Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Ma trận-Định thức - Hoàng Văn Thắng

૜ ࢓ ૛ Tìm m để B khả nghịch, Khi đó tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ࡮ି૚ Giải:  B khả nghịch ⟺ ࢊ = ࡮ ≠ ૙  Ta có ࢊ = ࡮ = ૚૚ −࢓ ≠ ૙⟺ ࢓ ≠ ૚૚  Vậy B khả nghịch ⟺࢓ ≠ ૚૚∎ 27+1 Ví dụ 3: Cho: ࡭ = −૚ ૛ ૚૚ ૛ ૚ −૚ ૛ −૜ −૛ ૜ ૚ ૚ ૛ ૚ −૛ Phần tử thuộc dòng 3 cột 2 của ma trận nghịch đảo của ma trận A là: B: – 36 D: – 9 50:50 A: ૚ ି૜૟ C: ૚ ૝ Đối với ma trận cấp lớn, việc tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức ࡭ି૚ = ૚ ࢊ ࡭∗ là không khả thi, vì khối lượng tính toán sẽ rất lớn. Vậy còn cách nào khác để tìm ma trận nghịch đảo? Phương pháp biến đổi sơ cấp Giả sử A có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể thực hiện các bước sau:  Ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào bên phải ma trận A. Làm như vậy ta được một ma trận cấp ࢔ × ૛࢔ ࡭ ࡱ ࢔×૛࢔  Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ véc tơ dòng (không được biến đổi cột) ta có thể biến đổi ma trận trên về dạng: ࡱ ࡮ ࢔×૛࢔ Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A: ࡮ = ࡭ି૚ Lưu ý 1: Nếu A là ma trận vuông suy biến thì các phép biến đổi hệ véc tơ dòng sẽ không thể biến đổi A thành ma trận đơn vị được, vì khi đó hệ véc tơ dòng của A PTTT nên sẽ có ít nhất một dòng bị biến đổi bằng 0. Lưu ý 2: Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể ghép thêm vào A ma trận đơn vị E cùng cấp và có thể tùy chọn vị trí đặt theo một trong 4 cách: ࡭ ࡱ , ࡱ ࡭ ࡭ ࡱ , ࡱ ࡭ Chỉ biến đổi trên dòng Chỉ biến đổi trên cột Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng pp biến đổi: ࡭ = ૚ ૙ −૚૛ ૞ ૚ −૛ ૚ ૝ Giải:  Ghép thêm vào bên phải A một ma trận đơn vị cấp 3: ࡭ ࡱ = ૚ ૙ −૚૛ ૞ ૚ −૛ ૚ ૝ ૚ ૙ ૙ ૙ ૚ ૙ ૙ ૙ ૚  Biến đổi sơ cấp trên hệ véc tơ dòng: ⟶ ૚ ૙ −૚ ૙ ૞ ૜ ૙ ૚ ૛ ૚ ૙ ૙ −૛ ૚ ૙ ૛ ૙ ૚ ⟶ ૚ ૙ −૚ ૙ ૚ ૛ ૙ ૞ ૜ ૚ ૙ ૙ ૛ ૙ ૚ −૛ ૚ ૙ ⟶ ૚ ૙ −૚ ૙ ૚ ૛ ૙ ૙ −ૠ ૚ ૙ ૙ ૛ ૙ ૚ −૚૛ ૚ −૞ Đs: ࡭ି૚ = ૚ ૠ ૚ૢ −૚ ૞ −૚૙ ૛ −૜ ૚૛ −૚ ૞ BTTT: Tìm ma trận nghịch đảo của A: ࡭ = ૚ ૙ ૚−૚ ૛ ૚ −૚ ૙ ૚ ૙ ૚ −૚ −૛ ૚ ૚ ૚ 3. Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận. Cho A là ma trận vuông không suy biến cấp n Bài toán 1: “Tìm ma trận X thỏa mãn: AX = B (1)” (B: là ma trận cấp ܖ × ࢖ cho trước) Phương pháp giải: Do A không suy biến nên tồn tại ࡭ି૚ . Nhân hai vế PT trên với ࡭ି૚ vào bên trái ta được: ࢄ = ࡭ି૚࡮ Vậy PT có nghiệm duy nhất Bài toán 2: Tìm ma trận Y thỏa mãn: YA = C (2) (C: là ma trận cấp ܙ × ࢔ cho trước) Phương pháp giải:Tương tự Bài toán 1: Nhân hai vế PT trên với ࡭ି૚ vào bên phải ta được: ࢅ = ࡯࡭ି૚ Ví dụ: Cho hai ma trận ࡭ = ૚ ૙ −૚૛ ૞ ૚ −૛ ૚ ૝ ࡮ = ૚ ૙ −૚૜ ૛ ૙ −૛ ૙ ૚ Tìm các ma trận X, Y thỏa mãn: ࡭ࢄ = ࡮, ࢅ࡭ = ࡮ Giải: Ta có: ࢊ = det (࡭) = ૠ ࡭∗ = ૚ૢ −૚ ૞−૚૙ ૛ −૜ ૚૛ −૚ ૞ Như vậy: ࢄ = ࡭ି૚࡮ = ૚ ࢊ ࡭∗࡮ ⟹ ࢄ = ૚ ࢊ ࡭∗࡮ ࡭∗࡮ = ૚ૢ −૚ ૞−૚૙ ૛ −૜ ૚૛ −૚ ૞ ૚ ૙ −૚ ૜ ૛ ૙ −૛ ૙ ૚= ૟ −૚૛ −૚૝૛ ૝ ૠ −૚ −૛ −ૠ ࢄ = ૚ ૠ ૟ −૚૛ −૚૝ ૛ ૝ ૠ −૚ −૛ −ૠ Tương tự: ࢅ = ૚ ૠ ૠ ૙ ૙ ૜ૠ ૚ ૢ −૛૟ ૚ −૞ Chú ý: Trường hợp A không có ma trận nghịch đảo (A không vuông hoặc |A| = 0). Khi đó, để giải các phương trình (1), (2) ta làm như sau:  Kiểm tra xem có tồn tại ma trận X (hoặc Y) có cấp phù hợp?  Trong trường hợp tồn tại X (hoặc Y) có cấp phù hợp, ta xác định cấp của ma trận phải tìm.  Xem các phần tử của ma trận phải tìm là các ẩn số và chuyển sang hệ tuyến tính để giải. Ví dụ: Cho hai ma trận: ࡭ = ૛ −૚ −૟ ૜ ,࡮ = ૚ ૚ −૛ −૜ −૜ ૟ Giải các PT: AX = B và YA = B Giải:  Tồn tại ma trận X có cấp ૛ × ૜ ࢞૚ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ ࢞૞ ࢞૟  Ta có: ࡭ࢄ = ࡮⟺ ૛ −૚ −૟ ૜ ࢞૚ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ ࢞૞ ࢞૟ = ૚ ૚ −૛ −૜ −૜ ૟ ⟺ ૛࢞૚ − ࢞૝ = ૚ ૛࢞૛ − ࢞૞ ૛࢞૜ − ࢞૟ −૟࢞૚ + ૜࢞૝ −૟࢞૛ + ૜࢞૞ ==== ૚ −૛ −૜ −૜ −૟࢞૜ + ૜࢞૟ = ૟ ⟺ ቐ ૛࢞૚ − ࢞૝ = ૚ ૛࢞૛ − ࢞૞ = ૚ ૛࢞૜ − ࢞૟ = −૛ ⟺ ࢞૚ = ૚ + ࢻ૛ ࢞૛ ࢞૜ ࢞૝ ࢞૞ ==== ૚+ ࢼ ૛ −૛+ ࢽ ૛ ࢻ ࢼ ࢞૟ = ࢽ  Không tồn tại ma trận Y thỏa mãn bài toán vì nếu ngược lại, thì số cột A = số cột B (Vô lý) ..24 .. Bài 5: Hạng của ma trận Các nội dung chính:  Khái niệm hạng của ma trận.  Liên hệ với các định thức con.  Các phương pháp tìm hạng.  Khảo sát hệ véc tơ nhờ vào hạng. 1 Bài 5: Hạng của ma trận  Khái niệm hạng của ma trận. Trước tiên ta chú ý: ࡭࢓×࢔ ૚ି૚ ࡭૚ࢊ,࡭૛ࢊ, ,࡭࢓ࢊ ࡭࢓×࢔ ૚ି૚ ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ Hệ véc tơ dòng 2 Định nghĩa: Hạng của ma trận A là hạng của hệ véc tơ cột của nó. Ký hiệu là: r(A), hay rank(A) ࢘ ࡭ = ࢘ ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢔ࢉ Nhận xét:  ૙ ≤ ࢘(࡭࢓×࢔) ≤ ࢓࢏࢔ ࢓,࢔ Hạng ma trận không vượt quá số dòng và số cột của nó 3  ࢘ ࡭ = ࢘ ⟺ ൜ ∘ Trong A tồn tại ܚ cột ĐLTT ∘ Các cột còn lại của A bdtt qua ܚ cột đó Ví dụ: Xét ma trận: ࡭ = ૚ ૛ ૜૚ −૜ −૛ ૛ −૚ ૚ −૚ ૝ ૜ ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ ĐLTT? ࡭૜ ࢉ = ࡭૚ࢉ + ࡭૛ࢉ , ࡭૝ࢉ = ࡭૚ࢉ − ࡭૛ࢉ ൡ ⟹ ࢘ ࡭ = ૛ 4  Liên hệ giữa hạng ma trận và các định thức con. Khái niệm định thức con của ma trận: Cho ma trận ࡭ = ࢇ࢏࢐ ࢓×࢔ Lấy số tự nhiên ܛ ≤ ࢓࢏࢔ ࢓,࢔ Xét s dòng: ࢏૚, ࢏૛, , ࢏࢙ và s cột: ࢐૚, ࢐૛, , ࢐࢙ 5 Lập ma trận vuông cấp s bằng cách giữ lại s dòng và s cột đã chọn. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp s của ma trận A và được ký hiệu là: ࡰ࢏૚,࢏૛,,࢏࢙࢐૚,࢐૛,,࢐࢙ Số lượng: ࡯࢓࢙ .࡯࢔࢙ ⟶ Chỉ số cột ⟶ Chỉ số dòng 6 Ví dụ: Cho ma trận ࡭ = ૜ ૛ −૚૞ ૢ ૙ −૛ ૠ ૚ ૝ ૜ −૟  Các định thức con cấp 1: (SL: ࡯૜૚.࡯૝૚ = ૚૛) ࡰ૚ ૚ = ࢇ૚૚ = ૜, ,ࡰ࢏࢐ = ࢇ࢏࢐  Các định thức con cấp 2: 7 ࡭ = ૜ ૛ −૚૞ ૢ ૙ −૛ ૠ ૚ ૝ ૜ −૟ (SL: ࡯૜૛.࡯૝૛ = ૚ૡ) ࡰ૚૛ ૚૛ = ૜ ૛ ૞ ૢ = ૚ૠ, ࡰ૚૛ ૛૝ = ૛ ૝ ૢ ૜ = −૜૙,  Các định thức con cấp 3: 8 ࡭ = ૜ ૛ −૚૞ ૢ ૙ −૛ ૠ ૚ ૝ ૜ −૟ (SL: ࡯૜૜.