Bài giảng Phương trình đối xứng theo sinx, cosx

CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX asinx()++ cosx bsinxcosx = c( 1) Cách giải Đặt t=+ sin x cos x với điều kiện t≤ 2 ⎛⎞ππ ⎛⎞ Thì t=+=− 2 sin⎜⎟ x 2 cos ⎜⎟ x ⎝⎠44 ⎝⎠ Ta có : t2 =+ 1 2sin x cos x nên( 1) thành b at+−= t2 1 c 2 () ⇔+−−=bt2 2at b 2c 0 Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤ ⎛⎞π giải phương trình 2sin⎜⎟ x+ = t ta tìm được x ⎝⎠4 Bài 106 : Giải phương trình sin x++= sin23 x cos x 0( *) (*) ⇔++−sin x() 1 sin x cos x( 1 sin2 x) = 0 ⇔+()1sinx = 0haysinxcosx1sinx +( −) = 0 ⎡sin x=− 1 (1) ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x+− cos x sin x cos x = 0() 2 π •⇔=−+π∈()1x k2kZ() 2 ⎛⎞π •=+=−Xét() 2 : đặt t sin x cos x 2 cos⎜⎟ x ⎝⎠4 điều kiện t≤=+ 2 thì t2 1 2sin x cos x t12 − Vậy (2) thành t0−= 2 ⇔−−=t2t102 ⎡t1=− 2 ⇔ ⎢ ⎣⎢t1=+ 2loại() ⎛⎞π Do đó ( 2 ) ⇔ 2cos⎜⎟ x−=− 1 2 ⎝⎠4 ⎛⎞π 2 ⇔−=−=ϕ<ϕ<cos⎜⎟ x 1 cos với 0 2π ⎝⎠42 π 2 ⇔−=±ϕ+xh2, π∈h, vớicos ϕ= −1 42 π 2 ⇔=±ϕ+xh2,h,vớicos π∈ ϕ= −1 42 3 Bài 107 : Giải phương trình −+1 sin33 x + cos x = sin 2x() * 2 3 ()*⇔− 1 + ( sin x + cos x )( 1 − sin x cos x)= sin 2x 2 ⎛⎞π Đặt tsinxcosx=+= 2sinx⎜⎟ + ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =+ x 2 ⎛⎞t1− 32 Vậy (*) thành : −+1t1⎜⎟ − =()t − 1 ⎝⎠22 ⇔−2t3t +()() −22 = 3t − 1 ⇔+t3t3t1032 −−= ⇔−()t1t()2 ++= 4t1 0 ⇔=∨=−+t1t 2 3t ∨=−− 2 3loại() ⎛⎞ππ1 với t = 1 thì sin⎜⎟ x += =sin ⎝⎠442 ππ π3 π ⇔+=xk2x = π∨+= + k2,k π∈ 44 4 4 π ⇔=xk2 π∨=+ x k2,k π ∈ 2 ⎛⎞π−32 với t32thìsinx=−⎜⎟ += =sinϕ ⎝⎠4 2 ππ 32− ⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈xm2x m2,m,vớis =inϕ 44 2 ππ33−2 ⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈xm2x m2,m,vớisin = ϕ 44 2 Bài 108 :Giải phương trình 2sinx()+=+ cosx tgx cotgx*( ) ⎧sin x≠ 0 Điều kiện ⎨ ⇔≠sin 2x 0 ⎩cos x≠ 0 sin x cos x Lúc đó (*) ⇔+=+2sinx() cosx cos x sin x sin22 x+ cos x 1 ⇔+=2sinx() cosx = sinxcosx sinxcosx ⎛⎞π Đặt tsinxcosx=+= 2sinx⎜⎟ + ⎝⎠4 Thì t12sinxcosxvớit22=+ ≤ 2vàt ≠1 2 (*) thành 2t = t12 − ⇔−−=2t3 2t 2 0 (Hiển nhiên t=±1 không là nghiệm) ⇔−()t22t2t20()2 ++ = ⎡t2= ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢t++= 2t 1 0() vô nghiệm ⎛⎞π Vậy ()* ⇔ 2sin⎜⎟ x+= 2 ⎝⎠4 ⎛⎞π ⇔+=sin⎜⎟ x 1 ⎝⎠4 ππ ⇔+=+xk2,k π∈ 42 π ⇔=+xk2,k π∈ 4 Bài 109 : Giải phương trình 3cotgx()−−−= cosx 5tgx( sinx) 