Diện tích lớn nhất và diện tích nhỏ nhất

Tích phân Trần Sĩ Tùng Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S. Phương pháp: § Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức là, ta có: S = g(m). § Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp: + Tam thức bậc hai + Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski. + Sử dụng đạo hàm Chú ý: Các cận α, β thường lấy từ nghiệm x1, x2 là hoành độ giao điểm của (C) và (d). Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong y=+x1x2 , trục Ox và đường thẳng x = 1. Giải: * Đường cong (C) : y=+x1x2 cắt trục hoành Ox khi: x1+x2 =0⇔=x0. * Ta có: x1+x2 ≥∈0,vớimọix[0;1] . Do đó diện tích S cần tìm là: 1 S=+∫x1x2 .dx. 0 * Đặt: u1+x2⇒u22=1+x⇒2u.du=2xdx⇒=u.duxdx. * Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u= 2. 2 2 3 2 u1 * Ta có: S=∫udu= =−(221) (đvdt) 0 330 Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường 1+ lnx y=;x==1,xe. x Giải: e 1+ lnx * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S= ∫ dx 1 x 1 * Đặt: u=1+lnx⇒u2 =1+lnx⇒=2u.dudx. x * Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u= 2. 2 2 23222 * Ta có: S=∫2u.du=u=(22−1=−(221) (đvdt) 13133 Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x22−2xvày=−+x4x. Trang 136 Trần Sĩ Tùng Tích phân Giải: y * Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường: x22−2x=−+x4x 4 (P1) ⇔2x2 −6x=0⇔x==0hayx3. 3 A 22 * Đồ thị (P1): y=x−2xvà(P2 ):y=−+x4x như trên hình vẽ. – 0 1 2 3 4 x Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3). 1 – (P2) * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 1 3 333 22222x S=∫∫−x+4x)−(x−2x)dx=(−2x+6x)dx=−+=3x9(đvdt) 003 Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y2 = 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x22+=y8 thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y2=2xvà(C):x22+=y8; 2 2 x=2⇒y2=± x+2x=≥8(vớix0) ⇔x+2x−80=⇔ x=−4(loại) Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2). y * Ta tính diện tích tam giác cong OAB; (P) 222 B 2 2 Đặt: S1=SOAB =∫∫2x.dx+−8x.dx 02 S1 A 2 o 2 x 2 28 22 với: 2x.dx==2.x.3 ∫ –2 0 330 C 22 Tính: ∫ 8−=x2.dxI. 2 Đặt: x=22.sint⇒=dt22.cost.dt. Đổi cận: x=2⇒t=π/4; x=22⇒t=π/2 π/2ππ/2/21+cos2t ⇒I=22.cost.22.cost.dt8==cos2 t.dt8dt ∫∫∫2 π/4ππ/4/4 π/2 sin2t =4t+=π−2. 2 π/4 82 * Do đó: S=+π−2.=π+ 1 33 4 * Do tính đối xứng nên: S=2.S=2.π+ OBACOAB 3 Trang 137 Tích phân Trần Sĩ Tùng * Gọi S là diện tích hình tròn (C) ⇒S=π.R82 =π 4 * Gọi S2 là phần diện tích hình tròn còn lại ⇒S=S−S=82π−π+ 2OBAC 3 4 ⇔S=6.π− 23 Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luôn cắt đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất. Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 +1=+mx2⇔x2 −mx−=10(1) y 2 ∆=m+4>∀0,m (P) * Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt (d) A, B có hoành độ x , x là nghiệm của (1). A 1 2 2 * Diện tích hình phẳng S là: B x2 x2 32 2 xmx S=(mx2+−x−1)dxx=−++ ∫ 32 x1 x1 x1 0 x2 x 1m =−(x3−x3)+(x22−x)+−(xx) 32212121 1 22 =−(x2−x1).2(x2+x1x2+x1)−3m(x21+−x)6 6 12221423 =−m+4.2(m+1)−3m−6=(m+≥4). 