Toán học - Chương 3: Biến đổi Z

K zaza zbb za bzczX K k kk kk K k k k NM k k k =+ ++ + + + += ∑∑∑ = −− − = − − = − 21 1 2 2 1 1 1 10 1 1 0 21 11 )( BĐZ ngược – Tóm lại với 2011 dce 41DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Giới thiệu – Trong kỹ thuật: tác động thường bắt đầu từ thời điểm n0 nào đó. Đáp ứng cũng thường bắt đầu từ n0 và các thời điểm sau n0, với điều kiện đầu nào đó – BĐZ một phía (Z+) chỉ quan tâm đến phần tín hiệu x(n), n≥0 • Định nghĩa • Ký hiệu Z+{x(n)} và • Đặc tính – Z+{x(n)} không chứa thông tin của x(n) khi n < 0 – BĐ Z+ chỉ là duy nhất đối với t/h nhân quả – Z+{x(n)} = Z{x(n)u(n)} • ROC bên ngoài vòng tròn • Không xét đến ROC khi tính BĐ Z+ BĐZ một phía ∑ ∞ = −+ ≡ 0 )()( n nznxzX )()( zXnx Z +→← + 2011 dce 42DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ BĐZ+ – Ví dụ • x(n) = {0 1^ 2 2 1 0}  X+(z) = 1 + 2Z–1 + 2Z–2 + Z–3 • x(n) = {0 3 1^ 3 1 0}  X+(z) = 1 + 3Z–1 + Z–2 • x(n) = 3n  X+(z) = 1/(1-3Z–1) , ROC: |z| > 3, = Z{x(n)u(n)} = Z{3nu(n)} • x(n) = (1/3)nu(n)  X+(z)= 1/[1 – (1/3)Z–1] 2011 dce 43DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Các tính chất của BĐ Z đều đúng cho BĐ Z+, ngoại trừ tính chất dịch theo thời gian • Dịch theo thời gian – Trễ • Nếu x(n) là t/h nhân quả, ta có – Nhanh • Định lý giá trị cuối cùng – Giới hạn tồn tại nếu ROC của (z-1)X+(z) chứa vòng tròn đơn vị )()( zXnx z +→← + 0])()([)( 1 >−+→←− ∑ = +−+ kznxzXzknx k n nkZ 0)()( >→←− +− + kzXzknx kZ 0])()([)( 1 0 <−→←+ ∑ − = −++ kznxzXzknx k n nkZ )()1(lim)(lim 1 zXznx zn + →∞→ −= BĐZ+ – Tính chất (1) 2011 dce 44DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: cho x(n) = 2n – Tìm Z+{x(n–3)} – Tìm Z+{x(n+2)} 121 1)( − + − = z zX 21123 1 3 21 1 3 222 21 1 )1()2()3( 21 1)}3({ −−−−− − − −− − −+ +++ − = −+−+−+ − =− zz z z zxzxx z znxZ zz z z zxzx z znxZ 2 21 1 )1()0( 21 1)}2({ 2 1 2 1 2 2 −− − = −− − =+ − − + BĐZ+ – Tính chất (2) 2011 dce 45DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ h(n)=(1/2)nu(n) x(n)=u(n) y(n) 2 )( lim)()1(lim)(lim ))(1(1 1 1 1)()()( 2 1 2 11 2 1 2 1 2 11 = − =−= −− = −− == →→∞→ −− z zzYzny zz z zz zHzXzY zzn BĐZ+ – Tính chất (3) • Ví dụ: cho hệ thống 2011 dce 46DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Giải PTSP – Dùng BĐ Z+ để giải PTSP với điều kiện đầu khác 0 – Phương pháp • Xác định PTSP của hệ • Tính BĐ Z+ cả 2 vế PTSP để biến đổi nó thành PT đại số trong miền Z • Giải PT đại số để tìm BĐ Z của t/h mong muốn • Tìm BĐ Z ngược để xác định t/h trong miền thời gian – Ví dụ: xác định đáp ứng bước của hệ y(n) = ay(n–1) + x(n) (|a|< 1) với đ/k đầu y(–1) = 1 Y+(z) = a[z–1Y+(z) + y(–1)] + X+(z) )()1( 1 1)( 1 1)()( 1 1 1 1 1 )( 1 1)( 2 1 1 111 1 nua a nu a anuany zazaz azY z zX n n n + + + −−− + − + − − = − − +=⇒ −− + − =⇒ − = BĐZ+ – Ứng dụng 2011 dce 48DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tìm đáp ứng của t/h x(n) đối với một h/t LTI – Biết đáp ứng xung đơn vị h(n) Phân tích hệ LTI (1) Hệ LTI Phương trình SP • Xác định quan hệ vào-ra Y(z) = H(z)X(z) • BĐZ 2 vế PTSP • Xác định Y(z) Đáp ứng y(n) • BĐZ ngược • Phương pháp phân rã ∑∑ == −+−−= M k k N k k knxbknyany 01 )()()( y(n)x(n) 2011 dce 49DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng của h/t pole-zero với hàm h/t hữu tỉ – Giả sử – Nếu h/t nghỉ (tức y(-1) = y(-2) = = y(-N) = 0) – Giả sử • H/t có các pole đơn p1, p2, , pN và X(z) có các pole đơn q1, q2, , qL • pk ≠ qm (k = 1, , N và m = 1, , L) • Không thể ước lược giữa B(z)N(z) và A(z)Q(z) – Biến đổi ngược – Có thể tổng quát hoá trong trường hợp X(z) và H(z) có pole chung hoặc pole bội Phân tích hệ LTI (2) )( )()( )( )()( zQ zNzXvà zA zBzH == )()( )()()()()( zQzA