2*( ) Với điều kiện sin 2x≠ 0 , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ()*⇔−−−= 3 cos22 x ( 1 sin x ) 5 sin x( 1 cos x) 2 sin x cos x ⇔−−−=3cos22 x1( sinx) 5sin x1( cosx) 5sinxcosx − 3sinxcosx ⇔−+−−+3cos x⎣⎦⎡⎤ cos x() 1 sin x sin x 5sin x⎣⎡ sin x() 1 cos x cos x⎦⎤= 0 ⇔−+−−+3cos x() cos x sin x cos x sin x 5sin x( sin x sin x cos x cos x)= 0 ⎡sin x+− cos x sin x cos x = 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢3cosx−= 5sinx 0 ()2 ( Ghi chú: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) ⎛⎞π Giải (1) Đặt tsinxcosx=+= 2sinx⎜⎟ + ⎝⎠4 Thì t12sinxcos2 =+ x với điều kiện : t≤ 2 và t≠± 1 t12 − (1) thành : t0t2t− =⇔2 − −=10 2 ⎡t1=+ 2loạidot()≤ 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎣t=− 1 2() nhận so với điều kiện ⎛⎞π−12 Vậy sin⎜⎟ x += =α<α<πsin() 0 2 ⎝⎠42 ⎡⎡ππ xk2+=α+ π xk2=α−+ π ⎢⎢44 ⇔⇔⎢⎢ ⎢⎢ππ3 xk+ =π−α+2 π,kxk ∈ = −α+2 π,k ∈ ⎣⎣⎢⎢44 3 ()2⇔ tgx ==β⇔=β+π∈ tg x h , h () với 0 <β<π 5 Bài 110 : Giải phương trình 3231( + sinx) ⎛⎞π x 3tg x−+ tgx 2 =8cos⎜⎟ −() * cos x ⎝⎠42 Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 22⎡ ⎛⎞π ⎤ Lúc đó : (*) ⇔−+++=+−tgx() 3tg x 1 3() 1 sin x() 1 tg x 4⎢ 1 cos⎜⎟ x ⎥ ⎣ ⎝⎠2 ⎦ =+41() sinx 22⎡⎤ ⇔−+++−tgx() 3tg x 1() 1 sin x⎣⎦ 3( 1 tg x) 4= 0 ⇔−++=()3tg2 x 1() tgx 1 sin x 0 ⇔−()3tg2 x 1() sin x ++ cosx sin x cosx = 0 ⎡3tg2 x= 1() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sinx++ cosx sinxcosx = 0() 2 13π •⇔(1) tg2xt =⇔gxx =± ⇔=±+πk 336 ⎛⎞π •=+=Giải() 2 đặt t sin x cosx 2 sin⎜⎟ x + ⎝⎠4 Với điều kiện t≤≠ 2 và t± 1 Thì t12sinxcosx2 =+ t12 − (2) thành : t0t2t1+ =⇔2 + −=0 2 ⎡t=− 1 − 2() loại dođiều kiện t≤ 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎣t=− 1 + 2() nhận so với điều kiện ⎛⎞π−21 Vậy sin⎜⎟ x += =sin ϕ ⎝⎠4 2 ⎡⎡ππ xk2,k+=ϕ+ π∈¢¢ xk2,k =ϕ−+ π∈ ⎢⎢44 ⇔⇔⎢⎢ ππ3 ⎢⎢xk+ =π−ϕ+2 π,kxk ∈¢¢ = −ϕ+2 π,k ∈ ⎣⎣⎢⎢44 Bài 111 : Giải phương trình 2sin33 x−= sin x 2cos x −+ cosx cos2x( *) ()*⇔−−−+− 2() sin33 x cos x() sin x cosx sin22 x cos x= 0 ⇔−=sinx cosx 0 hay 2() 1 + sinxcosx −+ 1( sinx + cosx) = 0 ⎡sin x−= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x++ cosx sin 2x += 1 0() 2 •⇔()1tgx1 = π ⇔=+π∈xk,k¢ 4 ⎛⎞π •=+=xét() 2 đặt t sin x cosx 2 cosx⎜⎟ x − ⎝⎠4 Với điều kiện : t2≤ t1sin2x2 =+ Vậy ()2thànht+−+=() t2 1 1 0 ⇔+=⇔=∨=−tt() 1 0 t 0 t 1 ⎛⎞π Khi t = 0 thì