663 4 Vậy: minS==khim0. 3 Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x2 27 y=x2 ,y==,y. 8x Giải: 2 2 x27 y * Đồ thị (P12):y=x,(P):y==,(H):y 8x (P1) như trên hình vẽ. 9 A (P2) * Phương trình hoành độ giao điểm của (H) 9/2 B (P1) và (H): 3 S2 227 3 x = ⇔x=27⇔x=⇒3toạđộA(3,9). S1 x 0 3 6 9 x * Phương trình hoành độ giao điểm của (P2) và (H): Trang 138 Trần Sĩ Tùng Tích phân x2279 =⇔x=⇒6toạđộB6,. 8x2 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 3622 2x27x S=S12+S=∫∫(x−)dx+−dx==...27ln2(đvdt). 038x8 Ví dụ 7 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: parabol (P): y=−4xx2 và các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M(5/2, 6). Giải: y * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: (d2) (d1) 5 6 M y=Kx6−+ 2 S1 * (d) tiếp xúc (P) khi hệ sau có nghiệm: 4 S2  2 5 A 4x−x=Kx−+6(1) 3  2  4−=2xK(2) * Thế (2) vào (1) ta được: (P) 5 4x−x2=(4−2x)(x−+)6 B 2 0 1 2 5/2 4 x 2 x=1⇒=K1 ⇔x−5x+40=⇔ x=4⇒K4=− * Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: (d12):y=2x+1;(d):y=−+4x16 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 5/24 229 S=S12+S=∫∫(2x+1−4x+x)dx+(−4x+16−4x+x)dx==... (đvdt). 15/2 4 Ví dụ 8 (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn bởi các đường: y=x2 −4x+=3vày3. Giải: * Vẽ đồ thị (C): y=f(x)=x2−+4x3 y (C) f(x),f(x)0≥ * Xét đồ thị (C’) : y=f(x) = 3 −<f(x),f(x)0 * Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau: 2 0 1 3 4 x + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox –1  + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua trục hoành * Đồ thị (C’) là hợp của 2 phần trên Trang 139 Tích phân Trần Sĩ Tùng * Đường thẳng y = 3 cắt (C’) tại A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. * Do tính đối xứng nên ta có: S=+2(S12S) 212 222 =2.∫(3−x−4x+3)dx=2∫∫[3−(x−4x+3)]dx+[3−(−x+−4x3)]dx 001 ............... = 8(đvdt) Bảng xét dấu: x 0 1 2 3 2 x –4x+3 + 0 – 0 + Trang 140 Trần Sĩ Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài 1. Cho Parabol (P): y=x2 −+4x3 và đường thẳng (d) : y = x – 1. Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) và trục Ox; b/ (P), trục Ox và trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = 2 và x = 4; d/ (P) và (d); e/ (P), (d), x = 0 và x = 2. 4 4 9 ĐS: a/ ; b/ ; c/ 2; d/ ; e/ 3. 3 3 2 Bài 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường: 1 a/ (C):y=+x, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3; 2x2 b/ y=+x(x1),5 trục Ox, trục Oy và x = 1; c/ 2(y−1)22=xvà(y−1)=−x1; d/ y=x2−2x+2,y=x22+4x+5y=x−4x+=3vày1; x2 18 e/ y=,y=,y=>(vớix0). 8xx 1 418 4 9 ĐS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2. 3 35 3 4 Bài 3. Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (C):y=−x2 2x và tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3 ; 3) trên (C). b/ (C) :y=x32−2x+4x−=3,y0 và tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm có hoành độ x = 2. 