Bài tập môn Toán cao cấp 3: Phương trình vi phân - Ngô Mạnh Tưởng

Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 1 BÀI TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1.    2 2 2 2 0y xy dx x yx dy    2.  2 21 1 x y x x      3.  2 22 1 0y y y dx x dy    4.    2 2 2 1 1 1 dy x x dx x x      5. 2 1 1y y    6.    2 21 1 0x yy e dx e dy y dy       7.     2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 xy y x dx x y xy x y x dy            8. cos 2 sin 0y y y   9. cos sin 1 cos sin 1 y y y x x       10. 1x yy e    11.   2 4 1y x y    12. 1 1y x y     13. 2 2y x y x    14. 2 22 1y x xy y     15. 1 1 y x y     16. 4 2 1y x y    17. 2 22y y xy x     18.    2 2 2 4 41 0y x y y x y     19. 2 2 2 y y x    20.       1 m n p x y y x y x y       1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 21. 2 2xdy ydx x y dx   22. y xxy y xe   23. cos ln y xy y x         24. sin y y y x x    , với  1 2 y   25.    1 ln ln , 1xy y y x y e     26.   ln x y xy y x y x     27. cos cos 0 y y x y dx x dy x x         28. 2 22 0xyy x y    29. 2 2 2 2(3 ) ( ) 0x y y y x xy    30.  2 2 2 22 ( 2 ) 0x xy y dx y xy x dy      31. 2 2 22 2 2 4 dx dy x xy y y xy     32.    2 1 4 2 3 0x y dx x y dy      33.    2 22 0x x y dx x y dy    34. dx dy y x y x    35.    1 2 0x y y x y      36.    2 4 6 3 0x y dx x y dy      37.    2 2 4 0y dx x y dy     38. 2 2y x y xyy   39. 2 2 23 2 0x y xyy y    40.   2 2xy y yy   Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 2 1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. 2 arctanxy y x x   42. 2 2 2(1 ) 2 (1 )x y xy x    43. 2 2 xy xy xe   44.    2 21 1 2 0x x y x y x     45. sin 1 cosy x y x    46. 3y xy x   47.  2 0x y dx xdy   48.  2 2 3 , 1 1y y y x x     49. 1 2 1 xy y x     50.    2 1 3 4 2 1 0x x y x y x x      51. 2 sinxy y x x   52. 2cos tany x y x   thỏa mãn điều kiện y(0)=0. 53. 21 arcsiny x y x    thỏa mãn điều kiện y(0) =0. 54.  2sin cot 1y x y y  55.  2 1ye x y  56.  1 2xy y ( 1)y y  57. 2 1 0 2 y x y     58.  3 2 y yye y y xe 1.4 Giải các phương trình Becnuli 59. 2 lnxy y y x   60. 2 33 1y y ay x    61.  2 2 2 2 2( 1) 0x y x y dx y dy      62.  2x y y x y   63.  y xy dx xdy  64. y x y x y    65. 2 2 2 cos y y y x x    66. 22 4xy x y y   67. 2xyy y x   ( là tham số) 68. 21 x yy e    69. tan cos x y y y    70.   2yx e y  71.  2 31 sin 2 cos 2 2x y y x y x x    72. 2 2 2 cos y x ydx xdy dy y   thỏa mãn điều kiện  0y   . 73.  2 22 2x y y xy y   (coi x = x(y)) 74.  2 3 1xy x y y  75. 3 sin ' 2y x y xy y   1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần 76.  2 22 1 0x x y dx x ydy     . 77.  4 3 2 2ln 2 3 0x x xy dx x y dy   . 78.  2 2 3 0y dx xy dy   79.  22 2 2 0x xe x y dx e ydy    80.    2cos sin cos sin 1y x x dy y x y x dx   81.    2 2 32 3 3x x y dx y x dy   82. 2 2 2 1 sin cos 1 1 1 cos sin 0 x y y dx y y x x y x x dy x x y y y                  83.    2cos sin 1 sin cos 0y x y x dx x y x dy    84. 1 0 x x y y xx e dx e dy y                thỏa mãn điều kiện y(0) = 2. Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 3 85.     3 2 2 221 3 1 0y dx y xy y dy     86.  2 2 1 cos 2 0 sin 2sin x yx dx y y         87.    sin cos 0x xy e y dx x e y dy    88.    sin cos sin 0x y dx x y y dy    89. 3 23 (1 ln ) 2 x x y dx y dy y         90.   2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 ln 0 y x y dx x x x y x dy            91.  2 2 1 cos 2 sin 2sin x yx dx dy y y        92.  2 2 2 cos 2 ln 2 2 sin 2 0 y x y dx x y x dy y y            93.     2 2 4x y xdy ydx a x x dx    (thừa số tích phân) 94.    cos sin sin cos 0x y y y dy x y y y dx    .(thừa số tích phân) 95. Tìm hằng số a để  2 21 sin 2 cosy x dx ay xdy  là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải phương trình vi phân  2 21 sin 2 cos 0y x dx ay xdy   với a tìm được. 1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. 3' 1xy y  . 97. 2.yy e y  . 98. 1 2 'yy x e  , coi x là hàm, y là biến. 99.  1 cosy y y y    . 1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100. 2 siny xy y   . 101. 2 32y y x y y   102. 2 1y x y y     103. lnxy y y   . 104.  22 1y y xy   . 105. 32 ' 'y xy y  Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 106. 2 2 1y x   107.  2 4 1y y   thoả mãn các điều kiện ban đầu: a) 0 , 2 0y y khi x   . b) 0, 1 0y y khi x   . 108.  2 21 1 0x y y     109.  21y y ay    . 110.  2 21 3 0y y y y      111. 2 21 yy yy y x      dạng thuần nhất, 112. 2yy y  . 113. 2 1 1 1y y y x x     114. 2 2 2 2 2 yy y y y y y x       115. yy y e  116.   21y y y y     117. 2 1yy y   118. 22 1xy y y    119.     2 1x y x y y     120.   2 cos siny y y y y    121. y y y  Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 4 122. 