Toán phần tích phân

Trần Sĩ Tùng Tích phân 2cos2xd(sin2x)1sin2x2− ⇒F(x)−G(x)=dx=−=−+lnC ∫∫2− sin2x sin2 2x2− 22sin2x2+ 2 F(x)+G(x)=+xC1  112+sin2x Ta được: 12+sin2x ⇒F(x)=x++lnC. F(x)−G(x)=+lnC2 2 222−sin2x 222−sin2x Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x)= 2sin2 x.sin2x. Giải: Chọn hàm số phụ: g(x)= 2cos2 x.sin2x. Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: f(x)+g(x)=2(sin22x+cosx).sin2x=2sin2x⇒F(x)+G(x)2=sin2xdx=−+cos2xC ∫ 1 f(x)−g(x)=2(sin22x−cosx).sin2x=−2cos2x.sin2x=−sin4x 1 ⇒F(x)−G(x)=−sin4xdx=+cos4xC ∫ 4 2 F(x)+G(x)=−+cos2xC  1 11 Ta được:  1 ⇒F(x)=−cos2x++cos4xC. F(x)−G(x)=cos4xC++ 24 4 2 ex Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: f(x).= eexx− − Giải: e−x Chọn hàm số phụ: g(x).= eexx− − Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: eexx+− f(x)+=g(x) eexx−− ex+−e−−xd(exxe) ⇒F(x)+G(x)=dx==lnexx−+eC− ∫∫ex−−e−−xeexx 1 eexx−− f(x)−g(x)==1⇒F(x)−G(x)=dx=+xC. eexx− − ∫2  xx− F(x)+G(x)=lne−+eC1 1 xx− Ta được:  ⇒F(x)=(lne−e++x)C. 2 F(x)−G(x)=+xC2 BÀI TẬP Bài 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số: sinx ex a/ f(x);= b/ f(x)= sin2 x.cos2x. c/ f(x) = sinx+ cosx eexx+ − 1 11 1 ĐS: a/ (x−lnsinx++cosxC; b/ (sin2x−sin4x−+x)C; c/ (x+lnexx++e− )C. 2 44 2 Trang 31 Tích phân Trần Sĩ Tùng Vấn đề 7: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ Để xác định nguyên hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp tam thức bậc hai 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần 5. Sử dụng các phương pháp khác nhau. 1. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm hữu tỉ dựa trên tam thức bậc hai PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau: xdx1 1. =lnx2 ±+aC (1) ∫ xa2 ± 2 dx1xa− 2. =ln+≠C,vớia0 (2) ∫ xa22− 2axa+ xdx Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = ∫ x42−−2x2 Giải: dxxdx1d(x2 −1) Ta có: == ∫x4−2x2−2∫∫(x2−1)2−32 (x22−−1)3 11x22−1−31x−−13 =.ln+C=+lnC. 2 3x22−1+343x−+13 • Chú ý: Cũng có thể trình bày bài toán tường minh hơn bằng việc đổi biến số trước khi áp dụng các công thức (1), (2). Cụ thể: xdxxdx Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: = ∫∫x4−2x2−2(x22−−1)3 Đặt t=−x12 xdx1dt Suy ra: dt==2xdx&.. (x2−1)22−−32 t3 1dt11t−31x2 −−13 Khi đó : I==.ln+C=+lnC. 22∫t32 − 23t+343x2 −+13 Trang 32 Trần Sĩ Tùng Tích phân x3dx Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I= ∫x42−−x2 Giải: 2 11 3 x−+ xdx1122 Ta có: I==−dx2 ∫∫22 22192219 xx−−−− 2424 212211 x−dx−−dx 11222 =+ ∫∫22 24221919 xx−−−− 2424 213 2x−− 111911 =.lnx2−−++.lnC22  13 222443 x2−+ 22 11x22− =lnx42−x−2++lnC. 42x12+ 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài toán 2: Xác định nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp phân tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây để P(x) phân tích ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Q(x) x2 Dạng 1: Tính tích phân bất định: I=≠dx,vớia0. ∫(ax+b)2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng nhất thức: 111 x2=.a2x2=[(ax+b)−b]2=[(ax+b)22−2b(ax++b)b] a2aa22 x21(ax+b)22−2b(ax++b)b Ta được: =. (ax++b)ααa2 (axb) 112bb2 =2.