Toán rời rạc - Chương 2: Tch phân lebesgue

n n B B⊂ nên n x B∈ . Do ñó ( ) ( ) n B f x f xχ = . Suy ra lim n Bn f fχ →∞ = Theo ñịnh lí Levi ta có lim n Bn A A f fχ →∞ =∫ ∫ . Theo (2) ta có lim n n B A f f →∞ =∫ ∫ (3). Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 47 Từ (1) và (3) ta có 1 n nA A fd fdµ µ ∞ = = ∑∫ ∫ Trường hợp tổng quát f là hàm ño ñược bất kì trên A . Ta có 1 1 1 1 n n n n n n n n nA A A A A A A A f f f f f f f f ∞ ∞ ∞ ∞ + − + − + − = = = =    = − = − = − =     ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chú ý (i) Nếu f là hàm không âm trên A thì λ là một ñộ ño trên F (ii) Hàm tập λ ñược gọi là tích phân bất ñịnh của hàm f (iii) Nếu λ là một ñộ ño trên F thì nó là một ñộ ño sinh bởi hàm f Ví dụ Cho )0,E = +∞ , ( ) xf x e  − = . Tính E fdµ∫ Ta có ) ) ) ) 0 0,1 1,2 ... , 1 ... , 1 n E n n n n ∞ =    = + = +   ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ với ), 1n n + là các tập rời nhau ñôi một. Do 0f ≥ trên E nên ) )0 0 0, 1 , 1 1 n n n n nE n n n n e fd fd e d e e µ µ µ ∞ ∞ ∞ − − = = = + +  = = = = − ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ðịnh lí (Tính liên tục tuyệt ñối của tích phân) Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mỗi 0ε > , tồn tại 0δ > sao cho với mọi E A⊂ , Eµ δ< thì E f dµ ε<∫ Chứng minh Do 0f ≥ nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp 0f ≥ Khi ñó, tồn tại dãy hàm ( )n nf những hàm ñơn giản, không âm, ñơn ñiệu tăng và lim nn f f →∞ = trên A . Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn ( )n nf sao cho nf n≤ với mọi n ∈ ℕ . Ta có µ µ →∞ =∫ ∫lim nn A A f d fd . Do ñó với mỗi 0ε > , tồn tại 0 n ∈ℕ ñể ( ) 0 2n A f f ε − <∫ Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 48 Với E A⊂ , ta có ( ) ( ) 0 0 0 0 02n n n n E E E A E f f f f f f f n E ε µ= − + ≤ − + < +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chọn 0 2n εδ = . Khi ñó nếu Eµ δ< thì 0 2 n E εµ < . Do ñó, 2 2 E f ε ε ε< + =∫ 2.3.6. So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue ðịnh lí Cho :f ∆ → ℝ với k∆ ⊂ ℝ là hình hộp chữ nhật ñóng và bị chặn Khi ñó, hàm f khả tích Riemann khi và chỉ khi f là hàm bị chặn và liên tục h.k ∆ ðịnh lí Cho f là khả tích Riemann hình hộp chữ nhật ñóng và bị chặn ∆ . Khi ñó, f khả tích Lebesgue trên ∆ và ( ) ( ) ( ) ( )f x dx L f x dx ∆ ∆ =∫ ∫ℝ Chứng minh Xét 1k = , ,a b ∆ =   Chia ñoạn ,a b ∆ =   thành 2 n ñoạn bằng nhau bởi các ñiểm chia ( ) 2 k n k b a x a − = + với 0,1,..,2nk = . Khi ñó, tổng Darboux trên và Darboux dưới của hàm f ứng với phân hoạch trên là 2 12 n k n nn k b a M = −Ω = ∑ và 2 12 n k n nn k b a m = − = ∑℧ trong ñó sup k n M f= và inf k n m f= trên 1 , k k x x −    hay ( )2 1 1 n k n n k k k M x x − = Ω = −∑ và ( )2 1 1 n k n n k k k m x x − = = −∑℧ Khi ñó ( ) ( )lim lim bn nn n a f x dx I →∞ →∞ Ω = = =∫℧ ℝ ðặt ( ) k n n f x M= và ( ) k nn f x m= nếu )1,k kx x x−∈  Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 49 Tại x b= các hàm này nhận giá trị β ∈ ℝ tùy ý Ta có , n n a b f    = Ω∫ , , n n a b f    =∫ ℧ , 1n nf f +≥ và 1n nf f +≤ với mọi n ∈ ℕ Khi ñó, tồn tại lim n n f f →∞ = và lim nn f f →∞ = trên ,a b   Vì nnf f f≤ ≤ với mọi n ∈ ℕ nên f f f≤ ≤ h.k ,a b   Theo ñịnh lí về sự hội tụ ñơn ñiệu, ta có , , lim n n a b a b f f →∞        =∫ ∫ và , , lim nn a b a b f f →∞        =∫ ∫ Cả hai giới hạn trên tồn tại và bằng I nên ( ) , , , 0 a b a b a b f f f f            − = − =∫ ∫ ∫ Do ñó 0f f− = h.k ,a b   . Suy ra f f f= = h.k ,a b   . Vậy ( ) ( ) , , , b aa b a b a b f f f I f x dx            = = = =∫ ∫ ∫ ∫ℝ Ví dụ Cho ( ) cos voâ 0 x x neáu x laø soá tæ f x neáu x laø soá höõu tæ  + =   . Xét sự khả tích (L) và (R) của hàm ( )f x trên 0;1    . Tính các tích phân trong trường hợp tồn tại ðặt ( ) cosg x x x= + , 0;1x  ∈    ta có f g∼ trên 0;1    Dog khả tích (R) nên khả tích (L). Suy ra f khả tích (L) trên 0;1    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 00;1 0;1 0;1 1 cos s in1 2 L fdx L gdx R gdx x x dx                 = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ Hàm f không khả tích (R) trên 0;1    vì tập các ñiểm gián ñoạn của nó chứa tập các số vô tỉ thuộc 0;1    , tập này có ñộ ño bằng 1 Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 50 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 2.1 Cho f là hàm khả tích trên A, với mỗi ε > 0 ñặt ( ){ }:A x A f xε ε= ∈ ≥ . Chứng minh rằng A ε µ < +∞ 2.2 Cho g là hàm khả tích trên A và hàm f ño ñược trênA thỏa ( ) ,f x α β ∈   h.k A . Chứng minh rằng tồn tại ,γ α β ∈   sao cho A A f g gγ=∫ ∫ 2.3 Cho f là hàm ño ñược trênA và 0 E f =∫ với mọi E A⊂ , E F∈ . Chứng minh rằng 0f = h.k A . 2.4 Cho f là hàm ño ñược trên A và ( )Aµ < +∞ . Chứng minh rằng nếu 2f khả tích trên A thì f khả tích trên A.Tìm ví dụ chứng tỏ rằng nếu bỏ giả thiết ( )Aµ < +∞ thì khẳng ñịnh trên không ñúng. 2.5 Cho ( )0,1E = , ñặt ( )  < < =   ≤ <  1 0 1 0 1 n n neáu x nf x neáu x n . Chứng minh rằng 0 n f µ→ nhưng lim 0 nn E f →∞ ≠∫ 2.6 Cho ( )  ≤ =   > 1 0 n neáu x n nf x neáu x n . Chứng minh rằng 0 n f µ→ nhưng lim 0 nn f →∞ ≠∫ ℝ 2.7 Cho ( ) nn f , f là dãy những hàm ño ñược trên A, ( )Aµ < +∞ . Giả sử ( )nnf hội tụ ñều về f trên A .Chứng minh rằng f khả tích trên A và lim nn A A f d fdµ µ →∞ =∫ ∫ 2.8 Cho ( ) nn f là dãy những hàm khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ ñều về f trên A và ( )Aµ < +∞ . Chứng minh rằng f khả tích trên A và lim nn A A f d fdµ µ →∞ =∫ ∫ 2.9 Cho ( ) nn f là dãy những hàm ño ñược trên A , +∞<Aµ . Chứng minh rằng 0 n f µ→ trên A với Nn ∈∀ khi và chỉ khi ∫ =+∞→ A n n n f f 0 1 lim 2.10 Tính các giới hạn sau (a) 2 2 0 lim 1 nn n x dx →∞ +∫ Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 51 (b) 2 2 0 lim 1 nx nxn x x e dx e→∞ + +∫ 2.9 Cho f là hàm khả tích trên A, ñặt ( ){ }:nA x A f x n= ∈ ≥ . Chứng minh rằng lim 0 nn n Aµ →∞ = 2.11 Xét sự tồn tại tích phân và tính các tích phân (nếu có) (a) ( ) =   sin sin höõu cos cos x neáu x laø soá tæ f x x neáu x laø soá voâ tæ . Tính ( ) ( ) 0; 2 L f x dx π       ∫ (b) ( ) 1 voâ 1 x x neáu x laø soá tæ f x e neáu x laø soá höõu tæ  + =  + . Tính ( ) ( ) 0,1 L f x dx     ∫ (c) ( )  >   = <   2 3 1 voâ 3 1 voâ 3 0 x neáu x laø soá tæ f x x neáu x laø soá tæ höõu tæ neáu x laø soá höõu tæ . Tính ( ) ( ) 0,1 L f x dx     ∫ (d) ( ) pi pi    ∈        = ∈      ∈ ∩ ∩ 1 sin x 0, 2 1 cos x ,1 2 0 C C neáu x D f x neáu x D neáu x D trong ñó D là tập Cantor. Tính ( ) ( ) 0,1 L f x dx     ∫ Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Trang 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lương Hà, Giáo trình lý thuyết ñộ ño và tích phân, NXB ðà Nẵng, 2004 [2] Nguyễn ðịnh, Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, 1999 [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1998, [4] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðHQG Hà Nội, Viện Toán [5] Nguyễn ðịnh, Nguyễn Ngọc Hải, Các ñịnh lí và bài tập hàm thực, NXB Giáo dục, 1999 [6] Bùi ðắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà, Bài tập không gian tôpô - ðộ ño - Tích phân, NXB ðHQG Hà Nội, 1999 Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com