9 5 ĐS: a/ ; b/ . 4 48 9 Bài 4. Cho Parabol (P): yx2 = và đường tròn (C) : x22+y−4x0+=. 4 a/ Chứng tỏ (P) và (C) tiếp xúc nhau tại A và B. b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến chung tại A và B. 36663666 6 ĐS: a/ A;;y=x+;B;−;y=−−x. b/ . 22642264 2 Bài 5. Đường thẳng (d): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C): x22+=y5 thành hai phần, tính diện tích mỗi phần. 5ππ5155 ĐS: S=−;S.=+ 124242 Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a/ y==x2 ,yx. b/ x−y3 +1=0;x+y−=10. c/ x2+y22==8;y2x. d/ y=2−=x2;y32x. Trang 141 Tích phân Trần Sĩ Tùng x1 e/ y=;x==0;x. 1x−4 2 1 5 4 32 π ĐS: a/ ; b/ ; c/ 2;π+ d/ ; e/ . 3 4 3 15 12 Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ y=x.ex ;y=0;x=−=1;x2. b/ y=x.ln2 x;y=0;x==1;xe. c/ y=exx;y==e− ;x1. d/ y=5x2− ;y=0;x=0;y=−3x. e/ y=(x+1)5x;y==e;x1. 2 1 1 ĐS: a/ e2 −+2; b/ (e2 −1); c/ e+−2; 3 4 2 241 23 d/ + ; e/ − e. 25ln52 2 Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x2 a/ y=+2xvày=+x4; b/ y=−x2 +2x+3và3x+5y−=90; 2 x 1 c/ y=vày=0;x==1;x2; d/ y=lnx;y=0;x==vàxe. x1+ e 26 55 2 2 ĐS: a/ ; b/ ; c/ 1− ln; d/ 2.− 3 6 3 e Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ y=+sinxcos2 x, các trục toạ độ và x = π; π b/ y=sin2 x++sinx1, các trục toạ độ và x.= 2 c/ y=x+sinx;y=x;x=0;x=π2. d/ y=x+sin2 x;y=π;x=0;x.=π π 3π π ĐS: a/ 2;+ b/ 1;+ c/ 4; d/ . 2 2 2 Bài 10. Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng x = –1; x = 2; y = 0 và Parabol (P) bằng 15. Tìm phương trình của (P), biết (P) có đỉnh là I(1 ; 2). ĐS: y=3x2 −+6x5. x2 +−2x3 Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y,= tiện cận xiên x2+ x = 0 và x = m > 0. Tìm giới hạn của diện tích này khi m.→+∞ m2+ ĐS: S=3ln;limS.=+∞ 2 m→+∞ Trang 142 Trần Sĩ Tùng Tích phân 2x Bài 12. Cho (H): y.= x1− a/ Chứng minh rằng hình phẳng được giới hạn bởi (H), tiệm cận ngang và các đường thẳng x = a + 1; x = 2a + 1 có diện tích không phụ thuộc vào tham số a dương. b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (H) tại gốc toạ độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), (d) và đường thẳng x = 2. ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3. Bài 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai điểm A và B di động trên (P) sao cho AB = 2. a/ Tìm tập hợp trung điểm I của AB b/ Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất. 1 ĐS: a/ y=+x;2 b/ maxS=−1;A(1;1);B(1;1). 1+4x2 1 Bài 14. Đường thẳng (D) đi qua điểm M;1 và các bán kính trục dương Ox, Oy lập 2 thành một tam giác. Xác định (D) để diện tích tam giác có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. ĐS: (D):y=−+2x2. Bài 15. Cho Parabol (P): y = x2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I(1 ; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (P) đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: y=+2x1. Bài 16. Trên Parabol (P) : yx= 2 lấy hai điểm A(–1 ; 1) và B(3 ; 3). Tìm điểm M trên cung AB» của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. 