α−21−+α−α a(ax+b)(ax++b)(axb) 1dx2bdxb2dx Khi đó: I.=−+ 2∫α−21∫∫α−α a(ax+b)(ax++b)(axb) 1d(ax+b)2bd(ax++b)b2d(axb) =. −+ . 3∫α−21∫∫α−α a(ax+b)(ax++b)(axb) Trang 33 Tích phân Trần Sĩ Tùng x2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I= dx. ∫ (1− x)39 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: x22=(1−x)−2(1−+x)1 x22(1−x)−2(1−+x)1121 Ta được: ==−+. (1−−x)39(1x)39(1−x)37(1−−x)37(1x)39 dx2dxdx Khi đó: I =−+ ∫∫∫(1−x)37(1−−x)38(1x)39 121 =−++C. 36(1−x)3637(1−−x)3738(1x)38 Chú ý: Mở rộng tự nhiên của phương pháp giải trên ta đi xét ví dụ: x3 Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: I= dx. ∫ (x− 1)10 Giải: Sử dụng đồng nhất thức (công thức Taylo): x3=1+3(x−1)+3(x−1)23+−(x1). x31+3(x−1)+3(x−1)23+−(x1) Ta được: = (x−−1)10(x1)10 1331 =+++. (x−1)10987(x−1)(x−−1)(x1) 1331 Khi đó: I=+++ dx ∫ 10987 (x−1)(x−1)(x−−1)(x1) 1331 =−−−−+C. 9(x−1)98(x−1)8767(x−−1)6(x1) dx Dạng 2: Tính tích phân bất định: I=≠,vớia0vàn nguyên dương. n ∫(ax2n++bxc) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét các trường hợp sau: • Trường hợp 1: Nếu n = 1 Ta xét ba khả năng của ∆=−b2 4ac Ÿ Khả năng 1: Nếu ∆ > 0 111(x−x21)−−(xx) Khi đó: 2 ==. ax++bxc a(x−x1)(x−x2)a(x1−x2)(x−−x12)(xx) 111 =−. a(x1−x2)x−−x12xx Trang 34 Trần Sĩ Tùng Tích phân 1111 Do đó: I1=∫−dx=[lnx−x12−lnx−+x]C. a(x1−x2)x−x1x−−x2a(xx12 1xx− =+.ln1 C. a(x1−−x22)xx Ÿ Khả năng 2: Nếu ∆ = 0 11 Khi đó: 22= ax+bx+−ca(xx)0 1dx1 Do đó: I==−+C. ∫2 a(x−x)0 a(x−x)0 Ÿ Khả năng 3: Nếu ∆ < 0 ππ Khi đó thực hiện phép đổi biến x=tgtvớit∈−;. 22 • Trường hợp 2: Nếu n > 1 b 1dt Bằng phép đổi biến t=+x, ta được: I= 2a n an∫(t2n+k) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt: 12ntdt u=2ndu =− 2n1+ (t++k)⇒(tk)  dv==dtvt 1tt22dt1t[(t+−k)k]dt Khi đó: I=+2n=+2n nn2n∫∫2n++1n2n2n1 a(t+k)(t+k)aþ(t++k)(tk) 1tdtdt =+−2nk n2n∫∫2n2n1+ aþ(t+k)(t++k)(tk) 1ttn =n2n+2n(In−kIn++1)⇔2nkIn1n=2n+−(2na)I a(t++k)(tk) t ⇔2(n−1(kI=+(2n−−2an1−)I(1) n(t2+k)n1− n1+ Chú ý: Vì công thức (1) không được trình bày trong phạm vi sách giáo khoa 12, do đó các em học sinh khi làm bài thi không được phép sử dụng nó, hoặc nếu trong trường hợp được sử dụng thì đó là một công thức quá cồng kềnh rất khó có thể nhớ được một cách chính xác, do vậy trong tường hợp n > 1 tốt nhất các em nên trình bày theo các bước sau: – Bước 1: Xác định I1. – Bước 2: Xác định In theo In–1 (chứng minh