cos⎜⎟ x−= 0 ⎝⎠4 ππ ⇔−x2k1,k =() + ∈¢ 42 3π ⇔=xk,k +π∈¢ 4 ⎛⎞ππ13 Khi t1thìcosx=−⎜⎟ − =− = cos ⎝⎠442 ππ3 ⇔−xk =± +2 π∈,k¢ 44 π ⇔=π+xk2hayx π =−+ k2,k π∈¢ 2 Bài 112 : Giải phương trình sin x+++=+ sin234 x sin x sin x cosx cos2 x + cos 3 x + cos 4 x( *) Ta có : (*) ⇔−+()sin x cosx() sin22 x − cos x +( sin 33 x − cos x) +( sin 44 x − cos x) = 0 ⇔−()sin x cosx = 0 hay 1 ++++ ()( sin x cosx 1 sin x.cosx )() ++= sin x cosx 0 ⎡sin x−= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢2() sin x++ cosx sin x cosx += 2 0 () 2 Ta có : (1) ⇔=tgx 1 π ⇔=+π∈xk,k¢ 4 ⎛⎞π Xét (2) : đặt tsinxcosx=+ = 2cosx⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcosx2 =+ t12 − (2) thành 2t++= 2 0 2 ⇔++=t4t302 ⇔=−∨=−t1t3loại() ⎛⎞ππ13 khi t = -1 thì cos⎜⎟ x −=− =cos ⎝⎠442 ⎡ ππ3 xk2,k−= + π∈¢ ⎢ 44 ⇔ ⎢ ππ3 ⎢xk−=− +2, π∈k¢ ⎣⎢ 44 ⎡xk2,k=π+ π ∈¢ ⇔ ⎢ π ⎢xk2,k=− + π ∈¢ ⎣ 2 Bài 113 : Giải phương trình tg233x1( −+−= sinx) cosx 1 0*( ) Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 2 sin x 33 Lúc đó (*) ⇔−+−2 ()1sinx cosx1= 0 cos x ⇔−()1cosx1sinx23( −)( −− 1cosx1sinx 32 )( −) = 0 ⇔−()()1cosx1sinx − = 0 hay() 1+++−++ cosx() 1 sin x sin22 x( 1 cosx cos x )() 1 + sin x= 0 ⎡cosx= 1() nhận do điều kiện ⎢ ⇔=⎢sin x 1() loại do điều kiện ⎢ 22 2 2 ⎣⎢sin x+−−= sin x cosx cos x sin x cos x 0 ⎡cos x= 1 ⇔ ⎢ 22 ⎣sin x−+ cos x sin x cosx() sin x −= cosx 0 ⎡cosx= 1 ⇔ ⎢ ⎣sin x−= cosx 0 hay sin x ++ cosx sin x cosx = 0 ⎡cos x=∨ 1 tgx = 1 ⇔ ⎢ ⎣sinx++ cosx sinxcosx = 0 ⎡xk2,k=π∈¢ ⎢ π ⇔=+π∈⎢xk,k¢ ⎢ 4 ⎢ ⎣sin x++ cosx sin x cosx = 0 xét pt sinx++ cosx sinxcosx = 0 đặt ⎛⎞π t=+ sin x cosx = 2 cosx⎜⎟ x −() điều kiện t≤ 2 và t ≠± 1 ⎝⎠4 ⇒=+t2 1 2sinxcosx t12 − Ta được phương trình t0t2t1+=⇔+−=2 0 2 ⎡t12loại=− − () ⇔ ⎢ ⎣⎢t12nhậnsovớiđk=− + () ⎛⎞π−21 Vậy cos⎜⎟ x −= =ϕcos ⎝⎠4 2 ππ ⇔−xk2,kxk2, =±ϕ+ π∈⇔=¢¢ ±ϕ+ π∈k 44 Bài 114 : Cho phương trình m() sin x++=+ cosx 1 1 sin 2x( *) ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ⎢0, ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎛π ⎞ Đặt tsinxcosx=+ = 2sinx⎜ −⎟, điều kiện t2≤ ⎝⎠4 Thì t1sin22 =+ x Vậy (*) thành : mt()+= 1 t2 ππ π3π Nếu 0x≤≤ thì ≤+≤ x 24 44 2 ⎛⎞π Do đó ≤+sin⎜⎟ x≤ 1 24⎝⎠ ⇔≤≤1t 2 ta có mt()+= 1 t2 t2 ⇔=m (do t = -1 không là nghiệm của phương trình) t1+ t2 Xét ytrên1,= ⎡⎤2 t1+ ⎣⎦ t2t2 + Thì y'=>∀∈ 0 t⎡⎤ 1, 2 ()t1+ 2 ⎣⎦ ⎡⎤ Vậy