo c¸c c«ng thøc (5.9), (5.16). Dßng ch¶y ng−îc dÉn tíi t¨ng m¹nh ®é lín phæ, trªn dßng xu«i thÊy phæ gi¶m, trong khi ®ã tÇn sè cùc ®¹i phæ hÇu nh− kh«ng biÕn ®æi. H×nh 5.3. Hμm ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc trªn dßng ch¶y ng−îc m/s 1V (a) vμ trªn dßng cïng h−íng m/s 3V (b) ®èi víi c¸c tÇn sè  : rad/s 51 3 rad/s; 650 2 rad/s; 850 1 ,,,  §−êng chÊm - g¹ch nèi chØ ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc ban ®Çu Trªn h×nh 5.3a,b dÉn h×nh d¶i qu¹t ®Þnh h−íng phæ cho c¸c tÇn sè kh¸c nhau. H×nh nμy quy chuÈn vÒ gi¸ trÞ phæ cùc ®¹i t¹i tèc ®é dßng ®· cho. Tõ c¸c h×nh vÏ thÊy r»ng dßng ch¶y ng−îc 217 218 lμm hÑp d¶i qu¹t h−íng, h¬n n÷a t¹i c¸c tÇn sè cao møc ®é hÑp l¹i cμng t¨ng. Trªn dßng ch¶y cïng chiÒu diÔn ra ®iÒu ng−îc l¹i. NÕu sãng ®i vμo vïng mμ t¹i ®ã h−íng sãng ng−îc h−íng dßng ch¶y, th× n¨ng l−îng sãng trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch sÏ t¨ng do t−¬ng t¸c víi dßng ch¶y ng−îc. T¨ng tr−ëng n¨ng l−îng cã thÓ bÞ h¹n chÕ bëi sù tiªu t¸n liªn quan víi ®æ sãng. Trong phæ xuÊt hiÖn kho¶ng c©n b»ng, tøc mét d¶i c¸c tÇn sè  vμ c¸c gãc  , t¹i ®ã dßng n¨ng l−îng nhËn tõ dßng ch¶y c©n b»ng víi mÊt n¨ng l−îng do ®æ sãng. Nãi chung, kh«ng cã c¨n cø nμo ®Ó cho r»ng kho¶ng c©n b»ng phæ tÇn sè cña sãng trªn dßng ch¶y cã d¹ng nh− biÓu thøc quen biÕt cña O. M. Phillips [190] )(S ~ 5 . NÕu sö dông gi¶ thiÕt vÒ tÝnh v¹n n¨ng cña phæ kh«ng gian trong kho¶ng c©n b»ng [301], th× ®iÒu ®ã cho phÐp t×m phæ tÇn sè - gãc cña kho¶ng trªn dßng ch¶y b»ng c¸ch tÝnh thªm t−¬ng quan t¶n m¹n t−¬ng øng. Nh− vËy, phæ tÇn sè - gãc cña kho¶ng c©n b»ng sÏ cã d¹ng            ,~~ cos~ cos~ , Vg V V S 1 32 11 52 5 (5.18) ë ®©y ~ h»ng sè Phillips;  ),~(V ph©n bè gãc t−¬ng øng. Kho¶ng c©n b»ng (5.18) ®−îc biÓu diÔn b»ng ®−êng chÊm - g¹ch nèi trªn h×nh 5.2a, b. Sù giao nhau cña ®−êng cong kho¶ng c©n b»ng víi phô thuéc phæ ®· x©y dùng tr−íc ®©y cã nghÜa r»ng ë l©n cËn kho¶ng c©n b»ng vμ phÝa ph¶i kho¶ng ®ã xÊp xØ phæ (5.9) cã thÓ lμ kh«ng ®óng. NÕu sù biÕn d¹ng sãng trªn dßng ch¶y ng−îc diÔn ra kh¸ chËm so víi thêi gian h×nh thμnh phæ sãng d−íi t¸c ®éng cña ®æ sãng, th× phÇn ®i xuèng cña phæ sÏ ®i qua kh«ng cao h¬n kho¶ng c©n b»ng, cßn cùc ®¹i phæ xª dÞch vÒ vïng c¸c tÇn sè thÊp h¬n, vμ b¶n th©n phæ trë nªn hÑp h¬n. §iÒu nμy ®−îc kh¼ng ®Þnh b»ng d÷ liÖu quan tr¾c thùc ®Þa [332]. Trong vïng víi dßng ch¶y ®ång h−íng sÏ quan s¸t thÊy bøc tranh ng−îc l¹i. ë ®©y mét phÇn n¨ng l−îng sãng bÞ dßng ch¶y hÊp phô, cßn biªn ®é c¸c hîp phÇn sãng trë nªn thÊp h¬n giíi h¹n æn ®Þnh. Sù ®æ sãng chÊm døt, cßn phô thuéc phæ ®i thÊp h¬n so víi kho¶ng c©n b»ng. 5.3. M« h×nh phæ vÒ sãng cån M« t¶ hiÖn t−îng, sè liÖu thùc nghiªm. Nh÷ng n¨m gÇn ®©y c¸c nhμ nghiªn cøu sãng giã chó ý nhiÒu tíi sãng cån. Lo¹i sãng biÓn kh«ng ®Òu, xuÊt hiÖn ë mét sè n¬i cã dßng ch¶y vßng qua nh÷ng n¬i n−íc n«ng, ®¸y mÊp m« hoÆc khi sãng truyÒn vμo n¬i gÆp dßng ch¶y ng−îc h−íng th−êng ®−îc gäi lμ sãng cån. Sãng cån còng cã thÓ do nh÷ng nguyªn nh©n t−¬ng tù kh¸c. Trong c¸c c«ng tr×nh [8,125] ®· m« t¶ tØ mØ vÒ hiÖn t−îng sãng cån do c¸c céng t¸c viªn ViÖn H¶i d−¬ng, ViÖn Hμn l©m Nga quan tr¾c ®−îc. Trong c¸c c«ng tr×nh nμy ®· thùc hiÖn ®o sãng vμ dßng ch¶y trong eo biÓn nèi vÞnh Onhega víi B¹ch H¶i. S¬ ®å xuÊt hiÖn sãng cån biÓu diÔn trªn h×nh 5.4. C¸c sãng cån lu«n quan tr¾c ®−îc trong thêi gian dßng triÒu lªn (hoÆc triÒu xuèng) æn ®Þnh, vμo lóc tèc ®é ch¶y cùc ®¹i vμ hay gÆp nhÊt trong tr−êng hîp giã vμ dßng ch¶y ng−îc h−íng nhau. Trong giã m¹nh, sãng giã lμm lu mê sãng cån. Sãng cån lμ sãng ng¾n vμ dèc h¬n so víi sãng giã vμ sãng lõng th«ng th−êng, ngoμi ra, nã bÊt ®èi xøng h¬n, ®Ønh sãng nhän, cßn ®¸y sãng tho¶i h¬n. Nh÷ng phæ sãng cån dùng theo c¸c b¨ng ghi sãng ®o trong hÖ quy chiÕu di ®éng g¾n víi dßng ch¶y cã tÝnh biÕn ®éng lín. §a 219 220 phÇn c¸c phæ cã hai ®Ønh, tøc hiÖn diÖn hai cùc ®¹i gÇn c¸c tÇn sè 2502 ,/  vμ 5,0 Hz. T¹i vïng tÇn cao sau ®Ønh thø hai, mËt ®é phæ )(S gi¶m nhanh vμ t¹i mét kho¶ng tÇn nμo ®ã cã thÓ xÊp xØ b»ng phæ c©n b»ng cña Phillips 52  gS [8] (h×nh 5.5). VÒ gi¶i thÝch lý thuyÕt hiÖn t−îng sãng cån, ng−êi ta cho r»ng nã cã thÓ liªn quan tíi sù biÕn d¹ng sãng giã trªn dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt, hoÆc liªn quan tíi sù h×nh thμnh sãng trªn mÆt tù do khi dßng ch¶y l−în quanh b·i c¶n ngÇm [8]. H×nh 5.4. S¬ ®å sãng cån lo¹i gi¸p ranh: 1 – vïng n−íc lÆng; 2 – ®íi chuyÓn tiÕp; 3 – d¶i ®á nhμo; 4 – sãng ®Ønh nhän; 5 – sãng nÒn; 6 – b·i ngÇm; mx – ®iÓm cùc ®¹i vËn tèc dßng ch¶y Tro