lại (1)). – Bước 3: Biểu diễn truy hồi In theo I1 ta được kết quả cần tìm. 1 Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) = x2 −(m++2)x2m Trang 35 Tích phân Trần Sĩ Tùng Tính tích phân bất định I= ∫ f(x)dx biết: a/ m = 1 b/ m = 2. Giải: dxdxdxd(x−−2)d(x1) a/ Với m = 1: I=f(x)dx ==−=− ∫∫x2 −+3x2 ∫x−2∫x−1∫∫x−−2x1 x2− =lnx−2−lnx−1+C=+lnC. x1− dx1 b/ Với m = 2: I=f(x)dx==−+C. ∫∫(x− 2)2 x2− dx Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: I = ∫(x23++4x3) Giải: dx Xét tích phân J = , ta lần lượt có: n ∫(x2n++4x3) • Với n = 1 dxdx1111x1+ J1 =2 ==−dx=+lnC. ∫x++4x3 ∫∫(x+1)(x+3)2x+1x++33x3 • Với n > 1 Bằng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt: 12ntdt u=2ndu =− 2n1+ (t−−1)⇒(t1)  dv==dtvt tt22dtt[(t−+1)1]dt Khi đó: J=+2n=+2n n(t2−1)n∫∫(t2−1)n++1(t2−−1)n(t21)n1 tdtdtt =+2n+=++2n(JJ) 2n∫∫2n2n+12n nn1+ (t−1)(t−1)(t−−1)(t1) tt ⇔2nJ=−−(2n−1)J⇔2(n−1)J=−−−(2n3)J n+−1(t2−−1)nnn(t21)n1− n1 1t ⇔Jn=−n=2n1− +−2n3)Jn1− 2(n−−1)(t1) 1t Do đó: JJ21=−+2 2t1− 1t1t1t I=J3=−22+3J21=−222+3J−+ 4(t−1)42þ(t−−1)þt1 x+23(x++2)3x1 =−+++lnC. 4(x2+4x3+)228(x++4x3) 16x3+ Trang 36 Trần Sĩ Tùng Tích phân (λx+µ)dx Dạng 3: Tính tích phân bất định: I=≠,vớia0 và n nguyên dương. n ∫(ax2n++bxc) PHƯƠNG PHÁP CHUNG λλb Phân tích: λx+µ=(2ax+b) +µ− 2a2a λ(2ax+λb)dxbdx Khi đó: I=+()µ− n 2a∫∫(ax2+bx+c)n2a (ax2n++bxc) λ+(2axb)dx a/ Với J= thì: n 2a ∫((ax2n++bxc) Ÿ Nếu n = 1, ta được: λ(2ax+λb)dx J==lnax2+bx++cC. 12a∫ax2++bxc 2a Ÿ Nếu n > 1, ta được: λ(2ax+λb)dx1 J==−+.C. n2a∫(ax2+bx+c)n2a(n−1) (ax2++bxc)n1− dx b/ Với K,= ta đã biết cách xác định trong dạng 2. n ∫(ax2n++bxc) Tổng quát hẹp: Trong phạm vi phổ thông chúng thường gặp tích phân bất định sau: P(x)dx I=≠,vớia0 và bậc của P(x) lớn hơn 1. ∫ax2 ++bxc Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho ax2++bxc ta được: P(x)xλ+µ =+Q(x) ax22+bx+cax++bxc λ2ax+λbb1 =Q(x)+.+(µ− ). 2aax22+bx+c2a ax++bxc λ(2ax+λb)dxbdx – Bước 2: Khi đó: I=Q(x)dx++(µ− ). ∫2a∫∫ax22+bx+c2a ax++bxc Chú ý: Tuy nhiên trong trường hợp ax22+bx+ccó∆=b−>4ac0 (ta được hai nghiệm x1, x2), chúng ta thực hiện phép phân tích: λx+µ 1AB 2 =+. ax++bxc ax−−x12xx (2x32−10x+−16x1)dx Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: I= ∫ x2−+5x6 Giải: Trang 37 Tích phân Trần Sĩ Tùng 2x32−10x+16x−−14x1AB Biến đổi: =2x2+=++ x22−5x+6x−+5x6 x−−3x2 Ta được hằng đẳng thức: 4x−1=A(x−2)+−B(x3)(1) Để xác định A, B trong (1) ta có thể lựa chọn một hai cách sau: • Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có: 4x−1=(A+B)x+−2A3B. A+B==4A11 Đồng nhất đẳng thức, ta được: ⇔ −2A−3B=−1B7=− • Cách 2: Phương pháp trị số riêng: A=11 Lần lượt thay x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ:  B7=− 2x32−10x+−16x1117 Từ đó suy ra: =2x.