y tăng trên ⎣⎦1, 2 ⎡⎤π Vậy (*) có nghiệm trên ⎢⎥1, ⇔≤≤y()1my()2 ⎣⎦2 1 ⇔≤m2 ≤ 21 − 2 () Bài 115 : Cho phương trình cos33 x+= sin x msin x cosx( *) a/ Giải phương trình khi m2= b/ Tìm m để (*) có nghiệm Ta có : (*) ⇔+(cosx sinx)( 1 − sinxcosx) = msinxcosx ⎛⎞π Đặt tsinxcosx=+ = 2cosxx⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện ()t2≤ Thì t12sinxcosx2 =+ ⎛⎞⎛t122−− t1⎞ Vậy (*) thành t1⎜⎟⎜−= m ⎟ ⎝⎠⎝22⎠ ⇔−=t3( t22) mt( − 1) a/ Khi m= 2 ta có phương trình t3()−= t22 2(( t − 1)) ⇔+t2t3t2032 −− = ⇔−()t2t22t10()2 + += ⇔=t 2 hay t =− 2 + 1 hay t =− 2 − 1(loại) ⎛⎞ππ π Vậy •−=⇔−=π∈⇔=+πcosx⎜⎟ x 1 x k2 ,k¢¢ x k2 ,k ∈ ⎝⎠44 4 ⎛⎞π−12 •−=cos⎜⎟ x =αcos ⎝⎠4 2 ππ ⇔−xk2,kxk2, =±α+ π∈⇔=¢¢ ±α+ π∈k 44 b/ Xét phương trình t3()−= t22 kt( − 1)( **) Do t=±1 không là nghiệm của (**) nên 3t− t3 ()**⇔= m t12 − 3t− t3 Xét yCtrên2,2\=−() ⎡⎤{}±1 t12 − ⎣⎦ −−t34 Ta có y'=<∀=2 0 t± 1 ()t12 − suy ra y giảm trên(− 1,1 ) và limyy=+∞ , lim =−∞ xx→−11+−→ ⎡⎤ Do đó trên()−⊂− 1,1⎣⎦ 2, 2 \{} ± 1 ta có 3t− t3 (d) y = m cắt (C) yvớim=∀∈R t12 − Vậy (*) có nghiệm ∀∈mR Bài 116 : Cho phương trình 111⎛⎞ msinx()+++ cosx 1⎜⎟ tgxcot +++gx0 =()* 2s⎝⎠inxcosx 1 a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎛⎞π b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠2 Với điều kiện sin 2x≠ 0 ta có 1sinx⎛⎞ cosx 1 1 (*) ⇔+++msinx() cosx 1 ⎜⎟ +++=0 2cosxsinxsinxcosx⎝⎠ ⇔+++++m sin 2x() sin x cosx sin 2x( 1 cosx sin x) = 0 ⇔+++m sin 2x() sin x cosx sin 2x 1++= cosx sin x 0 ⇔+++++m sin 2x()() sin x cosx sin x cos x2 sin x cosx= 0 ⎡sin x+= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢msin2x++ sinx cosx += 1 0() 2 ⎛⎞π Xét (2) đặt tsinxcosx=+ = 2cosx⎜⎟ − ⎝⎠4 Thì t1sin22 =+ x Do sin 2x≠≤ 0 nên t 2 và t=± 1 ⎡t0= Vậy (*) thành : ⎢ 2 ⎣⎢mt()−++= 1 t 1 0 ⎡t= 0() nhận so điều kiện ⇔ ⎢ ⎣⎢mt()−+= 1 1 0 (dot ≠− 1) 1 a/ Khi m = thì ta được : 2 ⎡t0= ⎢ ⎣⎢t=− 1() loại do điều kiện Vậy sinx + cosx = 0 ⇔=−tgx 1 π ⇔=−+π∈xk,k¢ 4 ππ ππ b/ Ta có : 0x<< ⇔−<−< x 24 44 Lúc đó 2 ⎛⎞π <cos⎜⎟ x − ≤⇒<≤ 1 1 t 2 24⎝⎠ ⎤ Do t0=∉( 1,2⎦ Nên ta xét phương trình : mt( −+= 1) 1 0**( ) ()**⇔=− mt m 1 1 ⇔=−t1 (do m = 0 thì (**) vô nghiệm) m 1 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔<−11 ≤ 2 m ⎧ 1 −>0 ⎧m0< ⎪⎪⎪ m ⇔⇔⎨⎨1 1 m2≤=−−1 ⎪⎪12−≤ 12− ⎩⎪ m ⎩ ⇔≤−m21 − 3 Bài 117 : Cho f( x) = cos2 2x++−+ 2( sin x cosx) 