Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn - Trần Ích Thịnh

TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 1. GIỚI THIỆU Tấm và vỏ là các dạng kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và chúng thường chịu biến dạng chịu uốn. Các phương trình PTHH đối với các kết cấu tấm-vỏ thường phức tạp hơn nhiều so với các dạng kết cấu khác. Chương 11 sẽ giới thiệu về hai lý thuyết tấm được sử dụng phổ biến trong các bài toán kết cấu tấm-vỏ: lý thuyết tấm kinh điển của Kirchoff (gọi tắt là tấm Kirchoff) và lý thuyết tấm bậc nhất của Mindlin (gọi tắt là tấm Mindlin). Các thuật toán PTHH đối với tấm chịu uốn tương ứng với hai lý thuyết trên đã được thiết lập chi tiết. Phần tử vỏ được xem là tổ hợp của phần tử tấm chịu uốn và phần tử tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng. 2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF Giả thiết cơ bản của lý thuyết uốn tấm Kirchoff là: đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang ( 0 xzyz  ). Do đó, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v và w (Hình 11.1) được biểu diễn như sau:                 ),(),,( ),,( ),,( 0 yxwzyxw y wzzyxv x wzzyxu (11.1) trong đó, mặt phẳng (0, x, y) là mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với bề mặt tấm. Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương z; w0 là chuyển vị tại mặt trung bình (giả thiết biến dạng màng: u0 = v0 = 0). SinhVienKyThuat.Com 207 Vì bỏ qua biến dạng cắt, nên các thành phần biến dạng trong mặt phẳng được viết ở dạng sau:      xyyxxyyxT z   (11.2) Trong đó:                  yx w y w x w xyyx T 2 2 2 2 2 2 (11.3) được gọi là các thành phần độ cong. Thay các biểu thức (11.2) và (11.3) vào quan hệ ứng suất biến dạng      D ta được biểu thức sau:      Dz (11.4) Trong đó:    Txyyx   x y z Mxy Mx Qx Qy Mxy My dy y M M yy    dx x M M xyxy    dx x MM xx    dy y M M xyxy    dx x Q Q xx    dy y Q Q yy    dy dx Hình 11.1. Sơ đồ phần tử tấm chịu uốn SinhVienKyThuat.Com 208                 2 100 01 01 1 2 v ED    Các thành phần mômen được xác định bởi:     dzzM h h    2 2  (11.5) Trong đó:    Txyyx MMMM  và h là chiều dày tấm. Thay biểu thức (11.4) vào (11.5), ta thu được quan hệ giữa mômen và các thành phần độ cong như sau:     DM  (11.6) Trong đó:    DhD 12 3  (11.7) Các phương trình cân bằng (cân bằng mômen đối với các trục x, y và cân bằng lực đối với trục z, được suy ra từ điều kiện cân bằng tĩnh học của phần tử tấm (Hình 11.1). Sau khi đã bỏ qua các thành phần bậc cao, ta thu được các phương trình cân bằng sau:                             0 0 0 p y Q x Q Q y M x M Q y M x M yx y yxy x xyx (11.8) Trong đó, Qx và Qy là các lực cắt và p là tải trọng phân bố gây uốn tấm (phương tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm). Khử các thành phần lực cắt trong các phương trình của hệ (11.8) ta được: 02 2 22 2 2          p y M yx M x M yxyx (11.9) SinhVienKyThuat.Com 209 Tổ hợp các biểu thức (11.3), (11.6) và (11.9), qua một số phép biến đổi đơn giản cuối cùng ta nhận được phương trình vi phân cân bằng đối với tấm chịu uốn như sau: rD p y w yx w x w          4 4 22 4 4 4 2 (11.10) Trong đó: )1(12 2 3   EhDr là độ cứng chống uốn của tấm. 3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN Dựa trên lý thuyết tấm kinh điển đã trình bày ở trên, chúng ta sẽ xây dựng thuật toán PTHH cho phần tử tứ giác bốn nút tại đỉnh chịu uốn. Phần tử được mô tả trong Hình 11.2. Mỗi nút của phần tử có 3 bậc tự do: Chuyển vị w theo phương z và hai góc xoay x = w,x và y = w,y (dấu phảy là ký hiệu của đạo hàm riêng phần của w theo các biến x và y) quanh trục x và y tương ứng. Ký hiệu véctơ chuyển vị nút