11 ĐS: M; 39 Bài 17. Xét hình (H) giới hạn bởi đường tròn (C): y=+x12 và các đường thẳng y = 0; x = 0; x = 1. Tiếp tuyến tại điểm nào của (C) sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. 515 ĐS: maxS= ;M;. 424 Trang 143 Tích phân Trần Sĩ Tùng §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác định: * Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x =..., x = ..., y = ..., y = ...) * (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp. Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai cận là y. Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):y=f(x);y=0;x=a;x=<b(ab)sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: bb V=π∫∫y22.dx=π [d(x)].dx aa y y (C) (C) (H) (H) a b x a b x b b Diện tích: S= ∫ f(x).dx Thể tích: V=π∫[f(x)]2 .dx a a Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):x=f(y),x=0,y=a,y=<b(ab)sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: bb V=π∫∫x22.dy=π [f(y)].dy aa y y (C) b b (C) (H) 0 x 0 x a a b b Diện tích: S= ∫ f(y)dy. Thể tích: V=π∫[f(y)]2 .dy a a Trang 144 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C12):y=f(x),(C):y=g(x),x=a,x=<b(ab) với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi: b V=π−∫f22(x)g(x).dx (3) a * f(x) và g(x) cùng dấu có nghĩa là hai phần đồ thị cùng nằm một phía đối với trục Ox, với mọi x ∈ đoạn [a; b]. * Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau: y TH1: (C12)∩(C)=∅vàf(x)>g(x)≥0,∀∈x[a;b]: (C1) b (H) y (3)⇔V=π−[f22(x)g(x)].dx ∫ (C2) a 0 a b x y TH2: (C12)∩(C)=∅vàf(x)<g(x)≤0,∀∈x[a;b]: 0 a b x b (C ) (3)⇔V=π−[f22(x)g(x)].dx (H) 2 ∫ y a (C1) y TH3: (C12)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a, x = b và d(x) > g(x) ≥ 0, ∀∈x[a;b]: (H) A B (C2) b (3)⇔V=π−[f22(x)g(x)].dx ∫ 0 a b x a (C1) y TH4: (C12)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ (C1) x = a và f(x) < g(x) ≤ 0, ∀∈x[a;b]: a b 0 b x (3)⇔V=π−[f22(x)g(x)].dx A B ∫ (H) (C2) a Trang 145 Tích phân Trần Sĩ Tùng y TH5: (C12)cắt(C) tại 3 điểm A, B, C, trong đó xA = a (C1) xB = b, xC = c với a < c < b như hình bên: B (3)⇔V=+VV 12 V1 V2 C cb A =π[f2(x)−g2(x)]dx+π−[g22(x)f(x)]dx. ∫∫ (C2) ac a c b x Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C12):x=f(y),(C):x=g(y),y=a,y=<b(ab) với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi: b V=π−∫f22(y)g(x).dy (4) a y TH1: (C1)∩(C2)=∅vàx12=f(y)>x=≥g(y)0, C2 C1 với mọi y∈[a;b]. b x2 b (H) x1 22 (4)⇔V=π−∫[f(y)g(y)].dy a a 0 x y TH3: (C12)cắt(C) tại 2 điểm A, B có tung độ C2 C1 yAB=ax=≥g(y)0, b B với mọi y∈[a;b]. x2 (H) x1 b 22 a (4)⇔V=π−∫[f(y)g(y)].dy A a x * Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3. Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2 = 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung. Giải: a/ (P):y2 =8x⇔(P):y=±≥8x(x0) Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh trục Ox là: Trang 146 Trần Sĩ Tùng Tích phân 22 y V=πy2.dx=π8x.dx=π16 (đvtt). ∫∫ (P) 00 4 1 b/ (P):y22=8x⇔=xy 8 Thể tích V khối ... quanh trục tung là: 0 2 x 442 212241899π V=π2−ydu=π2−ydy==... (đvtt). – ∫∫86432 −−14 x = 2 Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) : y=−2xx2. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung. Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là: 22 222 16π V=π∫∫y.dx=π(2x−x)dx==... (đvtt). y 00 15 b/ (P):y=2x−x22⇔x−2x+=y0(1) 1 (P) x1 ∆'=1−y≥0⇔0≤≤y1 (H) x2 x=1−1−y,(0≤≤x1) 0 1 2 x (1) ⇔11 x22=1+1−y,(1≤≤x2) Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là: 1118π V=π(x22−x)dy=π(x+x)(x−x)dy=π2(21−y)dy==.... ∫21∫∫2121 0003 x2 Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: +=y12 quay quanh trục hoành. Tính thể tích của 4 khối tròn xoay được tạo nên. Giải: y 22 x222x1 (E):+y=1⇔y=1−⇔y=±4−≤x,(|x|2) 1 442 Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: –2 0 2 x 22 22ππ8 V=π∫∫y.dx=(4−x).dx==... (đvtt). –1 −−2243 Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y=x,y=−2x và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy. Giải: Trang 147 Tích phân Trần Sĩ Tùng • y=x⇔x==x21 y • y=2−x⇔x=x2 =−2y. yx= • Thể tích vật thể tròn xoay 2 A khi quay (D) quanh trục Oy là: 1 11 V=π(x2−x2)dy=π[(2−−y)2(y22)] ∫∫21 0 1 2 4 x 00 y=−2x 32π = (đvtt). 15 BÀI TẬP Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn bởi các đường: a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ x2 +−y5=0;x+y−=30. c/ y==x2;yx. d/ y=x22−4x+6;y=−x−+2x6. e/ y=−x(x1).2 f/ y=x.ex ;x=1;y=0(0≤≤x1) g/ y=ex;y=−+x2;x==0;x2. h/ y=xln(1+=x3 );x1. i/ (P):y=x2 (x>0),y=−3x+=10;y1 (miền (D)) nằm ngoài (P)). π k/ y=cos44x+sinx;y=0;x=;x.=π 2 153π 3π ĐS: a/ 2π−(ln21);2 b/ ; c/ ; 5 10 π π−(e2 1) d/ 3π e/ . f/ ; 105 4 π 56π 3π2 g/ π−(e221); h/ (2ln2−1). i/ . k/ . 3 5 8 Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ y=x2;y==1;y2.. b/ y==x22;xy. c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2. 3π 3π ĐS: a/ ; b/ ; c/ 24.π2 2 10 1 Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong y;= trục Ox; x = 1 và x = t x a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: limS(t) và limV(t). t→+∞ t→+∞ Trang 148 Trần Sĩ Tùng Tích phân π ĐS: a/ S(t)=lnt;V(t);=π− b/ limS(t)=+∞;limV(t)=π t tt→+∞→+∞ Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): x22+=y8 và parabol (p): y2 = 2x. a/ Tính diện tích S của (D). b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox. 4 4π ĐS: a/ −π2. b/ (82− 7). 3 3 Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường: 2/3 x a/ y=b (0x≤≤a) quanh trục Ox. a b/ y=sinx;y=0(0≤x)≤π α/ quanh trục Ox β/ quanh trục Oy. 2 xx c/ y==b;yb aa α/ quanh trục Ox. β/ Quanh trục Oy. d/ y=e−x ;y=0(0≤x)<+∞ quanh trục Ox và Oy. 3 ĐS: a/ πab;2 7 π2 b/ α=/V; β/V=π2.2 x 2 y 4 πab2 c/ α/V=πab;2 β=/V. x 15 y 6 π d/ α=/V; β/V=π2. x 2 y Trang 149 Tích phân Trần Sĩ Tùng ÔN TẬP TÍCH PH ÂN Bài 1. Tính các tích phân sau: 2 1 x2dx a/ 2+ x.dx; b/ ; ∫ ∫ 2 −2 0 4x− 2 x12 − 1 dx c/ dx; d/ ; ∫ ∫ 23 1 x 0 (1+ x) 1 x2dx π/4 x e/ ; f/ dx; ∫ 22 ∫ 2 0 (x+1) 0 cosx π/2 π/4 sin44x+ cosx g/ ex.cosxdx; h/ dx; ∫ ∫ x 0 −π/4 31+ π cos2x.dx 5π/12 dx i/ ; k/ ; ∫ ∫ 2 0 sinx++cosx2 π/12 sin2x+23cosx+−23 8 π 3 π 2 ĐS: a/ (4− 2); b/ − ; c/ 3;− d/ ; 3 32 3 2 11 π 2 1 3π e/ −+ln2; f/ + ln; g/ (eπ/2 −1); h/ ; 44 42 2 16 3 i/ 2ln3 – 2; k/ . 