3sin2x m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) 2 Tìm m cho ⎣⎦⎡⎤fx() ≤∀∈ 36 x R ⎛⎞π Đặt t =sin x+ cosx = 2 cos⎜⎟x −() điều kiện t≤ 2 ⎝⎠4 Thì t1sin22 =+ x 2 Và cos2224 2x=− 1 sin 2x =− 1( t − 1) =− t + 2t2 Vậy fx() thànhg ()t=− t423 + 2t + 2t − 3( t 2 − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 ⇔−tt22 − 2t1 + = 0 () ⇔=∨=t0t1 vậy khi m = -3 thì f(x ) = 0 ⎛⎞π ⎛π⎞1 ⇔−=cosx⎜⎟ 0haycosx ⎜−=⎟ 44 ⎝⎠ ⎝⎠2 ππππ ⇔−x2k1hayx =() + − =±+ k2,k π∈¢ 4244 3π π ⇔=xk +π hay x= +π∨=π∈ k2 x k2 , k ¢ 4 2 b/ Ta có g'() t= −+ 4t3 6t2 −=− 2t 2t( 2t2 −+ 3t 1) ⎧ ⎪g'(t)= 0 1 Vậy ⎨ ⇔=∨=∨=t0t1t t2,2∈−⎡⎤ 2 ⎪⎩ ⎣⎦ ⎛⎞147 Ta có : g()03m= +=g ()1, g⎜⎟= +m ⎝⎠216 g2()=423m,g2−+() =−− m342 Vậy : Maxf( x) == Max g(tm) +3 ⎡⎤ x ∈ ¡ t2,2∈−⎣⎦ Minf( x) ==− Min g( t) m 3− 4 2 ⎡⎤ xR∈ t2,2∈−⎣⎦ 2 Do đó : ⎣⎦⎡⎤fx() ≤∀∈⇔−≤ 36, x R 6 fx() ≤∀∈ 6, x R ⎧Max f() x≤ 6 ⎪ R ⇔ ⎨ ⎪Min f() x≥− 6 ⎩ R ⎪⎧m36+≤ ⇔ ⎨ ⎩⎪m342− −≥− 6 ⇔−≤≤42 3 m 3 22 2 Cách khác : Ta có gt()=− t( t − 2t + 1) + 3 + m =−⎣⎦⎡⎤ tt() − 1 + 3 + m Đặt ut=−2 t ⎡⎤⎡⎤1 Khi t2,2thìu∈− ∈−⎢⎥ ,22 + =D ⎣⎦⎣⎦4 Vậy g()thu==−++( ) u3m2 Max f() x===+ Max g() t Max h( u) m 3 Rut2,2∈−⎡⎤ ∈ D ⎣⎦ Min f() x===− Min g() t Min h ( u ) m 3− 4 2 R ⎡⎤ t2,2∈−⎣⎦ uD∈ Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng asinx()()−+ cosx bsinxcosx = 0 đặt t = sinx – cosx ⎛⎞ππ ⎛⎞ thì t2sinx=−=−⎜⎟ 2cosx ⎜+⎟ ⎝⎠44 ⎝⎠ với điều kiện t2thìt12sinxcos≤=−2 x Bài 118 : Giải phương trình 2sinx+= cotgx 2sin2x + 1( *) Điều kiện : sin x≠⇔ 0 cos x =± 1 cos x Lúc đó (*) ⇔+=2sinx 4sinxcosx+ 1 sin x ⇔+=2 sin22 x cos x 4 sin x cos x + sin x ⇔−−2 sin22 x sin x cos x() 4 sin x −= 1 0 ⇔−−−+sinx()()() 2sinx 1 cosx 2sinx 1 2sinx 1= 0 ⇔−=2sinx 1 0 hay sinx − cosx() 2sinx += 1 0 ⎡2sinx−= 1 0 ()1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x−− cos x sin 2x = 0() 2 1 •⇔=Ta có() 1 sin x() nhận do sin x≠ 0 2 ππ5 ⇔=+π∨=xk2x +π∈ k2,k 66 ⎛⎞π •=−=Xét() 2 Đặt t sin x cos x 2 sin⎜⎟ x − ⎝⎠4 Với điều kiện t2vàt≤≠±1 Thì t1sin22 =− x Vậy (2) thành : t1t−−()2 = 0 ⇔+−=tt12 0 −+15 −− 15 ⇔=tt ∨= ()loại 22 ⎛⎞π−+15 Do đó : 2 sin⎜⎟ x −= ()nhận do t≤ 2 và t ≠± 1 ⎝⎠42 ⎛⎞π−51 ⇔−=sin⎜⎟ x =sin ϕ ⎝⎠4 22 ⎡ π xk2,k−=ϕ+ π ∈ ⎢ 4 ⇔ ⎢ ⎢ π xk− =π−ϕ+2 π,k ∈ ⎣⎢ 4 ⎡ π xk2,k=ϕ+ + π ∈ ⎢ 4 ⇔ ⎢ ⎢ 5π xk=−ϕ+π∈2,k ⎣⎢ 4 Bài 119 : Giải phương trình cos2x+= 5 2( 2 − cos x)( sin x − cos x)( *) Ta