là di, ta có: T ii ii y w x wwd                          (11.11) (x2,y2) 1 (x1,y1) 4 (x4,y4) 3 (x3,y3) x y z w y x Hình 11.2. Phần tử tứ giác Kirchoff SinhVienKyThuat.Com 210 Với phần tử tứ giác 4 nút, véctơ chuyển vị nút phần tử được biểu diễn như sau:  TTTTT ddddq 4321 (11.12) và véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử là:  Tyxwd 0 (11.13) Véctơ chuyển vị nút phần tử (11.11) có chứa các thành phần là đạo hàm bậc nhất tương ứng với các góc xoay tại nút. Do đó, các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển vị (11.13) sẽ được nội suy qua các giá trị chuyển vị nút như sau: - Thành phần chuyển vị độ võng tấm (w) được xấp xỉ theo hàm nội suy Hecmit, tức là: 4 12 4 11 0 410 1 3 1 2 0 11 ...                                  y wH x wHwH y wH x wHwHw (11.14) - Các thành phần chuyển vị góc xoay được nội suy qua các thành phần chuyển vị nút:                                   4 1 31323 i i i i iiix y wH x wHwH xx w  (11.15)                                   4 1 31323 i i i i iiiy y wH x wHwH yy w  (11.16) Khi đó, quan hệ giữa véctơ chuyển vị được nội suy qua véctơ chuyển vị nút phần tử như sau: d = B q. (11.17) Trong đó: B là ma trận nội suy, được biểu diễn như sau:                                          121110321 121110321 121110321 H y H y H y H y H y H y H x H x H x H x H x H x HHHHHH B    (11.18) Thay vào biểu thức (11.3) ta có thể biểu diễn các thành phần biến dạng qua véctơ chuyển vị dưới dạng: SinhVienKyThuat.Com 211     dL ; (11.19) với L là ma trận toán tử đạo hàm, được xác định như sau:                            xy y x L 0 00 00 (11.20) Cuối cùng, các thành phần biến dạng được viết lại dưới dạng:   BqqBLL  d (11.21) với B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị. Từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi:  V t e dVU 2 1 (11.22) Đưa các quan hệ (11.2), (11.3) và (11.4) vào (11.22) và qua một số khai triển, chú ý đến biểu thức của các thành phần nội lực, ta được biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi:                   qBdSDBhqdSDh dzzdSDdSdzDzzU ee ee S TT S T h h S T h h S T e                        2424 2 1 2 1 33 2 2 2 2 2   Cuối cùng, thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được biểu diễn dưới dạng cô đọng: qq 2 1 et e kU  (11.23) trong đó ke là ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff và được xác định theo biểu thức:   eS Te BdSDBhk 24 3 (11.24) SinhVienKyThuat.Com 212 Để xác định được ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff, ta cần xây dựng được các hàm nội suy Hecmit Hi (i = 1, 2, .., 12). Các hàm này được xác định trong hệ toạ độ quy chiếu (, ) và với tính chất: Nút 1 , H1 H1’ H1’ H2 H2’ H2’ H3 H3’ H3’ -1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nút 2 , H4 H4’ H4’ H5 H5’ H5’ H6 H6’ H6’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nút 3 , H7 H7’ H7’ H8 H8’ H8’ H9 H9’ H9’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nút 4 , H10 H10’ H10’ H11 H11’ H11’ H12 H12’ H12’ -1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ta có thể chọn các hàm dạng Hi dưới dạng sau: H = a0 + a1 + a2+ a32 + a4 + a52 + + a63 + a72 + a82 + a93+ a103 + a113 Từ bảng trên, ta sẽ xác định được các hệ số ai (i = 0 .. 