Một số đề toán thi học sinh giỏi

Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 20092010 và 20102009. 2/ Tìm giới hạn 20 33 1 1lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1)x x x x x x→   −  + + + + + +  . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x2 + y2 + z2. 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 ... C C C 2007n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 21 2 2+ 3+ - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz  + + + = +  + + + = −  + + + = + . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a0, a1, a2, …, an.
2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( )2 2 2 2 2cos 4 4 . cos 4 2 2 0tan x a tan x api pi− − − + + ≤ . BÀI 2: (3 ñiểm) Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 21 3 1 2 sin sin 3 2 3 x xf x x a a api= − + − + + có không quá hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5pi pi ) ? BÀI 3: (4ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên. ( ) ( ) ( )144 2 +≤++− aaxaaxx . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñiểm) ðặt t = ( )2 2cos 4tan xpi − , với 1t tan≤ . Dễ thấy rằng với [ ]0 1, 1t tan tan∈ − phương trình ( )2 2 0cos 4tan x tpi − = có số nghiệm hữu hạn. Do ñó ta tìm tất cả a sao cho hệ 2 4 2 2 01 1t at atan t tan − + + ≤ − ≤ ≤ có số nghiệm hữu hạn. ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm. Nếu biểu thức ∆ của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm. Nếu ∆ = 0, tức là a = 1 hay a = 2 1 − , thì nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ sẽ chỉ là một ñiểm t = 2a. Từ hai giá trị tìm ñược của a chỉ có a = 2 1 − là thích hợp, với a = 2 1 − ta ñược t = 1 [ ]1; 1tan tan∈ − từ ñây suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = 1 hay pipipi nx +−=− 44cos 22 , với n Z∈ . Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0. Lúc ñó 4 4cos 22 pipi −=− x hay pi pi pipi 2 4 arccos4 22 kx +      −±=− , với k Ζ∈ . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm: 2 2 4 arccos4       ±−±= pipipix . Nếu ∆ > 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn [ ]21, tt , ñoạn này phải có chỉ một ñiểm chung với ñoạn [ ]1, 1tan tan− . Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 . Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược tìm bằng cách giải tập hợp hai hệ sau : ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  =  < hay ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  − =  − > với f(t) = t2 – 4at +2 + 2a . Suy ra 21 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  + = −   >  hay ( )21 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  − +  = +  < − . Dễ thấy rằng hệ thứ nhất có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm. Giá trị vừa tìm của tham số tương ứng t = tan1. Suy ra ( )2 2cos 4tan xpi − = tan1, pipi nx +=− 14cos 22 , n Ζ∈ . Phương trình này chỉ có ba nghiệm x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . Kết luận : Nếu a = 2 1 thì 2 2 4 arccos4       ±−±= pipipix . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3 Nếu 21 2 4 1 2 tan a tan + = − , thì x1 = 0 , x2 = -2pi , x3 = 2pi . Với các giá trị còn lại của a phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm . BÀI 2 (3 ñiểm) Ta có ( ) ( ) 3 2 cos 3 cos211' xxaaxf +−+−= . Nghiệm của phương trình ( ) 0' =xf sẽ là các ñiểm tới hạn của hàm f . Ta viết : ( ) 0 3 2 cos 3 cos211 =+−+− xxaa Dễ thấy rằng phương trình này tương ñương với tập hợp:      = −= a x x 3 cos 2 1 3 cos . Phương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x1= pi2 và x2 = pi4 trên khoảng (pi , pi5 ). Các ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f . Khi viết ñạo hàm dưới dạng ( )       −      += a xx xf 3 cos 2 1 3 cos2' dễ thấy rằng các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị chỉ khi a 2 1 −≠ (nếu a = 2 1 − thì ñạo hàm không ñổi dấu , và do ñó hàm f không có ñiểm cực trị ). Như vậy nếu 2 1 −≠a thì hàm f có ít nhất hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét . Do ñó , cần tìm các giá trị a sao cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị . Trên khoảng (pi , pi5 ) hàm y = cos 3 x nhận tất cả các giá trị thuộc ñoạn 11; 2   −   9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16F E D Nếu       −∈ 2 1 ,1a và 2 1 −≠a thì hàm f sẽ có 4 cực trị . Có nghĩa là với những giá trị a khác hàm f sẽ có không quá hai cực trị . Kết luận : 2 1≥a , 2 1 −=a , 1−≤a . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 BÀI 3 (4 ñiểm) Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:    +≥ ≤ 4 2 ax ax hay    +≤ ≥ 4 2 ax ax . Nhờ tập hợp này ta biểu diễn nghiệm của bất phương trình ban ñầu. Kẻ các ñường thẳng x = k , với Ζ∈k . 14 12 10 8 6 4 2 -5 5 10 15 - 6 12 x=a+4 x=a2 A Lúc ñó giá trị a0 mà với nó ñường thẳng a = a0 cắt các ñường thẳng x = k không quá 4 ñiểm trong tập hợp ñã ñược ñánh dấu, sẽ là giá trị cần tìm. Căn cứ vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là : 06 <− , 10 <<a , 121 << a .
3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñiểm) Giải hệ phương trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = +  + = +  + = + . Câu 2: (4 ñiểm) Cho dãy số { }nx thoả mãn: 03 1 1 3 3 2n n n x x x x+ + =  − = + . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñiểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 2 2 2 (1) 5 4( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x =   − = − ∀ > Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.
4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1( 3) 2 1x x−− = . Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤    . Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x,.....,x,x , với     =+= = + ,....)2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm phần nguyên của A biết 1x 1 .... 1x 1 1x 1A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với :       −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện 111 CBMA lớn nhất.
5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN Câu 1: Giải BPT: x x xxxxxx 2 23234 1ln)ln()1222ln( −≤+−+−++ . Câu 2: Cho tam giác ABC ñều. Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức: 222 MCMBMA += . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 6 Câu 3: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1. Tìm min của biểu thức: A= xyyx 8 11 22 ++ . Câu 4: Cho dãy )( nx xác ñịnh: 1 1 2 2n n x x x+  =  = + (n >0). Tìm lim n x . Câu 5: Cho tam giác ñều ABC cạnh bằng 1. Trên dt (d) vuông góc với mf (ABC) tại A lấy ñiểm M tuỳ ý. Gọi H là trực tâm tam giác MBC. Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các ña thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: Với mỗi số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k sao cho: 150750 +<< nkn . Kí hiệu S là số phần tử của P(n). CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có: S=2 hoặc S=3; và CMR tồn tại vô số số tự nhiên k sao cho S = 3.
6. KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Baøi 1: (5 ñieåm). a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 coù moät nghieäm nguyeân. b) Giaûi baát phöông trình. Baøi 2: (5 ñieåm). a) Giaûi phöông trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho caùc soá thöïc x1,x2,… ,xn thoûa maõn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, vôùi n laø soá nguyeân döông, a laø soá thöïc cho tröôùc, ( 1)0 2 n n a +≤ ≤ . Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1, x2, … , xn sao cho toång S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tìm giaù trò lôùn nhaát naøy theo a vaø n. Baøi 3: (4 ñieåm). a) Cho ba soá thöïc a,b,c thoûa abc =1 .Chöùng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 3 .( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b+ + ≥+ + + b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot . 22cot( ) cot 2 A A B A B BA B B + + = − + + Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc caân. Baøi 4: (2 ñieåm). Cho tam giaùc ABC, treân caùc caïnh BC, CA, AB laàn löôït laáy caùc ñieåm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ vaø CC’ ñoàng qui taïi ñieåm M. Goïi S1, S2 vaø S3 laàn löôït laø dieän tích cuûa caùc tam giaùc MBC, MCA, MAB vaø ñaët ' ' ', , .MA MB MCx y z MA MB MC = = = Chöùng minh raèng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0. Baøi 5: (2 ñieåm). Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau : . Tính un vaø chöùng minh raèng u1 + u2 +…+ un . Baøi 6: (2 ñieåm). Cho ña thöùc f(x)=x3+ ax2 + bx + b coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø ña thöùc g(x) = x3+ bx2 + bx + a. Tính toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 1 2 1 1 1 1 . 