2xy y x   123. 2y yy yy    124. xy y x   2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125. 2 32 cosx y y x x   , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 2 126. Giải phương trình 2 cot gx y y y x x     biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sin x y x  127. Giải phương trình vi phân:  2 1 2x x y y  biết một nghiệm 1 1 1y x   128. Giải phương trình vi phân   0y2y1x 2  nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 129. Giải phương trình vi phân     22 1 2 1 2x y x y y x x       biết nó có hai nghiệm riêng 2 2 1 2 4 1 1 2 2 x x x y y      130. Xác định hằng số  sao cho 2xy e là nghiệm riêng của phương trình vi phân  24 4 2 0y xy x y     . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 131. Giải phương trình 2 cotxy y xy x    biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng 1 sin x y x  132. Giải phương trình 2 3' 4x y xy y x    , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 133. Giải phương trình 2'xy y x   134. Giải phương trình 1 ' 1 1 1 x y y y x x x        , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 xy e 135. Giải phương trình  2 ln 1 ' 0x x y xy y    , biết một nghiệm riêng có dạng ,y x  là hằng số. 136. Tìm nghiệm riêng của phương trình      2 22 2 ' 2 1 0x x y x y x y      thỏa mãn    '1 0, 1 1y y  , biết một nghiệm riêng của nó là xy e 137. Giải phương trình    22 2 1 ' 2 2x x y x y y      , biết nó có hai nghiệm riêng là 1 21,y y x  138. Giải phương trình 2 2 2 1 ' 1 1 x y y x x      , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 1y  139. Giải phương trình    2 1 4 2 ' 8 0x y x y y     , biết một nghiệm riêng có dạng ,axy e   Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 5 140. Tìm nghiệm riêng của phương trình 2 2 2 2 ' 1 1 x y y y x x       thỏa mãn    3 22, ' 1005 2000y y  , biết một nghiệm riêng của nó là 1y x 141. Giải phương trình 2 32 ' 2 cosx y xy y x x    , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x 142. Giải phương trình  21 2 ' 2x y xy y x    , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x 143. Giải phương trình 2 2 2 2 2 1 ' 1 1 1 x y y y x x x        , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y x 144. Giải phương trình 22 ' xe y y y x x     , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 xe y x  145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân  2 23 1 2 6 4 12x xy y xy x      biết rằng nó có hai nghiệm riêng   2 1 22 , 1y x y x   2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146. 13 12 0y y y    . 147. 2 9 18 0y y y y      . 148.  4 0y y  . 149.  4 2 3 2 0y y y y y       . 150.        7 6 5 43 3 0y y y y    . 151. 2 4 cosxy y y e x    152. 2 23 2 3 2xy y y e x     . 153. 2sin 4cosy y x x    . 154. 2 3siny n y nx   . 155. sin sin 2y y x x   . 156. 222 4 xy y x e   có nghiệm riêng 2* xy e . 157. Với những giá trị nào của p và q thì tất cả các nghiệm của phương trình. y py q   giới nội 0x   0, 0p q  . 158. , ?p q  thì tất cả các nghiệm của phương trình 0y py q    là những hàm tuần hoàn của x  0, 0p q  . 159. 2 2 lnx y xy y x x    . 160.     2 2 1 4 2 1 8 8 4x y x y y x        161.  2 1 1 2sin lny y y x x x     . 162.       2 1 1 4cos ln 1x y x y y x       163.  2 24 2 xx y xy x y e     . 164.  sin cosxy y e x x    165.   2 32 1x x xy e y e y e     166. xy y x e    167.  2 2 1xy y y x e     168. 3cos sin cos 0y x y x y x    169. 2 5 29 siny y x x   170. 1 sin y y x    171.   24 2 4 xy y x e    172. 2 cos xe y y y x x      173. 2 xxy y xy e    174. 2tan cos 0y y x y x    175. 2 5 sin 3y y y x x    176. 2(1 ) ( 2) xxy x y x y e      Ngô Mạnh Tưởng - Bài tập Phương trình vi phân 6 177. 4 22 3 xy y y xe x     178. 2 2 2 0 y x y xy x     179. 2 1 xe y y y x      180. 2x y xy y x    181. xy y xe   182. 24 5 cosxy y y e x     183. 2 4 6 0x y xy y    184. 24 4 1 lnxy y y e x     185. 24 8 sin 2xy y y e x     186. 2 sin xe y y y x x       187. 2x xy y xe e    188. 2 cos 3siny y y x x     189. 22 2cosy y x   190. sin cos 2y y x x    Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. Giải các hệ phương trình vi phân 191. 5cos 2 dx y t dt dy x y dt         192. 5 3 0 3 0 dx x y dt dy x y dt           193. 2 4 dx x y dt dy y x dt         194. 3 4 dx x y dt dy y x dt         195. 2 dx x y z dt dy y x z dt dz x z dt               196. 2 2 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y z dt                197. 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y dt               198. dx x z dt dy y z dt dz x y dt             199. 2 1 3 1 2 2 2 1 1 5 2 2 2 dx x y z dt dy x y z dt dz x y z dt                