Kỳ thi thử lần I chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia môn Toán

>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN TÂY KỲ THI THỬ LẦN I CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA Tháng 03/2015 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút; không kể thời gian giao đề Câu 1 (2điểm). Cho hàm số 2x+3 2 y x   (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Câu 2 (1điểm). Giải phương trình 5 5 os(2x ) 4sin( ) 9 3 6 c x       Câu 3 (1điểm). Tính tích phân I = 2 2 0 2x x x dx Câu 4 (1điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn . 3( ) 4 3z z z z i    b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng một lần, chữ số 2 có mặt đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần (chữ số đầu phải khác 0). Câu 5 (1điểm). Trong không gian hệ Oxyz, cho hai điểm A(0 ; 0 ; -3), B( 2 ; 0; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 3x – 4y + z – 1 =0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB. Câu 6 (1điểm). Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng SA, SD đều tạo với mặt đáy góc 030 . Biết AD = 6a , BD = 2a, góc CBD bằng 045 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) theo a. Câu 7 (1điểm). Trong mặt phẳng hệ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng (d1): 2x – y + 2 =0, đỉnh C thuộc đường thẳng (d2): x – y – 5 =0. Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC. Biết điểm M 9 2 ( ; ) 5 5 , K(9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 4. Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 ( 2 2) ( 6) ( 1)( 2 7) ( 1)( 1) y x x x y y x x x y             Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực x ; y ; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( )xy yz zx x y y z z x        ---- Hết ---- >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 ĐỢT 1 Môn: TOÁN Câu Đáp án Điể m Câu 1 (2 điểm) 1. Khảo sát hàm số:   2x 3 y C x 2    1,0 điể m - Tập xác định:  R \ 2 - Sự biến thiên:   / 2 1 y 0 x 2 x 2       - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    ; 2 ; 2;    ; hàm số không có cực trị 0,25 x x lim y 2; lim y 2      Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2    x 2 x 2 lim y ; lim y          Đồ thị có tiệm cận đứng x = -2 0,25 - Bảng biến thiên: x / y y  2  2 2     0,25 - Đồ thị: 3 3 0; ; ;0 2 2             - Đồ thị đối xứng nhau qua giao điểm  I 2;2 - Đồ thị 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 O3 2  2 1 y x  2  x 2   y 2 3 2 1   I 2;2 2.(1,0 điểm) Gọi    2a 3 M a; C a 2 a 2         Tiếp tuyến của (C) tại M là:    2 1 2a 3 y x a a 2a 2      0,25 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng 2a 2 A 2; a 2       ; cắt tiệm cận ngang tại  B 2a 2;2  M là trung điểm AB 0,25 Điểm  I 2;2 ; IAB  vuông tại I nên IM là bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB . Do đó: Sđường tròn đạt min minIM Ta có:       2 2 22 2 2a 3 1 IM a 2 2 a 2 2 a 2 a 2               0,25 min IM 2  đạt khi     2 2 1 a 2 a 2        1 2 M 1;1a 2 1 a 1 a 2 1 a 3 M 3;3                  Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu để    1 2M 1;1 ;M 3;3  0,25 Câu 2 (1,0 điểm) 5 Pt 5cos 2 x 4sin x 9 0 6 6                              0,25 5cos 2 x 4sin x 9 0 6 6                       0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4   210sin x 4sin x 14 0 6 6 sin x 1 6 x k2 x k2 k Z 6 2 37 sin x (loai) 6 5                                                Vậy nghiệm của phương trình:  x k2 k Z 3      0,5 Câu 3 (1,0 điểm)     2 2 2 22 2 0 0 0 I x 2x x dx x 1 x 2x 1 dx x 1 x 1 dx           0,25 Đặt t x 1 x t 1 dx dt       x 0 2 t -1 1   1 1 1 2 2 2 1 1 1 I t 1 1 t dt t 1 t dt 1 t dt              0,25 Tính     1 1 1 2 2 22 1 1 1 A t 1 t dt 1 t d 1 t 0 2          1 2 1 B 1 t dt    . Đặt t sinu dt cosudu   t -1 1 u 2   2  0,25   2 2 2 2 2 1 1 1 2 B cos udu 1 cos2u du u sin 2u 2 2 4 2 2                       0,25 Vậy: I A B 2     0,25 Câu 4 (1,0 điểm) a. (0,5 điểm) Đặt z x yi  Giải thiết     x yi x yi 3 x yi x yi 4 3i          2 2x y 6yi 4 3i     0,25 2 2 2 15 15 x x6y 3 4 2 