0 n n n n u u u u u + =  + − =   > ])2 1(1[ 4 1 1−−+≥ npi Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 7 HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM VAØ BIEÅU ÑIEÅM MOÂN TOAÙN Baøi 1: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1. + (x+m2)(x-m) = -1. + (a) hoaëc 2 1(b) 1 x m x m  + = −  − = +Giaûi (a) m =1 hoaëc m =-2. +Giaûi (b) voâ nghieäm. +Vaäy m =1 hoaëc m =-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) + Bieán ñoåi: (1) +Vì neân + +Vaäy 2 1 2 1log 2 3log 2x+ +≤ ≤ 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 2: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABAxx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x    −=− =+ 1 12 mx mx Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 8 a)(2 ñieåm) Bieán ñoåi 4sin25x+1-sin2x+4sin5xcosx=3sin2x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x Vaäy nghieäm hoaëc hoaëc hoaëc 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi +Baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù: +Daáu = xảõy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 2 2 2 2 1 2 tan tan ... tan sin 2sin ... sin sin 2 0 n n i x x x x x n x x = = =  + + +  > )cos.sin...cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos...cos2)(cossin...sin2(sin2 2221222212 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin...sin22sin1(2 22212 nxnnxxaS −++−+−≤ )]sin...sin2(sin)...21[(2 22212 nxnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1([2 annaS −+≤ n n xn xn x x x x cos sin ... cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 ===        ≤≤ = + ==== pi α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( ... 2 21 ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 35sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin pi pi −= −= xx xx 224 pipi kx +−= 336 7 pipi kx += 224 5 pipi kx +−= 336 11 pipi kx += Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 9 Vaäy Max S= ( 1)2 [ ] 2 n n a a + − khi 1 2 ... 2 sin ( 1) 0 2 nx x x a n n α α pi α   = = = =   = +  ≤ ≤  0.5 Baøi 3: (4 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(2 ñieåm) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1( )( ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) 1 1 1( . . . ) 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 1 1( ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c a + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + + + = + + + = + + + + = = + + ⇒ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ))( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 . 2 2 2 b c c a a b c a b a b c b c a c a b b c c a a b a b c + +≥ = + + + + + + + + = ≥ = 0.5 0.5 0.5 0.5 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) +Bieán ñoåi ,ta coù +Bieán ñoåi veá traùi + + Daáu = xaõy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vaäy tam giaùc ABC caân taïi C. 0.5 0.5 0.5 0.5 . 3 4 =x 2 2(cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( ) 2 2 A B A BA B A B+ ++ = ⇔ + = sin( ) 2sin( ) 2sin( ) cot cot sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( ) A B A B A BA B A B A B A B A B + + + + = = ≥ − − + − + 2 ( ) ( )4sin cos ( )2 2cot cot 2cot( ) 22sin 2 A B A B A BA B A B + + + + ≥ = + Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 10 Baøi 4: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm + Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC,ta coù Ta coù +Suy ra +Suy ra 1 1 1 2 3 1 2 3 ( )s sx x s x s s s s s s = ⇒ = ⇒ = + − + . +Töông töï Vaäy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 5: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm +Ñaët ta coù +Vì maø + + Suy ra ñpcm 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 6: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 321 SSSS ++= ' ' ' ' 1 1 MA AA s s AA MA s s =⇒= xMA MA MA MAAA s ss 1 '' '' 1 1 == − = − 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2( ), ( ); ( ) ( ) ( )s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s= + = + = + + = + + + + + tan 0,0 2n u pi α α= > < < 2 1 1 11 tan 1 cos tan sintan 2 cos n u α αα αα α + −+ − = = = 0 tan 2 pi α α α< < ⇒ < nn uuus +++= ...21 1 2 21 tan tan tan ,..., tan4 2.2 2.2 2.2n n u u u pi pi pi pi = = = ⇒ = = 2 1 2 2 tan tan ... tan 2.2 2.2 2.2 1 1 11 ... 1 ( ... ) 1 (1 ( ) ) 2.2 2.2 2 2 2 4 2 n n n n n s pi pi pi pi pi pi pi − = + + + ≥ ≥ + + + = + + + = + − Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 11 2 ñieåm +Theo ñònh lyù Vi eùt,ta coù p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b. +Ta coù + + 0.5 0.5 0.5 0.5 Chuù yù : hoïc sinh coù theå ñöa ra phöông aùn giaûi quyeát vaán ñeà khaùc neáu keát quaû ñuùng, hôïp loâ gic khoa hoïc vaãn cho ñieåm toái ña cuûa phaàn ñoù.