+− x2−+5x6 x−−3x2 117 Do đó: I=2x+−dx=x2 +11lnx−3−7lnx−+2C. ∫x−−3x2 Nhận xét: Trong ví dụ trên việc xác định các hệ số A, B bằng hai cách có độ phức tạp gần giống nhau, tuy nhiên với bài toán cần phần tích thành nhiều nhân tử thì cách 2 thường tỏ ra đơn giản hơn. (ax2 ++bxc)dx Dạng 4: Tính tích phân bất định: I=≠111 ,vớia0 n∫(x−α)(ax2++bxc) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét ba khả năng của ∆ = b2 – 4ac 2 • Khả năng 1: Nếu ∆ > 0, khi đó: ax+bx+c=a(x−−x12)(xx) 2 a1x++b11xcABC Khi đó phân tích: 2 =++ (x−α)(ax++bxc) x−αx−−x12xx ABC Do đó: I=∫++dx=Alnx−α+Blnx−x12+Clnx−+xC x−αx−−x12xx 22 • Khả năng 2: Nếu ∆ = 0, khi đó: ax+bx+c=−a(xx0). 2 a1x++b11xcABC Khi đó phân tích: 22=++ (x−α)(ax+bx+−c)x−α−xx0(xx)0 ABCC Do đó: I=++dx=Alnx−α+Blnx−x−+C. ∫2 0 x−αx−−x00(x−x)0xx • Khả năng 3: Nếu ∆ < 0 Trang 38 Trần Sĩ Tùng Tích phân ax2 +bx++cAB(2xb)C Khi đó phân tích: 111=++ (x−α)(ax2+bx+c)x−α ax22+bx+cax++bxc AB(2ax+bC Do đó: I=++ dx ∫x−α ax22+bx+cax++bxc dx =Alnx−α+Bln|ax2+bx++c|C ∫ax2++bxc dx Trong đó tích phân J= được xác định bằng phép đổi biến x = tgt với ∫ax2 ++bxc ππ t;∈−. 22 Tổng quát: Tính tích phân bất định: P(x)dx I=≠,vớia0 và bậc của P(x) lớn hơn 2. ∫(x−α)(ax2++bxc) Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho (x−α)(ax2++bxc) ta được: P(x)ax2 ++bxc =+Q(x) 111 (x−α)(ax22+bx+c)(x−α)(ax++bxc) (ax2 ++bxc)dx – Bước 2: Khi đó: I=+Q(x)dx 111 ∫∫(x−α)(ax2++bxc) (x2 +−2x2)dx Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: I= ∫ x13 + Giải: x22+2x−2x+2x−−2AB(2x1)C Biến đổi: ==++ x3+1(x+1)(x2−x+1)x1+x22−x+1x−+x1 (A+2B)x2 −(A−B−C)x+A−+BC = x13 + A+2B=1A1=−  Đồng nhất đẳng thức, ta được: −A+B+C=2⇔=B1  A−B+C=−=2C0 x2 +2x−−212x1 Khi đó: =−+ x32+1x1+x−+x1 2 12x−12 x−+x1 Do đó: I=−+2 dx=−ln|x+1|+ln|x−x+1|+C=+lnC ∫x++1x−+x1 x1 dx Dạng 5: Tính tích phân bất định: I=≠,vớiab ∫(x++a)22(xb) Trang 39 Tích phân Trần Sĩ Tùng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng nhất thức: (x+a)−+(xb) =1, ab− 2 2 1(x+a)−+(xb)111 ==− 222 (x+a)(x+−b)(a−b)(x+a)(x+b)(ab) x++bxa 1121 =222−+ (a−b)(x−+b)(x++a)(xb) (xa) 112(x+a)−−(xb)1 =222−+. (a−b)(x++b)a−b(x++b)(xa) (xa) 112111 = 2 22−−+ (a− b) (x++b)a−bx++bxa (xa) ta được: 112111 I=−−+ 2∫22∫∫∫ (a−b)(x++b)a−bx++bxa (xa) 1121 =−−(ln|x+b|−ln|x+a)|C−+ (a−b)2x+aa−+bxa 12x+a2x++ab =2ln−+C. (a−b) a−bx+b(x++b)(xa) dx Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: I = ∫(x++3)22(x1) Giải: Sử dụng đồng nhất thức: (x+3)−+(x1) =1, 2 2 2 1(x+3)−+(x1)111 ==− 22 (x++3)(x1) 2(x+3)(x+1)4x++1x3 112111(x+3)−+(x1)1 =2−+2=22−+ 4(x+1)(x+1)(x+3)(x+3)4(x++1)(x++1)(x3) (x3) 1dxdxdxdx =−++ ∫22∫∫∫ 4(x++1)x++1x3 (x3) 1111x++32x4 =−−ln|x+1|+ln|x+3|−+C=ln−+C. 4x+1x+34x+1(x++1)(x3) P(x) Dạng 6: Tính tích phân bất định: I= dx ∫ Q(x) Trang 40 