࡯૝૜ = ૝) ࡰ૚૛૜ ૚૛૜ = ૜ ૛ −૚૞ ૢ ૙ −૛ ૠ ૚ = −૜૟, 9 ࡭ = ૜ ૛ −૚૞ ૢ ૙ −૛ ૠ ૚ ૝ ૜ −૟ ࡰ૚૛૜ ૚૛૝ = ૜ ૛ ૝૞ ૢ ૜ −૛ ૠ −૟ = ૜૞, 10 Định lý: r(A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 (của A). Tức là: ࢘ ࡭ = ࢘ ⟺ ቊ ° Tồn tại định thức con cấp ܚ: D ≠ 0 ° Mọi định thức con cấp > ܚ của A đều bằng 0 Lưu ý: Điều kiện thứ 2 ⟺ “Mọi định thức con cấp ࢘ + ૚ của A đều bằng 0” 11 HD: Xét ma trận: ࡭ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ࢇ૛૚⋯ ࢇ૛૛⋯ ⋯⋯ ࢇ࢓૚ ࢇ࢓૛ ⋯ ࢇ૚࢔ ࢇ૛࢔ ⋯ ࢇ࢓࢔ Giả sử r là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử: 12 ࡰ = ࡰ૚૛࢘૚૛࢘ = ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ࢇ૛૚⋯ ࢇ૛૛⋯ ⋯⋯ ࢇ࢘૚ ࢇ࢘૛ ⋯ ࢇ૚࢘ ࢇ૛࢘ ⋯ ࢇ࢘࢘ ≠ ૙ Từ đây ta sẽ chứng minh: hệ véc tơ ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢘ࢉ là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. Thật vậy, 13  Hệ véc tơ ࡭૚ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢘ࢉ là ĐLTT (Vì nếu nó PTTT thì ta suy ra các cột của D cũng PTTT, suy ra ࡰ = ૙ ⟶ Vô lý)  Bây giờ ta chứng minh: Các cột khác của A bdtt qua r cột đầu là xong. 14 Ta lập định thức cấp ࢘ + ૚ ∆࢏= ࢇ૚૚ ࢇ૚૛ ⋯ࢇ૛૚⋯ ࢇ૛૛⋯ ⋯⋯ ࢇ࢘૚ ࢇ࢏૚ ࢇ࢘૛ ࢇ࢏૛ ⋯ ⋯ ࢇ૚࢘ ࢇ૛࢘ ⋯ ࢇ࢘࢘ ࢇ࢏࢘ ࢇ૚ࢎ ࢇ૛ࢎ ⋯ ࢇ࢘ࢎ ࢇ࢏ࢎ(࢏ = ૚,૛, ,࢓; ࢐ = ࢘ + ૚, ,࢔) Nhận xét: ∆࢏= ૙∀࢏ = ૚,૛, ,࢓. Vì nếu: ࢏ = ૚, ࢘ thì ∆࢏= ૙ vì có 2 dòng giống nhau. 15 Còn nếu: ࢏ = ࢘ + ૚,࢓ thì ∆࢏= ૙ vì là định thức con cấp > r. Khai triển định thức trên theo dòng cuối, ta được: ࢇ࢏૚ࡲ૚ + ࢇ࢏૛ࡲ૛ + ⋯+ ࢇ࢏࢘ࡲ࢘ + ࢇ࢏ࢎࡰ = ૙ ࡲ࢐(࢐ = ૚,૛, , ࢘):là phần bù đại số của ࢇ࢏࢐ của ∆࢏. Do ࡰ ≠ ૙. Nên từ đây ta suy ra: 16 ࢇ࢏ࢎ = − ࡲ૚ࡰ ࢇ࢏૚ − ࡲ૛ࡰ ࢇ࢏૛ −⋯− ࡲ࢘ࡰ ࢇ࢏࢘(࢏ = ૚,૛, ,࢓) Cho i chạy từ 1 đến m, ta được: ࡭ࢎ ࢉ = ࢻ૚࡭૚ࢉ + ࢻ૛࡭૛ࢉ + ⋯+ ࢻ࢘࡭࢘ࢉ ࢻ࢏ = −ࡲ࢏ࡰ Như vậy, ta đã chứng minh được: • r cột đầu của A ĐLTT. • Các cột còn lại bdtt qua r cột đầu. Tức là ta có (đpcm) 17 Nhận xét: Như vậy: Nếu ࡰ૚૛࢘૚૛࢘ ≠ ૙ là định thức con cấp cao nhất của A thì: ࡭૚ ࢉ ,࡭૛ࢉ , ,࡭࢘ࢉ là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. Bằng cách tương tự, ta chứng minh được: Nếu ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢘࢐૚࢐૛࢐࢘ ≠ ૙ là định thức con cấp cao nhất của A thì: ࡭࢐૚ ࢉ ,࡭࢐૛ࢉ , ,࡭࢐࢘ࢉ là cơ sở của hệ véc tơ cột của A. 18 Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận: ࢘ ࡭ = ࢘(࡭′) Hệ quả 2: ࢘ ࡭ = ࢘(࡭૚ࢊ,࡭૛ࢊ, ,࡭࢓ࢊ ) Hệ quả 3: ࢊ = ࡭ = ૙ ⟺ hệ véc tơ dòng (cột) của nó PTTT Chú ý 1: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của A được gọi là định thức con cơ sở của A. r(A)= hạng hệ véc tơ dòng 19 Mệnh đề: Nếu ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢘࢐૚࢐૛࢐࢘ ≠ ૙ là định thức con cơ sở của A thì:  ࡭࢐૚ ࢉ ,࡭࢐૛ࢉ , ,࡭࢐࢘ࢉ là cơ sở của hệ véc tơ cột của A.  ࡭࢏૚ ࢉ ,࡭࢏૛ࢉ , ,࡭࢏࢘ࢉ là cơ sở của hệ véc tơ dòng của A. 20 Chú ý 2: Ta có khái niệm định thức con bao quanh: Cho ࡰ là một định thức con cấp s của A (࢙ < ࢓࢏࢔ ࢓,࢔ ) ࡰ = ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢙࢐૚࢐૛࢐࢙ ୆ổ ୱ୳୬୥ ୲୦ê୫ ୢò୬୥ ୧,ୡộ୲ ୨ ୡủୟ ୅ ୬୥୭à୧ ୡáୡ ୢò୬୥, ୡáୡ ୡộ୲ đã ୡ୦ọ୬ ࡰഥ = ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢙࢏࢐૚࢐૛࢐࢙࢐ Định thức con cấp s+1 bao quanh D 21 Lưu ý: • Tổng số các định thức con cấp ࢙ + ૚ của A là: ࡯࢓࢙ା૚.࡯࢔࢙ା૚ • Tổng số các định thức con cấp ࢙ + ૚ bao quanh D của A là: ࢓− ࢙ ࢔ − ࢙ Số lượng này ít hơn các định thức con cấp s+1 22 Ví dụ 3: Cho ࡭ = ࢇ࢏࢐ ૜×૝ và ࡰ = ࡰ૚૛૚૜. Có bao nhiêu định thức con cấp 3 bao quanh D, tìm công thức xác định chúng. C:3; ࡰ૚૛૜ ૚૛૜,ࡰ૚૛૜૚૜૝,ࡰ૚૛૜૛૜૝ B:3; ࡰ૚૛૜ ૚૛૜,ࡰ૚૛૜૚૛૝,ࡰ૚૛૜૛૜૝ D: 2; ࡰ૚૛૜ ૚૛૜,ࡰ૚૛૜૚૛૝ 50:50 A: 2; ࡰ૚૛૜ ૚૛૜,ࡰ૚૛૜૚૜૝ 23 Mệnh đề: Nếu trong ma trận A • Có một định thức con ࡰ ≠ ૙,cấp s. • Mọi định thức con cấp ࢙ + ૚ bao quanh nó đều bằng 0 ⟹ ࢘ ࡭ = ࢙ Định lý này được chứng minh hoàn toàn tương tự như định lý vè mối quan hệ giữa hạng và các định thức con (xem như một Bài tập) 24 Các phương pháp tìm hạng của ma trận: • Phương pháp định thức bao quanh: Bước 1: Xuất phát từ một định thức con khác 0, cấp s (của A): ࡰ ≠ ૙. Ta tính các định thức con cấp s+1 bao quanh D. 25  Nếu tất cả các định thức con cấp s+1 bao quanh D đều bằng 0, thì r(A) = s.  