4 −2)x+≤1),x0 1 Bài 2. Biết f(x) = . Tìm giá trị K để f(x).dx= 1.  2 ∫ K(1−>x),x0 −1 ĐS: K = 3. e2x Bài 3. a/ Cho hàm số f(x)= ∫ t.lnt.dt. Tìm hoành độ điểm cực đại x. ex 3π 2x sint b/ Tìm giá trị x∈0; để hàm số f(x)= ∫ dt đạt cực đại. 2 x t π ĐS: a/ x=−ln2. b/ x.= 3 x 2t1+ Bài 4. Cho hàm số f(x)=dt,−1≤≤x1. ∫2 0 t−+2t2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f. 1 ĐS: a/ minf=−f; b/ maxf= f(1). 2 x Bài 5. Cho hàm so á f(x)=∫(t−−1)(t2)2 dt. Tìm điểm cực trị va ø điemå uốn của đo à thị f. 0 Trang 150 Trần Sĩ Tùng Tích phân 1744112 ĐS: CT:1;−−;Đ.Uốn:2;;; 123381 Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : x22+=y5 thành 2 phần, tính diện tích của mỗi phần. 5ππ5155 ĐS: S=−;S.=+ 124242 1 Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): y==;y0; x = 1; x = 2. Tìm x toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. 32 ĐS: M;. 23 Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (∆) là pháp tuyến tại A của (P) ((∆) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Định vị trí của A để diện tích giới hạn đỉnh bởi (P) và (∆) là nhỏ nhất. 41111 ĐS: minS=−;A;hayA;. 32424 xy22  −=1 Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi: 164 .  x= 42 Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 128π ĐS: . 3 y=>ax2 ,a0 Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi:  . y=−>bx,b0 Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a và b. ĐS: b 5 = K.a3, với K là hằng số dương bất kỳ. Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x2 −4x+3,y=+x3. (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) 109 ĐS: (đvdt). 6 Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: xx22 y=4−=vày. (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) 4 42 Trang 151 Tích phân Trần Sĩ Tùng 4 ĐS: 2 π+ (đvdt). 3 −−3x1 Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = và hai trục x1− toạ độ. (Đề thi.......................................... khối D_2002) 4 ĐS: 1+ 4ln (đvdt). 3 23 dx Bài 14. Tính tích phân I.= ∫ 2 5xx4+ (Đề thi.......................................... khối A_2003) 15 ĐS: ln. 43 π/21−2sinx2 Bài 15. Tính tích phân I= ∫ dx. 0 1+ sin2x (Đề thi.......................................... khối B_2003) 1 ĐS: ln2. 2 2 Bài 16. Tính tích phân I=−∫x2 xdx. 0 (Đề thi.......................................... khối D_2003) ĐS: 1. 2 x Bài 17. Tính tích phân I=∫ dx. 1 1++x1 (Đề thi.......................................... khối A_2004) 11 ĐS: − 4ln2. 3 e 1+ 3lnx.lnx Bài 18. Tính tích phân I= ∫ dx 1 x (Đề thi.......................................... khối B_2004) 116 ĐS: . 135 3 Bài 19. Tính tích phân I=−∫ln(x2 x)dx. 2 (Đề thi.......................................... khối D_2004) ĐS: 3ln3 – 2. Trang 152