Toán học Số phức

S ph cố ứ CR Q ZN N 0 2 3……….. n1 0 2 3……..... n1-1-2-3 Z 0 2 3……..... n1-1-2-3 Q 0 1/21/40 1/3= ? 2/7= ? 0 R 0 8 + 8 S Ph cố ứ 1. Định nghĩa số phức  Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z =  a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần  thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z  ­Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). ­Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). 2. Định nghĩa số i  Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho:  1i2 −= D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Hai số phức bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu  chúng có phần thực và phần ảo tương ứng  bằng nhau.  Ví dụ: Cho  tìm tất cả các số thực a để  Giải : i3az;i35z 21 +=+= 21 zz = 5 33 5 33521 =⇔  = = ⇔+=+⇔= a a iaizz D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Phép cộng và phép trừ của hai số phức  Cho hai số phức:  Z1= a1+ b1i và Z2= a2+ b2i khi đó  ­ Phép cộng: a1+ b1i + a2+ b2i    = (a1 + a2) + (b1+ b2)i .  ­ Phép trừ (tương tự)    Tóm lại :Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ )  phần thực và phần ảo tương ứng. D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Ví dụ : ( ) ( )i56i93z +++= ( ) ( ) 14zIm;12zRe i1412i56i93z ==⇒ +=+++= Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c .ầ ự ầ ả ủ ố ứ Gi i :ả D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Phép nhân  Cho hai số phức: Z1= a1+ b1i và Z2= a2+ b2i   khi đó  ­ Phép nhân  (a1+ b1i).(a2+ b2i) = (a1a2­ b1b2) + (a1b2+ b1a2)i  ­ Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức  đại số với chú ý: i²= ­1  D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Định nghĩa số phức liên hợp: ­Số phức  được gọi là số phức liên hợp của số phức  ­ Ví dụ:Tìm số phức liên hợp của số phức Z= (2­ 5i)(1+ 3i)  Giải : z= 17+ i vậy số phức liên hợp là  biaz −= biaz += i17z −= D ng đ i s c a s ph cạ ạ ố ủ ố ứ  Phép chia hai số phức Cho z = a + bi , w = c + di  (w   0) ta có  ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp  của mẫu ) ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 22 2 dc iadbc dc bdac dc iadbcbdac dc bdibciadiac dicdic dicbia dic bia w z + − + + + = + −++ = + −+− = −+ −+ = + + = D ng l ng giácạ ượ  Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là  một số thực dương  được định nghĩa như sau: ký hiệu    vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M  biểu thị nó đến gốc tọa độ . ( ) 22 barzMod +== z D ng l ng giácạ ượ  Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau   Giải : Ta có a = 4 , b =  3  vậy Mod(z) = iz 34+= 534 22 =+ D ng l ng giácạ ượ  Định nghĩa argument của số phức :     + + + +=+= 2222 22 ba bi ba ababiaz Trong đó . ( )isincosrz ba bsin ba acos bar 22 22 22 ϕ+ϕ=⇒        + =ϕ + =ϕ += là dạng lượng giác  Mọi nghiệm của hệ phương trình     + =ϕ + =ϕ 22 22 ba bsin ba acos gọi là argument của số phức  biaz += 0≠ D ng l ng giácạ ượ  Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2  và ∏ ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với  véctơ bán kính      của điểm M. Góc φ được giới hạn  trong khoảng              hoặc   Ví dụ: Tìm argument của số phức  OM pi<ϕ≤ 20 pi≤ϕ≤pi− iz 31+= 3b,1a ==Gi i :ả ta tìm góc φ 3 2 3 r bsin 2 1 r acos pi =ϕ⇒    ==ϕ ==ϕ v y Argz =ậ 3 pi D ng l ng giácạ ượ Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:  Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở  dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument  cộng lại.   = pi+ϕ=ϕ ⇔= 21 21 21 rr 2k zz ( ) ( )[ ]i.sincosr.rz.z 21212121 ϕ+ϕ+ϕ+ϕ= D ng l ng giácạ ượ  Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument  của số phức  Giải :  ( ) ( )i31i1z −+= ( ) ( )    −+−   += −+= . 3 sin 3 cos2. 4 sin 4 cos2 311 pipipipi ii iiz 12 isin 12 cos22 34 sini 34 cos22 pi −+ pi −=    pi − pi +   pi − pi =