Nếu gặp một định thức con cấp s+1 bao quanh khác 0: ࡰഥ ≠ ૙, ta chuyển ngay sang Bước 2. Bước 2: Lặp lại Bước 1 (với điểm xuất phát mới là ࡰഥ) 26 Ví dụ 1: Tìm r(A), với: ࡭ = ૞ −૜ ૛−૚ ૝ −૟ ૢ −૛ −૛ ૚ ૞ ૠ Giải: • Xét: ࡰ = ࡰ૚૛૚૛ = ૞ −૜−૚ ૝ = ૚ૠ ≠ ૙ • Có 2 định thức con cấp 3 bao quanh D là: ࡰ૚૛૜૚૛૜, ࡰ૚૛૜૚૛૝ 27 ࡭ = ૞ −૜ ૛−૚ ૝ −૟ ૢ −૛ −૛ ૚ ૞ ૠ • Ta có: ࡰ૚૛૜૚૛૜ = ૞ −૜ ૛−૚ ૝ −૟ ૢ −૛ −૛ = ૙ , ࡰ૚૛૜ ૚૛૝ = ૞ −૜ ૚−૚ ૝ ૞ ૢ −૛ ૠ = ૙. • Vậy tất cả các định thức con cấp 3 bao quanh D đều bằng 0. Do đó, r(A) = 2 28 Ví dụ 2: Tìm r(A), với: ࡭ = −૚ ૛ ૜−૚ ૞ ૞ ૛ −૚ −૝ ૚ ૚ −૛ −૛ ૝ ૜ Giải: • Xét: ࡰ = ࡰ૚૛૚૛ = −૚ ૛−૚ ૞ = −૜ ≠ ૙ • Có 3 định thức con cấp 3 bao quanh D là: ࡰ૚૛૜૚૛૜, ࡰ૚૛૜૚૛૝, ࡰ૚૛૜૚૛૞. 29 • Ta có: ࡰ૚૛૜૚૛૜ = −૚ ૛ ૜−૚ ૞ ૞ ૛ −૚ −૝ = ૙, ࡰ૚૛૜ ૚૛૝ = −૚ ૛ ૚−૚ ૞ ૚ ૛ −૚ −૛ = ૙, ࡰ૚૛૜ ૚૛૞ = −૚ ૛ −૛−૚ ૞ ૝ ૛ −૚ ૜ = ૚૝ ≠ ૙. • Vậy r(A) = 3 30 Ví dụ 3: Tùy theo m tìm r(A), với: ࡭ = ૚ −૛ ૚−૚ ࢓ −૚૛ ૜ ૛ ૚ −૛ ૚ ૚ ૛ ૝ ૜ Giải: • Xét: ࡰ = ࡰ૜૝૚૛ = ૛ ૛૜ ૚ = −૝ ≠ ૙ • Có 4 định thức con cấp 3 bao quanh D là: ࡰ૚૜૝૚૛૜, ࡰ૚૜૝૚૛૝, ࡰ૛૜૝૚૛૜, ࡰ૛૜૝૚૛૝ 31 ࡭ = ૚ −૛ ૚−૚ ࢓ −૚૛ ૜ ૛ ૚ −૛ ૚ ૚ ૛ ૝ ૜ • ࡰ૚૜૝૚૛૜ = ૚ −૛ ૚૛ ૛ −૛ ૜ ૚ ૚ = ૚૟ ≠ ૙ • Có một định thức con cấp 4 bao quanh ࡰ૚૜૝૚૛૜ là ࡰ૚૛૜૝૚૛૜૝ = ࡭ =? 32 ࡭ = ૚ −૛ ૚−૚ ࢓ −૚૛ ૜ ૛ ૚ −૛ ૚ ૚ ૛ ૝ ૜ = ૝࢓ + ૝૙ Có hai trường hợp xảy ra: • ࡭ = ૙ ⟺ ૝࢓ + ૝૙ = ૙ ⟺ ࢓ = −૚૙ ⟹ ࢘ ࡭ = ૜ • ࡭ ≠ ૙ ⟺ ૝࢓ + ૝૙ ≠ ૙ ⟺ ࢓ ≠ −૚૙ ⟹ ࢘ ࡭ = ૝ 33 Phương pháp biến đổi Như chúng ta đã biết các phép biến đổi sơ cấp trên hệ véc tơ dòng hoặc hệ véc tơ cột của ma trận không làm thay đổi hạng của hệ véc tơ đó. Do đó chúng không làm thay đổi hạng của ma trận. 34 Phương pháp biến đổi ࡭ ୆୧ế୬ đổ୧ ୱơ ୡấ୮ ୲୰ê୬ ୦ệ ୴éୡ ୲ơ ୢò୬୥ ୦୭ặୡ ୡộ୲ B = ࢈૚૚ ࢈૚૛ ⋯ ࢈૛૛ ⋯ ⋯ ⋯ ࢈૚࢙ ࢈૛࢙ ⋯ ࢈࢙࢙ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ࢈૚࢔ ࢈૛࢔ ⋯ ࢈࢙࢙ (࢙ ≤ ࢔,࢈࢏࢏ ≠ ૙ ∀࢏ = ૚,૛, , ࢙) ⟹ ࢘ ࡭ = ࢘ ࡮ = ࢙ ..35.. Khác 0 Ví dụ 1: Tìm r(A) bằng phương pháp biến đổi, với ࡭ = −૛ ૚ ૛૜ −૜ ૚ −૞ ૝ ૚ ૜ −૝ ૠ Giải: ࡭ 1 Để tìm hạng của ma trận? Khi nào dùng phương pháp định thức bao quanh? Khi nào dùng phương pháp biến đổi ?? 3 Định lý 1: Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp࢓ × ࢔ thì ࢘ ࡭ + ࡮ ≤ ࢘ ࡭ + ࢘(࡮) Định lý 2: ࢘ ࡭࡮ ≤ ࢘ ࡭ ࢘ ࡭࡮ ≤ ࢘ ࡮ ∀࡭,࡮ mà AB có nghĩa. 4 Lời: ?? Ví dụ: Cho hai ma trận: ࡭ = ૚ ૛−૚ ૜ ૜ ૞ ,࡮ = ૚ ૛ −૚૙ −૚ ૝ ૙ ૙ ૛ Có tồn tại ma trận X thỏa mãn: ࡭ࢄ = ࡮ ? Giải. • Dễ thấy: r(A) = 2, r(B) = 3 • Giả sử, tồn tại X thỏa mãn: AX = B 5 ⟹ ૜ = ࢘ ࡮ = ࢘ ࡭ࢄ ≤ ࢘ ࡭ = ૛ (vô lý). • Vậy ∄ࢄ thỏa mãn: AX = B 4. Khảo sát hệ véc tơ thông qua tìm hạng của ma trận Cho hệ véc tơ n chiều: ࢄ૚,ࢄ૛, ,ࢄ࢓ Hãy khảo sát hệ véc tơ trên, tức là:  Tìm hạng của hệ véc tơ đó.  Xét sự PTTT & ĐLTT. 6  Tìm một cơ sở của hệ véc tơ đó. Các bước thực hiện: Bước 1: Lập ma trận A có các dòng tương ứng là các véc tơ trên: ࡭ = ࢄ૚ ⟶ ⋯ࢄ૛ ⋯ ⟶ ⋯ ⋯ ⋯ ࢄ࢓ ⟶ ⋯ 7Xếp mỗi véc tơ thành 1 dòng Bước 2: Tìm r(A) = r, từ đó: • ࢘ ࢄ૚,ࢄ૛, ,ࢄ࢓ = ࢘ • Nhận biết sự PTTT & ĐLTT Nếu r = m ⟶ Hệ véc tơ ĐLTT Nếu r < m ⟶ Hệ véc tơ PTTT • Tìm một cơ sở của hệ véc tơ: Từ r(A) = r, chọn một định thức con cơ sở của A (khác 0, cấp r) 8 ࡰ = ࡰ࢏૚࢏૛࢏࢘࢐૚࢐૛࢐࢘ ≠ ૙ Cơ sở của ࢄ૚,ࢄ૛, ,ࢄ࢓ là ࢄ࢏૚ ,ࢄ࢏࢘ , ,ࢄ࢏࢘ Chú ý: Ở bước 1 ta có thể xếp mỗi véc tơ thành một cột để được A. Khi đó, trong bước 2, khi kết luận cơ sở của hệ véc tơ ta phải chọn các véc tơ có cùng chỉ số cột với định thức con cơ sở D. 9 Ví dụ: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ véc tơ sau: ࢄ૚ = ૚, −૜, ૛ ࢄ૛ ࢄ૜ == ૛, ૞, ૝૞, ૠ, ૚૙ ࢄ૝ = ૚, −૚૝, ૛ Giải.  Xếp mỗi véc tơ thành một cột để được ma trận A: 10