1x y 4 1 y y 2 2                       Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề: 15 1 z i 2 2    0,25 b. (0,5 điểm) Gọi số tự nhiên cần tìm là abcde + Đưa 1 chữ số 1 vào có 5 cách Đưa 2 chữ số 2 vào có 24C cách Đưa 2 chữ số trong 8 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có 28A cách (kể cả a = 0)  Có 2 24 8M 5.C .A 1680  số (kể cả a = 0) 0,25 + Với a = 0  Số dạng 0bcde 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 Đưa 1 chữ số 1 vào có 4 cách Đưa 2 chữ số 2 vào có 2 3C cách Chọn 1 chứ số trong 7 chữ số còn lại có 7 cách  Có 23N 4.C .7 84  (số) Vậy có M N 1596  (số) Câu 5 (1,0 điểm) Ta có:    AB 2;0;2 2 1;0;1  Phương trình:   x t AB : y 0 z 3 t        0,25    AB P 3t 0 t 3 1 0 t 1 I 1;0; 2           0,25 + Ta có:    P ABn 3; 4;1 ;u 1;0;1   Đường thẳng  d P ; cắt và AB d  qua I ; P ABd n ;d u  0,25    d AB Pu u ;n 4;2; 4 2 2;1; 1        Phương trình đường thẳng d qua  I 1;0; 2 là: x 1 2s y s z 2 s         0,25 Câu 6 (1,0 điểm) Gọi O AC BD  Kẻ SH BD tại H   0 SH ABCD SAH SDH 30 HA HD        AHK vuông cân tại H (Vì 0ADH 45 ) S B A D C I K H O 0 45 0 30 0,25 0 1 HA HD AD a 3 2 1 SH HD.tan30 a 3. a 3         Sđáy = 2 ABD2S AH.BD 2a 3   Vchóp = 1 .SH 3 .Sđáy 32a 3 3  0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 +          2 d C; SAD 2d O; SAD d H; SAD 3   Gọi K là trung điểm AD  HK AD AD SHK    Kẻ HI SK tại I     HI SAD d H; SAD HI    0,25 Ta có: 2 2 2 1 1 1 a 15 HI HI SH HK 5        2 a 15 2a 5 d C; SAD . 5 53    0,25 Câu 7 (1,0 điểm) Gọi    B b;2b 2 ;C c;c; 5  Gọi E đối xứng B qua C  E 2c b;2c 2b 12    B C E K DA M H 0,25 Ta có: 36 8 72 16 HE 2MK 2 ; ; 5 5 5 5               72 76 H 2c b ;2c 2b 5 5           Lại có:    CK 9 c;7 c ;BC c b;c 2b 7       72 86 9 27 BH 2c 2b ;2c 4b ;MC c ;c 5 5 5 5                    0,25 Giải thiết: 2 2 2c 3bc 23c 23b 49 0 CK.BC 0 126 594 4c 6bc b 46c 0BH.MC 0 5 5                   0,25     b 1 B 1;4 ;C 9;4c 4(loai) c 9       Suy ra:      D 9;0 ;E 17;4 A 1;0 Đáp số:. 0,25 Câu 8 (1,0 điểm) Hệ phương trình:           2 2 2 2 y x 2x 2 x y 6 y 1 x 2x 7 x 1 y 1             0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 Đặt: X x 1 Y y     được hệ               2 2 2 2 X 1 Y 6 Y X 1 1 Y 1 X 6 X Y 1 2           Lấy (1) + (2) vế theo vế thu gọn được:   2 2 5 5 1 X Y 3 2 2 2                Mặt khác (1) trừ (2) theo vế, thu gọn được:     X Y X Y 2XY 7 0 4     X Y X Y 2XY 7 0        Trường hợp 1: X = Y thay vào (1) được:     2 2X 1 X 6 X X 1    2 X 2 X 5X 6 0 X 3         Nên hệ đã cho có nghiệm:      x;y : 1;2 ; 2;3 0,25 Trường hợp 2:   1 1 15 X Y 2XY 7 0 X Y 5 2 2 4                 Từ (3) và (5) đồng thời đặt: 5 a X 2 5 b Y 2         ta được hệ:      2 2 2 21 1a b a b 2 2 15 1 a 2 b 2 2ab 4 a b 4 2                                  2 2 2 a b 0 a b 4 a b 0 a b 4 a b 4 a b 1 a b 4 a b 1                               2 2 1 a 2 a b 0 1 ba b 1 2 a b 4 1 a 2a b 15 loai 1 b 2                                 0,25 Suy ra các nghiệm:  X;Y là    2;3 ; 3;2 Nên hệ đã cho có nghiệm  x; y là    1;3 ; 2;2 Đáp số: Nghiệm  x; y là        1;2 ; 2;3 ; 1;3 ; 2;2 0,25 >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 Câu 9 (1;0 điểm) Giả sử  z min x;y;z Khi đó ta có: z z x y 2z xy yz zx x y 2 2                 Mặt khác ta có: 2 22 2 1 1 x y z z x y 2 2                 2 22 2 2 2 1 1 1 1 ; y z x zz z y x 2 2                 0,25 Suy ra: 2 2 2 2 z z 1 1 1 P x y 2 2 z z z z x y y x 2 2 2 2                                                  Đặt   z z a x ;b y a 0;b 0 theo gt cho 2 2       Ta có: 22 2 2 2 a 1 1 1 a 1bP ab aa b a b ba 1 bb                          0,25 Đặt   a t t 0 b   ta khảo sát hàm số:   2 t 1 f t t t 1 t     (với t > 0)                 2 22 2 / 2 22 22 2 2 2 2 t 1 t 1t 1 2t 1 f t 1 t tt 1 t 1 1 1 t 1 0 t 1 t 0 t t 1                         Bảng biến thiên: t  /f t  f t 0 1   0  5 2   0,25 Được   5 min f t 2  đạt được khi t = 1 a b x y    Kết hợp được 5 min P 2  đạt khi x = y; z = 0 (hoặc các hoán vị: Một số bằng 0; hai số còn lại đều bằng nhau >> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9