7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995 Bài I. Xét ñường cong: 3 2y mx nx mx n= − − + (C). Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao ñiểm của (C) với trục hoành có hai giao ñiểm cách nhau 1995 ñơn vị và khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) ñến trục hoành là 2000 ñơn vị. Bài II Với những giá trị nào của m thì ∀ x ∈ 0; 2 pi      ta luôn có: 3 2 2sin 2 os 3 sin osm mc m cα α α α+ ≤ . Bài III Cho hai dãy số ( )na và ( )nb trong ñó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có: 3 1 4 i i i a a a+ = − và i ib a= . Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của ia sao cho dãy ( )nb có giới hạn khác 0. Bài IV Cho hình Elíp 2 2 2 2 1 x y a b + = với tâm O và các tiêu ñiểm 1 2,F F . Qua O, 1F vẽ các ñường song song MOM', MF1N'. Tính tỉ số: 1 1 . ' . ' OM OM F N F N .
8. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996 Bài I Cho dãy ( )nx xác ñịnh bởi ñiều kiện: x1 = a ; 21 3 4n n n x x x+ − + = ; ( n = 1; 2; 3…). Tìm giá trị của a sao cho: x1996 = x1997. babappppxxx bappxxx 3333 22 3 321 3 1 3 3 3 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 −+−=+−=++ −=−=++ axxxbxxxbxxxS 3)()()( 321232221333231 +++++++++= )32)(( 3)()2()33( 2 23 ++−−= +−+−+−+−= babaS aabbabbabaS Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 12 Bài II Hàm số f(x) ñược xác ñịnh bằng hệ thức: 2(1 ) 2 ( ) sinf x f x x− + = . Chứng minh rằng: 2s inf(x) < 2 . Bài III Cho phương trình: ( ) 3 2cos 2 3 cos 2 8sin 2cos 2 sin 4x m x m mα α α+ + = − + + + . Hãy xác ñịnh giá trị của m sao cho với mọi giá trị của α thì phương trình có nghiệm. Bài IV Trên mặt phẳng toạ ñộ vuông góc Oxy, cho các ñiểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ ñường thẳng ( )∆ vuông góc với AB tại H và ñường tròn (C) nhận AB làm ñường kính. Tìm quỹ tích tâm I của ñường tròn tiếp xúc với ( )∆ và tiếp xúc trong với (C) sao cho ñiểm M nằm ở bên ngoài ñường tròn (I).
9. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997 Câu 1 (5 ñiểm): Cho hàm số ( ) 2 2 xef x e e = + . 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên ñoạn ln 2;ln 5   . 2. Tính tổng 1 2 3 1996 1997( ) ... 1998 1998 1998 1998 1998 S f f f f f       = + + + + +                . Câu 2 (5 ñiểm): Tìm a ñể phương trình sau có ñúng 3 nghiệm: ( ) ( ) ( )2 2 42 sin 1 13 log 4 6 3 log 0 2 sin 1 1 x xx a x x x a pi pi − − − − + + + + = − + + . Câu 3 (5 ñiểm): Cho 1 2 3 4, , ,6 4 x x x x pi pi≤ ≤ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3+11 1 1 1 cotx +cotx +cotx +cotx + + + cotx cotx cotx cotx 3   ≤    . Câu 4 (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn xOy cho ñường thẳng (d) có phương trình: 3 17 4 12 y x= + . 1. Tìm ñiểm M(a; b) với ,a b Z∈ sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và ñộ dài ñoạn OM ngắn nhất. 2. Cho ñường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C). Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 13
10. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998 Câu 1 (5 ñiểm): Cho họ ñường cong (Cm): 3 23 4y x x mx m= − + + − ( m là tham số). ðường thẳng (d): y=3-x cắt một ñường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N. Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi. Câu 2 (5 ñiểm): Giải hệ phương trình: ( )6 4 s inx siny 10 x 1 3 2 5 ; 4 x y e y x y pipi −  =   + = +   < <  . Câu 3 (5 ñiểm): Chứng minh bất ñẳng thức: 1 1 1 2 1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c + + > + + − , với a∀ làm vế trái có nghĩa. Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ ñể có một bất ñẳng thức ñúng và mạnh hơn không? Câu 4 (5 ñiểm): Cho 2 ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một ñường thẳng lần lượt tại 2 ñiểm A và A' cố ñịnh. Tìm quỹ tích giao ñiểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một gócα cho trước (α là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M ).
11. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999 Câu 1 (5 ñiểm): Cho hai hàm số ( ) 1 xf x x = + và ( ) arctanxg x = . 1. Cmr: ñồ thị của chúng tiếp xúc nhau. 2. Giải bất phương trình: ( ) ( )f x g x x≥ + . Câu 2 (5 ñiểm): Cho tam giác ABC thoả mãn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 cot cot cot 3 cot cot cot 2 2 2 a b cm m m A B C abc A B C + + = + + . Cmr: tam giác ABC ñều. Câu 3 (5 ñiểm): Tìm tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên ( ) ( )( ) 2 2 21 4 4log 5 10 34 2 0 4 2 2 2 4 a x a x a x x a x api pi pi pi pi pi pi  + + − − + − − − + + =   − − − − +  . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 14 Câu 4 (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình: 2 2 4x y+ = . 1. Tìm tham số m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo với nhau góc 450 và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C). 2. Cho 2 ñiểm A(a;b), B(c;d) thuộc ñường tròn (C) chứng minh: 4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .
12. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2001 Câu 1 (4 ñiểm): Cho hàm số 4 2 22y x m x n= − + . Tìm các giá trị của tham số m và n ñể ñồ thị có 3 ñiểm cực trị là các ñỉnh của một tam giác ñều ngoại tiếp một ñường tròn có tâm là gốc toạ ñộ. Câu 2 (4 ñiểm): Tìm tất cả các giá trị của a và b thoả mãn ñiều kiện 1 2 a −≥ và 1a b > sao cho biểu thức ( ) 32 1aP b a b + = − ñạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ñó. Câu 3 (4 ñiểm): Giải bất phương trình: 32 log 6 1 2 1 x x x + < − − . Câu 4 (4 ñiểm): Tìm các giá trị của x, ñể với mọi giá trị của y luôn tồn tại giá trị của z thoả mãn: ( ) 3 1 2 sin os 2x+ 2 3 2 osx y x y z y c c pi −   + + = + +    . Câu 5 (4 ñiểm): Cho Elíp (E) có 2 tiêu ñiểm là F1 và F2. Hai ñiểm M và N trên (E). Chứng minh rằng: 4 ñường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tiếp xúc với một ñường tròn.
13. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003 Câu 1 (4 ñiểm): Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình: 3 2 3( 2) 2003( 3) 0n n nn x n x a+ + ++ − + + = (với n là số tự nhiên lẻ cho trước). Câu 2 (4 ñiểm): Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 15 Cho ñường cong (C) có phương trình 4 24 3y x x= − + − .Tìm m và n ñể ñường thẳng y mx n= + cắt ñường cong (C) tại 4 ñiểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho 1 2 AB CD BC= = . Câu 3 (4 ñiểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R' lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác có ñộ dài 3 cạnh là GA, GB, GC. Chứng minh nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñều. Câu 4 (4 ñiểm): Giải các phương trình sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10x x= − . 2./ 5 332 40 10 3 0x x x− + − = . Câu 5 (4 ñiểm): Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho Parabol (P): 2 2y px= (p > 0), tiêu ñiểm là F. Từ một ñiểm I kẻ 2 ñường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N. 1. Cmr: FIM∆ ñồng dạng với FIN∆ . 2. Một ñường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'. Cmr: FQ.FQ' FT không phụ thuộc vị trí của (d).
14. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004 Bài 1 (4 ñiểm): Cho hàm số: f(x) = 1 5 4 54 +− xmx và 122004 3 )( 3 2 −−= xx m xg có ñồ thị là (C) và (C’). Hẵy tìm tất cả cac giá trị của tham số m ñể tồn tại 4 ñường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và mỗi ñường trong chúng ñều cắt (C) và (C’) tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tương ứng của (C)và (C’) tại hai ñiểm ñó song song với nhau. Bài 2 (4ñiểm): Cho bất phương trình: 222 2222 xxaaxxxxx xx −+−<− . 1.Giải bpt khi a = -1. 2.Tìm a ñể bpt có nghiệm x >1. Bài 3 (4ñiểm): Giải phương trình: 2( ) 3 9 4( )2 2cos sin3 2 2 2 x x x x pi pi − − + = + . Bài 4 (4ñiểm): Một tứ giác có ñộ dài ba cạnh bằng 1 và diện tích bằng 4 33 . Hãy tính ñộ dài cạnh còn lại và ñộ lớn các góc của tứ giác ñó. Bài 5 (4ñiểm): Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 16 Cho tứ diện ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi một vuông góc với nhau. Một ñiểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diện. 1.Gọi các góc tạo bởi tia DM với DA, DB, DC là , ,α β γ . Cmr: 2sinsinsin 222 =++ γβα . 2.Gọi DCBA SSSS ,,, lần lượt là diện tích các mặt ñối diện với ñỉnh A, B, C, D của khối tư diện. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: DCBA SMDSMCSMBSMAQ .... +++= .
15. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006 Câu 1 (5 ñiểm): Gọi ( )mC là ñồ thị của hàm số 4 2 2 46 4 6y x m x mx m= − + + ( m là tham số). 1. Tìm các giá trị của m ñể ( )mC có 3 ñiểm cực trị A, B, C. 2. Chứng minh rằng tam giác ABC có trọng tâm cố ñịnh khi tham số m thay ñổi. Câu 2 (3 ñiểm): Giải các phương trình sau: 1. 5 315 11 28 1 3x x x+ + = − . 2. ( ) 2 24 1 1 2 2 1x x x x− + = + + . Câu 3 (3 ñiểm): Tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R của ñường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức: ( )3 2bc R b c a = + −  . Chứng minh rằng tam giác ñó là tam giác ñều. Câu 4 (4 ñiểm): Tìm các giá trị của tham số a ñể hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1y y y12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin 2 2 2 3 32 1 2 4 x y c c c x y a x y a pipi pi pi − −  − − − + + = −     + − − = + − −   . Câu 5 (5 ñiểm): Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Các ñiển M, N lần lượt chuyển ñộng trên các ñoạn AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðặt AM = x, AN = y. 1. Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một ñường phẳng cố ñịnh và x + y = 3xy. 2. Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích toàn phần tứ diện ADMN ñạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trị ñó.