Chuyên đề: Phương trình vi phân cấp II

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng
Dạng : PTVPTT cấp 2 thuần nhất có dạng: " ' 0ay by cy+ + = , (1) trong đó a, b và c là các hằng số, 0a ≠ .
Mục đích: Tìm nghiệm tổng quát của (1). Cách giải: Xét phương trình đặc trưng: 2 0.ar br c+ + = a. Trường hợp 1: PT đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt
ĐNNH LÝ 1. Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực, phân biệt 1 r và 2 r , khi đó 1 2 1 2 ( ) r x r x y x c e c e= + là một nghiệm tổng quát của phương trình (1). b. Trường hợp 2:Phương trình đặc trưng có nghiệm bội
ĐNNH LÝ 2. Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau 1 2 r r= , khi đó 1 1 2 ( ) ( ) r x y x c c x e= + là nghiệm tổng quát của phương trình (1). c. Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức.
ĐNNH LÝ 3. Nếu phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp a bi± (với 0b ≠ ), khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng : 1 2 ( ) ( cos sin )axy x e c bx c bx= + 2. Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng ● Dạng : PTVPTT cấp hai không thuần nhất có dạng: '' ( ).ay by cy f x′+ + =
≠ 0 (2) TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 1 ● Cách giải: + Trước hết tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng + Tiếp theo phải tìm được một nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): yp(x) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2) có dạng: ( ) ( ) ( ) c p y x y x y x= + Như vậy nhiệm vụ còn lại của chúng ta là phải tìm yp. ● Các phương pháp tìm () a. Phương pháp hệ số bất định Tr−êng hîp 1: ( ) ( )x n f x e P xα= , trong ®ã α lµ h»ng sè vµ () lµ ®a thøc bËc n 1) NÕu α kh«ng lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: ( )x p n y e Q xα= 2) NÕu α lµ nghiÖm ®¬n cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: ( )x p n y xe Q xα= 3) NÕu α lµ nghiÖm kÐp cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: 2 ( )x p n y x e Q xα= Tr−êng hîp 2: ( ) ( )cos ( )sinx n m f x e P x x P x xα β β = +   , trong ®ã (), () lµ c¸c ®a thøc bËc , t−¬ng øng  vµ ,  lµ c¸c h»ng sè. 1) NÕu iα β± kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: ( )cos ( )sinx p l l y e Q x x R x xα β β = +   2) NÕu iα β± lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: ( )cos ( )sinx p l l y xe Q x x R x xα β β = +   víi  = max ( , ). b. Phương pháp biến thiên tham số Giả sử ta đã tìm được nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất tương ứng TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 2 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 cy x c y x c y x= + + Tìm sẽ đi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2) dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 py x u x y x u x y x= + + Để tìm (), () ta đi giải hệ phương trình sau: ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 0, u y u y u y u y f x  ′ ′ + =  ′ ′ ′ ′ + = + Giải hệ tren ta nhận được các hàm 1 2 ( ), ( )u x u x . + Nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . p y x u x y x u x y x= + Và khi đó nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất (2) là:  =  + . 