Toán học - Bài 3: Giới hạn hàm số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1 HK1 0708BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ (SINH VIÊN)TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2007) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 2- ĐỊNH NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY. KHÔNG GIỚI HẠNÝ TƯỞNG GIỚI HẠN--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm y = f(x), MXĐ Dx0  Giá trị f(x0)?VD: f(x) = lnx & x0 = –1 VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0  D Gtrị quanh 0:Tương tự:MINH HỌA HÌNH HỌC-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đồ thị hàm: Chú ý lân cận x0 = 0: f(0) không xác định, nhưng giá trị f(x) lại “rất gần” 1 khi x “rất gần” 0  Đồ thị liên tục. Có thể xem “f(0)” = 1 ???Cần công cụ xác định giá trị hữu hạn “f(x0)” tại x0  D: Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể không xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x  x0  Giá trị f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu: VD: Đoán (không chứng minh) giới hạnGiải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1x1f(x)1.50.4000001.10.4761901.010.4975121.0010.4997501.00010.499975Từ bảng giá trị, có thể phỏng đoán: GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x  1y=f(x)y=g(x)Giá trị f tại x0 (có hay không có) không ảnh hưởng đến GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ:Gợi ý: TínhSAI!Tuy nhiên từ đồ thị hàmcũng như giá trị hàm tạiCó vô số giá trị x gần 0 tùy ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL: Giới hạn đang xét không !ĐOÁN – KHÔNG CHẮC CHẮN 100%! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LMinh họa hình học:Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g  | f – g |     > 0. x “đủ gần” x0:   > 0 và xét | x – x0 | M M & B  –  B x0 (tức x  x0 từ bên phải)Minh họa:Mệnh đề:VD: Không tồn tạivìGIỚI HẠN MỘT PHÍA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x  a. Khi đóGIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x)b/ Tính giá trị các giới hạn sau nếu chúng tồn tạiy=f(x)y=g(x)a/ Các giới hạn sau liệu có tồn tại hay không:Giải: a/b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho n  N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1 công thức chứa các hàm cơ bản & a  Df  Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Tìm các giới hạn Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x  :Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định): b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!): VÍ DỤ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ngôn ngữ “dãy”: VD: Chứng minh không có giới hạn:Nhận xét: Tương tự dùng dãy con chứng minh dãy phân kỳa/ 2 dãy:b/ 2 dãy ???Đừng nhầm lẫn với ví dụ sau. Chứng minh không Không có giới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh không  lim): GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mũ, ln:Lượng giácDạng 1 : Sử dụng số eCách 1: Dùng số e. Cách 2: Lấy ln 2 vếVD: Kỹ thuật:QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng vô định: 0/0, /,  – , 0., 1 , 00  Biến đổi về x/địnhPhương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô cùng bé tương đươngNguyên tắc Lôpitan: Tính giới hạn (tồn tại) dạng 0/0, / Chú ý : Đơn giản hoá biểu thứcVD: Tính Không dùng được Lôpitan khi giới hạn không .GIỚI HẠN KẸP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giới hạn kẹpHệ quả:VD: Tìm các giới hạn:Giải: a/ Không  b/ Kẹp c/ Đặc biệt:VD: Chứng minh