zNzBzXzHzY == ∑∑ = − = − − + − =⇒ L k k k N k k k zq Q zp AzY 1 1 1 1 11 )( ∑∑ == += L k n kk N k n kk nuqQnupAny 11 )()()()()( Đáp ứng tự nhiên Đáp ứng cưỡng bức 2011 dce 51DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tìm đáp ứng của t/h x(n) đối với một h/t LTI có đ/k đầu – Biết đáp ứng xung đơn vị h(n) – Biết các đ/k đầu của h/t Phân tích hệ LTI (3) Hệ LTI Phương trình SP • Xác định quan hệ vào-ra • PTSP Y+(z) = H+(z)X+(z) • BĐZ+ 2 vế PTSP • Có thể tách ra Y+zi(z) và Y+zs(z) Đáp ứng y(n) • BĐZ ngược • Phương pháp phân rã ∑∑ == −+−−= M k k N k k knxbknyany 01 )()()( y(n)x(n) 2011 dce 52DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng của h/t pole-zero với đ/k đầu khác 0 – Cho t/h x(n) nhân quả và các đ/k đầu y(-1), y(-2), , y(-N) – BĐ Z+ cả 2 vế và X+(z) = X(z) – Đáp ứng gồm 2 phần • Đáp ứng trạng thái không Yzs(z) = H(z)X(z) (công thức phần trước) • Đáp ứng không ngõ nhập (p1, p2, , pN là pole của A(z)) • Do y(n) = yzs(n) + yzi(n) • Đ/k đầu chỉ làm thay đổi đáp ứng tự nhiên của h/t thông qua hệ số co giãn Phân tích hệ LTI (4) ∑∑ == −+−−= M k k N k k knxbknyany 01 )()()( ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ == − = − == − = − = − + −−≡+= + − − + = k n n N k kk N k kk k n n N k kk N k kk M k kk znyzazN zA zNzXzH za znyza zX za zb zY 11 0 0 1 11 1 0 )()( )( )()()( 1 )( )( 1 )( ∑ = =→←= + N k n kkzi Z zi nupDnyzA zNzY 1 0 )()()( )( )()( )()()()()()( ' 11 ' kkk L k n kk N k n kk DAAnuqQnupAny +=+=⇒ ∑∑ == 2011 dce 53DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phân tích hệ LTI – Ví dụ 1 1. PTSP y(n) = 3x(n) + 2y(n–1) 2. BĐ Z Y+(z) = 3X+(z) + 2[z–1Y+(z) + y(–1)]  3. Biến đổi Z ngược 11 21 1 31 3)( −− + −− = zz zY z-1 + 2 x(n) y(n)3 =0 )(.2.6)(.3.9)( 2 6 3 9)( 6)()2( 9)()3( 23)2)(3( 3)( )2)(3( 3)( 2 2 3 1 21 2 nununy zz zY z zYzA z zYzA z A z A zz z z zY zz zzY nn z z −= − − − = −=−= =−= − + − = −− = −− = + = + = + + + Hệ có điều kiện đầu bằng không 2011 dce 54DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phân tích hệ LTI – Ví dụ 2 1. PTSP y(n) = 3x(n) + 2y(n–1) 2. BĐ Z Y+(z) = 3X(z) + 2[Z–1Y(z) + y(–1)]  3. Biến đổi Z ngược 111 21 2 21 1 31 3)( −−− + − + −− = zzz zY z-1 + 2 x(n) y(n)3 =1     = − = − + )(.2.2)( 21 2)( 1 nuny z zY n zi zi Y+zs(z) Y+zi(z)      −= −− =+ )(.2.6)(.3.9)( )2)(3( 3)( 2 nununy zz zzY nn zs zs )(2.6)(3.9)(.2.2 )()()( nununu nynyny nnn zszi −+= += Hệ có điều kiện đầu bằng không 2011 dce 55DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng tự nhiên – Khi │pk│< 1 (∀k), ynr(n) tiệm cận về 0 khi n → ∞ : đáp ứng nhất thời • Đáp ứng cưỡng bức – Khi t/h nhập là t/h sin, các pole qk nằm trên vòng tròn đơn vị và các đáp ứng cưỡng bức cũng có dạng sin: đáp ứng đều • Tính nhân quả và ổn định trên H(z) – Nhân quả LTI : nhân quả  h(n) : nhân quả H(z) : có ROC là ngoài vòng tròn bán kính R nào đó – Ổn định LTI : ổn định  h(n) : khả tổng tuyệt đối H(z) : có ROC chứa vòng tròn đơn vị – Nhân quả và ổn định LTI nhân quả : ổn định H(z) : tất cả các pole nằm trong vòng tròn đơn vị ∑ = = L k n kkfr nuqQny 1 )()()( ∑ = = N k n kknr nupAny 1 )()()( Phân tích hệ LTI – Đáp ứng của hệ (1) 2011 dce 56DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng đều và tiệm cận – Xác định đáp ứng đều và tiệm cận của h/t mô tả bởi PTSP y(n) = 3y(n–1) + x(n) khi t/h nhập là x(n) = 2sin(πn/4)u(n) H/t có đ/k đầu bằng 0. • Ổn định và nhân quả – Cho h/t LTI được đặc trưng bởi hàm h/t Đặc tả ROC của H(z) và xác định h(n) trong các trường hợp • H/t ổn định • H/t nhân quả • H/t phản nhân quả • Ổn định của h/t bậc 2 Phân tích hệ LTI – Đáp ứng của hệ (2) 11 2 121 1 31 2 1 1 5.15.31 43)( −−−− − − + − = +− − = zzzz zzH