3, Giải bài toán giá trị ban đầu: Xét bài toán   + ! +  = "() (∗) () = $;  () = & (∗∗) ' + Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của PTVP (*) + Ta chỉ lấy các nghiệm thỏa mãn (**) làm nghiệm của bài toán đã cho. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Bài số 1 : Tìm nghiệm tổng quát của các PTVPTT thuần nhất sau 1. " 4 0y y− = 2. − =2 " 3 ' 0y y 3. + − =" 3 ' 10 0y y y 4. − + =2 " 7 ' 3 0y y y 5. + + =" 6 ' 9 0y y y 6. + + =" 5 ' 5 0y y y 7. − + =4 " 12 ' 9 0y y y 8. − + =" 6 ' 13 0y y y 9. + + =" 8 ' 25 0y y y TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 3 Bài số 2 : Giải các bài toán giá trị ban đầu đối với PTVPTT thuần nhất 1. − + = = =" 4 ' 3 0; (0) 7, '(0) 11y y y y y 2. + + = = =9 " 6 ' 4 0; (0) 3, '(0) 4y y y y y 3. − + = = =" 6 ' 25 0; (0) 3, '(0) 1y y y y y Bài số 3 : Tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất sau 1. ′′ + = 316 xy y e 2. ′′ ′− − = +2 3 4y y y x 3. ′′ ′− − =6 2sin 3y y y x 4. ′′ ′+ + =4 4 3 xy y y xe 5. ′′ ′+ + = 2siny y y x 6. ′′ ′+ + = 22 4 7y y y x 7. ′′ − =4 sinhy y x 8. ′′ − =4 cosh2y y x 9. ′′ ′+ − = +2 3 1 xy y y xe 10. ′′ + = +9 2cos 3 3sin 3y y x x 11. ′′ + = +2 39 2 5xy y x e 12. ′′ + = +sin cosy y x x x 13. ′′ ′+ + = sin sin 3y y y x x 14. ′′ + = 49 siny y x 15. ′′ + = 3cosy y x x TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 1 Bài số 4: Sử dụng phương pháp tham số biến thiên để tìm một nghiệm riêng, từ đó suy ra nghiệm tổng quát. 1. ′′ ′+ + =3 2 4 xy y y e 2. −′′ ′− − = 22 8 3 xy y y e 3. ′′ ′− + = 24 4 2 xy y y e 4. ′′ − =4 sinh2y y x 5. ′′ + =4 cos 3y y x 6. ′′ + =9 sin 3y y x 7. ′′ + =9 2sec3y y x 8. ′′ + = 2cscy y x 9. ′′ + = 24 siny y x 10. ′′ − =4 xy y xe Bài số 5: Giải bài toán giá trị ban đầu đối với PTVPTT không thuần nhất sau: 1. ( ) ( )′′ ′+ = = =4 2 ; 0 1, 0 2y y x y y 2. ( ) ( )′′ ′ ′+ + = = =3 2 ; 0 0, 0 3xy y y e y y 3. ( ) ( )′′ ′+ = = =9 sin2 ; 0 0, 0 0y y x y y 4. ( ) ( )′′ ′+ = = = −cos ; 0 1, 0 1y y x y y 5. ( ) ( )′′ ′ ′− + = + = =2 2 1; 0 3, 0 0y y y x y y C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1.(1997) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai: ( − 2( = 2 sin  2.(1999) Giải phương trình: ( − 2( + 5( = /0 cos 2 3.(2000) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ( − 3( = 3 − 1 + 9 sin 3 4.(2001) Giải phương trình vi phân sau: ( − 2( + 10( = /0 + sin 3. TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 2 5.(2002) Giải phương trình vi phân sau: ( + ( = 4 7sin  + 89:. 6.(2003) Giải phương trình vi phân cấp hai sau: ( − 4( = 1 + /0 sin . 7.(2004) Giải phương trình vi phân sau: ( + ( = sin 2 cos 3. 8.(2006) Giải phương trình vi phân sau: ( − 9( + 20( = /;0 . 9.(2007) Giải phương trình vi phân sau: ( + ( − 2 = 2 cos  + 3 cos 2. 10.(2008) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: ( + 4( + 3( = (/<0 − 3). 11.(2009) Giải phương trình vi phân sau: 4( + 4( + ( = 3/0 . 12.(2010-I) Giải phương trình vi phân: ( − 5( + 4( = cos . 13.(2010-II) Giải phương trình vi phân: ( − ( = 2 sin . 14.(2011-I) Giải phương trình vi phân: ( + 2( + ( = −/<0. 15. (2011-II) Giải phương trình vi phân cấp hai: ( − 4( = /0 + sin . 16.(2012-I) Tìm nghiệm của phương trình: '' 4 siny y x+ = thỏa mãn điều kiện (0) 1; '(0) 1.y y= =