Trần Sĩ Tùng Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG P(x) Giả sử cần xác định: I = bằng phương pháp hệ số bất định. ∫ Q(x) Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Phân tích Q(x) thành các đa thức bất khả quy, giả sử là: Q(x)=∈An(x).Bmk(x).C(x),vớin,m,kN. trong đó A(x), B(x), C(x) là đa thức bậc hai hoặc bậc nhất. – Bước 2: Khi đó ta phân tích: P(x)E(x) =+D(x) Q(x) An(x).Bmk(x).C(x) niimkjjtt a1.A'(x)a2b1.B'(x)b2c12.C'(x)c =D(x)+∑i+i+∑∑j+j++tj i=1A(x)A(x)j==1B(x)B(x)t1C(x)C(x) iijjtt Xác định được các hệ số a1,a21,b,b2,c12,c bằng phương pháp hệ số bất định. – Bước 3: Xác định: nai.A'(x)aimkbj.B'(x)bjctt.C'(x)c I=D(x)dx +1+2+1+2++12 ∫∑∫ii∑∑∫∫jjtt i=1A(x)A(x)j==1B(x)B(x)t1 C(x)C(x) x32−3x++x6 Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: I= dx. ∫x32−+5x6x Giải: Ta có: x3−3x2+x+62x22−5x+62x−+5x6abc =1+=1+=1.+++ x3−5x2+6xx32−+5x6x x(x−2)(x−3)xx−−2x3 Ta được hằng đẳng thức: 2x2 −5x+6=a(x−3)(x−2)+bx(x−3)+−cx(x2)(1) Để xác định a, b, c trong (1) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: • Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có: 2x22−5x+6=(a+b+c)x−(5a+3b++2c)x6a a+b+c==2a1  Đồng nhất đẳng thức, ta được: 5a+3b+2c=5⇔b2=−  6a==6c3 • Cách 2: Phương pháp trị số riêng: a1=  Lần lượt thay x = 0, x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: b2=−  c3= Trang 41 Tích phân Trần Sĩ Tùng x32−3x++x6123 Khi đó: =1+−+ x32−+5x6x xx−−2x3 123 Do đó: I=1+−+dx=x+−ln|x|2ln|x−2|+3ln|x++3|C. ∫xx−−2x3 7x4− Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I= dx. ∫x3 −+3x2 Giải: 7x−−47x4abc Ta có: ==++ x3−3x+2(x+2)(x−−1)22(x1) x−+1x2 (b+c)x2+(a+b−2c)x+2a−+2bc = (x−−2)(x1)2 Ta được hằng đẳng thức: 7x−4=a(x+2)+b(x−1)(x+2)+−c(x1)2 (1) Để xác định a, b, c trong (1) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: • Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số: Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có: 7x−4=(b+c)x2+(a+b−2c)x+2a−+2bc. b+c==0a1  Đồng nhất đẳng thức, ta được: a+b−2c=7⇔=b2  2a−2b+c=−4c2=− • Cách 2: Phương pháp trị số riêng: a1=  Lần lượt thay x = 0, x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: b2=  c2=− 7x−4122 Khi đó: =+−. x32−3x+−2(x1) x−+1x2 1221 Do đó: I=+−dx=−+2ln|x+1|−2ln+|x++2|C. ∫2 (x−1) x−1x+−2x1 x32−x−−4x1 Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I= ∫xx43+ Giải: x3−x2−4x−1x32−x−−4x1abcd Ta có: ==+++ x4−+x3x3(x1)xx32xx1+ (c+d)x32+(b−c)x+(a++b)xa = x3(x+1) Trang 42 Trần Sĩ Tùng Tích phân c+d=1a1=−  b+c=−1b3=− Đồng nhất đẳng thức, ta được: ⇔ a+b=−=4c2 a=−1d1=− x32−x−−4x11321 Khi đó: =−−+− . x4+ x3xx32xx1+ 132113 Do đó: I=−3−22+−dx=++2ln|x|−ln|x++1|C. ∫xxxx+1x2x 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Xác định nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG xk−1k.P(x)dx Nếu tích phân cần xác định có dạng: I.= ∫ Q(x)k Ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Đặt t = xk, suy ra : dt= kxk1− dx, 1P(t)dt Khi đó: I= ∫ 1 (1) kQ1(t) Trong đó P1(x), Q1(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn P(x) và (Q(x). • Bước 2: Tính tích phân trong (1) ϕϕ'(x).P[(x)]dx Chú ý: Ta nhận thấy sự mở rộng tự nhiên với dạng: I = ∫ Q[ϕ(x)] trong đó ϕ(x) là một đa thức bậc k của x. Khi đó đặt t = ϕ(x). x3dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: I.= ∫ (x82− 4) Giải: Đặt t = x4 x3dx1dt Suy ra: dt==4x3dx&. (x8−−4)24(t224) 1dt Khi đó: I = 4 ∫ (t22− 4) 1 Sử dụng đồng nhất thức: 1=[(t+2)−−(t2)]2 16 1[(t+2)−−(t2)]2 1121 Ta được: I=dt=−+ dt ∫∫22222 64(t−4)64 (t−2)t−+4(t2) Trang 43 Tích phân Trần Sĩ Tùng 111t−21 =−−lnC−+ 64t−22t++2t2 12t1t−−212x441x2 =−−ln+C=−−+lnC 284 64t−42t+2642x−+4x2 (2x+1)dx Ví dụ 14: Tính tích phân bất định: I= ∫x4+2x32+3x+−2x3 Giải: (2x+1)dx Biến đổi I về dạng: I= ∫(x22+x+−1)4 (2x+1)dxdt Đặt t=x2++x1. Suy ra: dt=(2x+=1)dx&. (x2+x+1)22−−4t4 dtt−2x2 +−x1 Khi đó: I==ln+C=+lnC. ∫t22−4t2+ x++x3 x12 − Ví dụ 15: Tính tích phân bất định: I= dx. ∫x14 + Giải: 11 11−−22 Biến đổi I về dạng: I==xxdxdx. ∫∫1 2 +x21 2x2+− x x 1 1− 1 1x2 dt Đặt t=+x. Suy ra: dt=1−=2dx& 22 x x1 t2− x+ x 1 x2 dt1t−21+− Khi đó: I==ln+C=+lnCx ∫2 1 t2− 22t+222 x1++ x 1x2−+x21 =+lnC. 22x2++x21 4. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Phương pháp này cho dù ít được sử dụng đối với các hàm số hữu tỉ, tuy nhiên trong những trường hợp riêng nó lại tỏ ra khá hiệu quả. Bài toán 4: Xác định nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trang 44 Trần Sĩ Tùng Tích phân P(x)Q'(x)dx Nếu tích phân cần xác định có dạng: I = ∫ Qn (x) Ta thực hiện theo các bước sau: u= P(x)  du • Bước 1: Đặt Q'(x)dx ⇒ dv =  n v  Q(x) • Bước 2: Khi đó: I=−uv∫ vdu. x4dx Ví dụ 16: Tính tích phân bất định: I = ∫ (x23−1) Giải: x3.xdx Biến đổi I về dạng: I = ∫ (x23−1) u==x32du3xdx  Đặt : xdx1⇒ dvv== 2323 (x−−1)4(x1) x323xdx Khi đó: I=+ (1) 4(x2−−1)34 ∫(x221) Xét tích phân: x22dx1[(x+1)+−(x1)]dx1121 J===++ dx ∫22∫∫22222 (x−−1)44(x1)(x−2)x−+1(x1) 11x−−111x12x =−+ln−+C=ln−+2C(2) 4x−1x+1x++14x1 x1− x3 3x−12x Thay (2) vào (1), ta được: I=−232+ln−+C. 4(x−−1)16x1+x1 Chú ý: Để xác định tích phân J chúng ta cũng có thể tiếp tục sử dụng tích phân từng phần như sau: u==xdudx  Đặt: xdx1⇒ dvv==− 222 (x−−1)2(x1) x1dxx1x1− Khi đó: J=−+=−+ln. 2(x2−1)2∫x22−−12(x1) 4x1+ 5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU Trong phần này chúng ta sẽ đi xem xét một vài bài toán được giải bằng các phương pháp khác nhau và mục đích quan trọng nhất là cần học được phương pháp suy luận qua mỗi ví dụ. Trang 45