có : ()*⇔−+=−() cos22 x sin x 5 2()( 2 cos x sin x − cos x) ⇔−()()sin x cos x⎣⎦⎡⎤ 2 2 −++ cos x( sin x cos x) − 5= 0 ⇔−()sin x cos x[ sin x −+− cos x 4] 5= 0 ⎛⎞π Đặt tsinxcosx=−= 2sinx⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ (*) thành : tt( +−= 4) 5 0 ⇔+−=t4t502 ⇔=∨=−t1t 5loại() ⎛⎞ππ1 Vậy ()* ⇔ sin⎜⎟ x −= =sin ⎝⎠442 ππ π3 π ⇔−=+xk2x π∨−= + k2,k π ∈ 44 4 4 π ⇔=+xk2xk2,k π∨=π+ π ∈ 2 Bài 120 : Giải phương trình cos33 x+= sin x cos 2x( *) Ta có (*) ⇔+(cos x sin x)( 1 − sin x cos x) =− cos22 x sin x ⇔+=cos x sin x 0 hay 1 − sin x cos x =− cosx sin x ⎡sin x+= cos x 0 ()1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x−− cos x sin x cos x += 1 0() 2 Ta có : ()1tgx⇔=−1 π ⇔=−+πxk,k ∈ 4 ⎛⎞π Xét (2) đặt tsinxcosx=−= 2sinx⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =− x 1t− 2 (2) thành t10t2t1−+=⇔++2 =0 2 ⇔=−t1 ⎛⎞ππ1 ⎛⎞ vậy (2) ⇔ sin⎜⎟ x −=− =sin ⎜ −⎟ ⎝⎠442 ⎝⎠ ⎡ ππ xk−=−+2 π,k ∈ ⎡xk2,k=π∈ ⎢ 44 ⇔⇔⎢ ⎢ 3π ⎢ ππ5 ⎢xk2,k= +π∈ xk−= +2,k π ∈ ⎣ 2 ⎣⎢ 44 Bài 121 : Cho phương trình cos33 x−= sin x m( 1) a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ tc=−osxsinx ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x,∈− ⎣⎢ 44⎦⎥ Ta có (1) ⇔−(cos x sin x)( 1 + sin x cos x) = m ⎛⎞π Đặt tcosxsinx=−= 2cosx⎜⎟ + ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =− x ⎛⎞1t− 2 Vậy (1) thành : t1⎜⎟+= m ⎝⎠2 ⇔−=t3() t2 2m() 2 a/ Khi m = 1 thì (2) thành t3t23 − +=0 ⇔−()t1t2 +−= t2 0 () ⇔=∨=−t1t 2loại() ⎛⎞πππ2 Vậy cos⎜⎟ x += ⇔+=±+π∈x k2 , k ⎝⎠42 44 π ⇔=xk2 π∨=−+ x k2,k π∈ 2 ⎡⎤ππ π π b/ Nếu x,∈− thì 0x≤ +≤ ⎣⎦⎢⎥44 42 ⎛⎞π nên 0cosx≤+⎜⎟≤ 1 ⎝⎠4 ⎛⎞π ⇔≤=0t 2cosx⎜⎟ + ≤ 2 ⎝⎠4 ⎡ ⎤ nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên ⎣0, 2 ⎦ ⎡⎤π π ta tìm duy nhất một x,∈− ⎣⎦⎢⎥44 3 ⎡⎤ xét f() t=− t + 3t trên⎣⎦ 0, 2 ⇒=−+f'() t 3t2 3 ⎡ π π⎤ vậy (1) có đúng hai nghiệm x,∈− ⎣⎢ 44⎦⎥ 3 ⎡ ⎤ ⇔=()d y 2m cắt() C y =−+ t 3t trên⎣ 0, 2⎦ tại 2 điểm phân biệt ⇔≤22m2 < 2 ⇔≤<m1 2 Bài 122 : Cho phương trình 2 cos 2x++=+ sin22 x cos x sin x cos x m( sin x cos x)( * ) a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên 0, ⎣⎢ 2⎦⎥ Ta có : ()*⇔−+ 2() cos22 x sin x sin x cos x( sin x +=+ cos x)( m sin x cos x) ⇔+=cos x sin x 0 (1) hay 2( cos x− sin x) + sin x cos x = m ( 2 ) ⎛π ⎞ Đặt tcosxsinx=−= 2cosx⎜ +⎟ (điều kiện t2≤ ) ⎝⎠4 Thì t12sinxcos2 =− x Ta có : ()1sinxcos⇔=−x π ⇔=−⇔=−+π∈tgx 1 x k , k 4 1t− 2 Ta có : (2) thành 2t+= m 2 ⇔−t4t12m**2 + + = () a/ Khi m = 2 thì (**) thành t4t32 − +=0 ⇔=∨=t1t3() loại ⎛⎞πππ2 vậy cos⎜⎟ x += ⇔+=±+π∈x k2 , k ⎝⎠42 44 π ⇔=xk2 π∨=−+π x k,k ∈ 2 Do đó : π π ()*x⇔=−+π∨= kxk2x π∨=−+ k2,k π ∈ 42 ⎡ πππ⎤⎡3π⎤ b/ Ta có x0,∈⇔+∈ x , ⎣⎢ 244⎦⎣⎥⎢4⎦⎥ 22⎛⎞π vậy −≤cos⎜⎟ x +≤ 24⎝⎠2 ⇒−1t1 ≤ ≤ ππ⎡⎤ Do nghiệm xk0,,k= −+π∉ ∀∈ 42⎣⎦⎢⎥ Nên yêu cầu bài toán ⇔ (**)có nghiệm trên [−1,1] Xét yt4t1thìy'2t40t=−2 + + =− + > ∀ ∈[ − 1,1] ⇒−ytăngtrên[ 1,1] Do đó : yêu cầu bài toán ⇔−4y1 = − ≤ 2my1 ≤ = 4 () () ⇔−2m2 ≤ ≤ * Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng atgx()±++ cotgx btgx()22 cotgx = 0 ta đặt ttgxcotgxthìt=±22 = tgxcotgx2 + 2 ± 2 khi ttgxcotgx=+ = thìt ≥ 2dosin2x1() ≤ sin 2x Bài 123 : Giải phương trình 3tg22 x++ 4tgx 4 cot gx + 3cot g x += 2 0( *) 2 Đặt ttgxcotgx=+ = sin 2x Với điều kiện t2≥ Thì ttgxcotgx22=+ 2 +2 (*) thành : 3t( 2 −++= 2) 4t 2 0 ⇔+−=3t2 4t 4 0 ⎡ 2 t= () loại do điều kiện ⇔ ⎢ 3 ⎢ ⎣t2=− 2 Ta có : t2=− ⇔ =− 2sin2x ⇔ =−1 2sinx π ⇔=−+π∈2x k2 , k 2 π ⇔=−+πxk,k ∈ 4 Bài 124 : Giải phương trình tgx+++ tg23 x tg x cotgx + cotg2 x + cotg 3 x = 6( *) Ta có (*) ⇔+(tgx cot gx) +( tg2233 x + cot g x) +( tg x + cot g x) = 6 ⇔+(tgx cot gx) ++( tgx cot gx)2 −++ 2( tgx cot gx)( tg22 x + cot g x −= 1) 6 ⇔+tgx cot gx ++ tgx cot gx22 ++ tgx cot gx⎡⎤ tgx + cot gx −= 3 8 ()()()()⎣⎦ 2 Đặt ttgxcotgx=+ = () điềukiệnt≥ 2 sin 2x Vậy (*) thành : tt++22 tt() −= 3 8 ⇔+−−=tt2t8032 t2= 2 ⎡ ⇔−()t2t() ++ 3t4 =⇔ 0 ⎢ 2 ⎣t++= 3t 4 0() vô nghiệm ⇔=t2 2 Vậy =⇔2sin2x =1 sin 2x π ⇔=+π∈2x k2 , k 2 π ⇔=+πxk,k ∈ 4 Bài 125 : Giải phương trình 2 +++2tg2 x 5tgx 5 cot gx += 4 0() * sin2 x Cách 1 : (*) ⇔ 2() 1+++++ cot g22 x 2tg x 5( tgx cot gx) 4= 0 ⇔+2tgx()22 cotgx +++= 5tgx() cotgx 6 0 ⇔+2⎡⎤ tgx cotgx2 −+++ 2 5 tgx cotgx 6= 0 ⎣⎦()() 2 Đặt ttgxcotgx=+ = ,vớit2 ≥ sin 2x Ta được phương trình : 2t2 + 5t+= 2 0 1 ⇔=−∨=−t2t() loại 2 2 Vậy()* ⇔ =−2sin2x ⇔ =−1 sin 2x π ⇔=−+π∈2x k2 , k 2 π ⇔=−+πxk,k ∈ 4 Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện u0≠ ) 25 Vậy (*) thành : 22u5u4++2 +++=0 uu2 ⇔+22u43 + 5u + 5u6u + 2 = 0 ⇔+()u 1() 2u32 + 3u ++= 3u 2 0 ⇔+()u12 () 2u2 ++= u2 0 ⎡=−u1nhận() ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢2u++= u 2 0() vô nghiệm Vậy (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔=−+πxk,k ∈ 4 Bài 126 : Cho phương trình 1 ++++=cot g2 x m() tgx cot gx 2 0() 1 cos2 x 5 a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm Ta có : (1) ⇔+tg22 x cot g x + m( tgx + cot gx) += 3 0 2 Đặt ttgxcotgx=+ = () điềukiệnt≥ 2 sin 2x ⇒=ttgxcotgx22 + 2 +2 Vậy (1) thành : tmt102 ++= (2) 5 a/ Khi m = ta được phương trình 2t2 + 5t+= 2 0 2 1 ⇔=−∨=−t2t() loại 2 2 Do đó = −⇔2sin2x =−1 sin 2x π ⇔=−+π∈2x k2 , k 2 π ⇔=−+πxk,k ∈ 4 b/ Cách 1 : Ta có : (2) ⇔=−−mt 1 t2 1 ⇔=−−mt(do t = 0 không là nghiệm của (2)) t 1 Xét ytvớit=− − ≥2 t 11− t2 Thì y'=−= 1 tt22 Ta có : y'=⇔=± 0 t 1 Do đó (1) có nghiệm ⇔−(d) cắt( C) trên( ∞ ,− 2] U[ 2, +∞) 55 ⇔≤−∨≥mm 22 5 ⇔≥m 2 Cách 2 : Yêu cầu bài toán ⇔=++ft() t2 mt 1= 0 có nghiệm t thỏa t2≥ Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm t,t12( vớit 1≤ t 2) và có ⎪⎪⎧≤t1t111 ⎧≥ nghiệm thì ta có ⎨⎨∨ ⎩⎩⎪⎪t1t122≥≤ Do đó : Yêu cầu bài toán ⇔t2t22t211 ≤−< < ∨−< 1 < ≤t2 ⎪⎪⎧⎧1f()−≤ 2 0 1f() 2 ≤ 0 ⎧⎧−2m+≤ 5 0 − 2m +> 5 0 ⇔∨⇔⎨⎨ ⎨ ∨ ⎨ >−>2m+> 5 0 2m +≤ 5 0 ⎩⎩⎪⎪1f() 2 0 1f() 2 0 ⎩⎩ 55 ⇔≥∨≤−mm 22 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình : a/ 1cosxsinx+−=33 sinx b/ cos32 x++ cos x 2sin x − 2= 0 c/ cos 2x+= 5 2() 2 − cos x( sin x − cos x) d/ cot gx−= tgx sin x + cos x e/ sin33 x−=− cos x sin x cos x f/ 1t+=gx sinxcosx + ⎛⎞π g/ sin 2x+− 2 sin⎜⎟ x= 1 ⎝⎠4 k/ sin 2x−−+ 12( sin x cos x) 12= 0 sin x+ cos x l/ = 1 sin 2x+ 1 1−− cos 2x 1 cos3 x m/ = 1cos2x+− 1sinx3 n/ 5() sin x++ cos x sin 3x − cos 3x = 2 2( 2 + sin 2x) o/ 1 +++sin x cos x sin 2x + 2cos2x = 0 p/ sin22 x cos x−+= cos2x sin x cos x sin x + cos x r/ cos 2x+= 5 2()( 2 − cos x sin x − cos x) s/ cos23 x++ sin x cos x= 0 t/ 4sin3 x−= 1 3sinx − 3cos3x 2. Cho phương trình sin 2x() sin x+= cos x m( 1) a/ Chứng minh nếu m> 2 thì (1) vô nghiệm b/ Giải phương trình khi m2= 3. Cho phương trình sin 2x+−= 4( cos x sin x) m a/ Giải phương trình khi m = 4 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm 4. Cho phương trình : sin x cos x− m( sin x++ cos x) 1= 0 a/ Giải phương trình khi m2= b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m≥ 1) 3 5. Cho phương trình +=3tg2 x m() tgx + cot gx= 1 sin2 x Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m≥ 4) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi ĐH CLC Vĩnh Viễn