Đa thức và những vấn đề liên quan

CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan. Bài 1:Cho 122 & 23 5 23 2        xx b x aQ xx xP . Với những giá trị nào của a,b thì P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng. Giải: Điều kiện: .1,2 x Ta có: P=Q 1,2 23 2)2( 23 5)1,2( 3 2 3 2        x xx baxbaax xx xx                2 1 52 02 1 b a ba ba a Bài 2:Cho số nguyên n, A= n5 - n. a-Phân tích A thành nhân tử. b-Tìm n để A=0. c-CMR: A chia hết cho 30. Giải: a) A= n5 - n = n.(n4 -1) = n.(n-1).(n+1).(n2 + 1) b) A=0 n = 0,1,-1. c) Theo Định Lý Fecma: 55)5(mod 55  Annnn  (1). Lại có: 22)1(  Ann  (2) và: 33)1.().1(  Annn  (3). Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra )5.3.2(A (đpcm). Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3. Giải: Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3 .3, yx Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x4 + 1) chia hết cho đa thức x2 + px + q. Giải: Giả sử (x4 + 1) = (x2 + px + q).( x2 + mx + n) Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:                     q qp qn pm qn qpmn pm 1 1 1 0 0 2 Vậy có thể thấy các giá trị của p,q cần tìm là:        q qp q 1 0 Bài 5:Cho đa thức: 1201547114)( 234  xxxxxA Zx . a)Phân tích A(x) thành nhân tử. b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24. Giải: a).Ta có: 1201547114)( 234  xxxxxA 3 2 2( 2).( 12 47 60) ( 2).( 3).( 9 20)x x x x x x x x          b).Ta có:A(x)=      24 2 )( 12014472)14).(1).(1(  xxxxxx xB -Nếu x chia hết cho 4,x-14 chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4,x+1 chia hết cho 2B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4,x chia hết cho 2B(x) chia hết cho 8. -Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x + 1 chia hết cho 4,x-1 chia hết cho 2B(x) chia hết cho 8. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B(x) chia hết cho 8 (1). Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên (x-1).x.(x+1) chia hết cho 3 B(x) chia hết cho 3 (2). Mà (3,8)=1 nên từ (1) và (2) suy ra B(x) chia hết cho 24. Vậy ta có đpcm. Bài 6:Tìm tất cả các số nguyên x để: x2 + 7 chia hết cho x-2. Giải: Ta có: x2 + 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x- 2.  x-2=-1,-11,1,11. Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra. Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3). Giải: Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b. Ta có: F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia) Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có: F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7. Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1. Vậy đa thức dư là 2x+1. Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a1, a2, a3..., an chia hết cho 3.Chứng minh rằng: A(x) = 33231 ... naaa  cũng chia hết cho 3. Giải: Theo định lý fecma ta có: Znnn  )3(mod3 . Áp dụng ta có: )3(mod131 aa  , )3(mod232 aa  ,..., )3(mod3 nn aa  . Suy ra: 33231 ... naaa  )3(mod0)3(mod...21  naaa Ta có đpcm. Bài 9:Chứng minh rằng (7.5 n2 +12.6 n ) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên. Giải: Ta có: A = 7.52n + 12.6n = 7.25n + 12.6n. Ta có: )19(mod625)19(mod625 nn  .Suy ra: )19(mod0)19(mod6.196.126.7  nnnA . Ta có đpcm. Bài 10: Phân tích thành nhân tử x10 + x5 + 1. Giải: Ta có: x10 + x5 + 1 = (x2 + x + 1).(x8-x7 + x5-x4 + x3-x + 1).