11). Cuối cùng, ta sẽ thu được các hàm nội suy Hecmit như sau:    221 2118 1  H (11.25a)    22 1118 1  H ;    23 1118 1  H SinhVienKyThuat.Com 213    224 2118 1  H (11.25b)    25 1118 1  H ;    26 1118 1  H    227 2118 1  H (11.25c)    28 1118 1  H ;    29 1118 1  H    2210 2118 1  H (11.25d)    211 1118 1  H ;    212 1118 1  H Quan hệ giữa 2 hệ toạ độ (x,y) và (, ) được thể hiện dưới dạng:                CC CC ybyxax b yy a xx   2 ; 2 2;2 (11.26) trong đó : a, b là kích thước phần tử chữ nhật; xC, yC là tọa độ trọng tâm C của phần tử. Như đã thấy trên đây, các hàm nội suy Hi tương ứng với nút i được biểu diễn theo các toạ độ quy chiếu (,). Các biểu thức của ma trận toán tử L (11.20), có chứa đạo hàm riêng phần của các hàm Hi lấy theo biến x và y của hệ toạ độ thực. Do đó, ta cần thực hiện phép tính đạo hàm của hàm hợp:                                                                         y xJ y x yx yx     (11.27a) và:                                                                * 22 * 21 * 12 * 111 JJ JJ J y x (11.27b) SinhVienKyThuat.Com 214 với:   1J là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacôbiên          b a J 0 0 . Vậy ta có:                    b a JJ JJ J 10 01 * 22 * 21 * 12 * 111 (11.28) và:                                    b a y x 1 1 ;                                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1   b a y x (11.29) Khi đó các biểu thức (10.20) của ma trận toán tử đạo hàm được biểu diễn theo hệ toạ độ quy chiếu (, ):                               ab b a L 220 200 020 (11.30) và ma trận B được biểu diễn như sau:                                                           12 2 11 2 10 2 3 2 2 2 1 2 2 12 2 22 11 2 22 10 2 22 3 2 22 2 2 22 1 2 2 2 12 2 22 11 2 22 10 2 22 3 2 22 2 2 22 1 2 2 888888 444444 444444 H ab H ab H ab H ab H ab H ab H b H b H b H b H b H b H a H a H a H a H a H a B    (11.31) Trong đó:       1 4 3 2 1 2H ;       1 4 3 2 1 2H . (11.32a)   131 4 1 2 2 2      H ; 02 2 2     H . (11.32b) 02 3 2     H ;   131 4 1 2 3 2      H (11.32c) SinhVienKyThuat.Com 215       1 4 3 2 4 2H ;       1 4 3 2 4 2H (11.32d)   131 4 1 2 5 2      H ; 02 5 2     H (11.32e) 02 6 2     H ;   131 4 1 2 6 2      H (11.32f)       1 4 3 2 7 2H ;       1 4 3 2 7 2H . (11.32g)   131 4 1 2 8 2      H ; 02 8 2     H , (11.32h) 02 9 2     H ;   131 4 1 2 9 2      H (11.32i)       1 4 3 2 10 2H ;       1 4 3 2 10 2H (11.32k)   131 4 1 2 11 2      H ; 02 11 2     H (11.32m) 02 12 2     H ;   131 4 1 2 12 2      H (11.32n) 4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN Khác với lý thuyết tấm Kirchoff, lý thuyết tấm của Mindlin có kể đến ảnh hưởng của các thành phần biến dạng cắt ngang ( 0 xzyz  ). Khi đó, biểu thức của năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm có chứa thêm biểu thức năng lượng biến dạng cắt ngang:        dVdVU V s T s V b T be    2 1 2 1 (11.33) trong đó :    Txyyxb   (11.34)    Txyyxb   (11.35) là các thành phần ứng suất và biến dạng uốn, còn:    Tyzxzs   (11.36)    Tyzxzs   (11.37) SinhVienKyThuat.Com 216 là các thành phần ứng suất và biến dạng cắt ngang (trong các mặt phẳng vuông góc với mặt trung bình). Trong các tính toán kỹ thuật theo lý thuyết tấm của Mindin, ta cần phải sử dụng thêm hệ số hiệu chỉnh cắt, hệ số này thường được chọn là 6 5 . Khi đó, năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm chịu uốn có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt sẽ được biểu diễn dưới dạng:          dVDdVDU V ss T s V bb T be    12 5 2 1 (11.38) trong đó :                 2 100 01 01 1 2 v EDb    (11.39) và          G G Ds 0 0 (11.40) Theo lý thuyết tấm Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn như sau :         ),(),,( ),(),,( ),(),,( 0 yxwzyxw yxzzyxv yxzzyxu y x   (11.41) trong đó, yx  , là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và trục x tương ứng. Ở đây, ta giả thiết: không có các thành phần biến dạng trong mặt phẳng trung bình (không có biến dạng màng). Các thành phần góc xoay này được biểu diễn bởi:               yzy xzx y w x w   (11.42) Vì chuyển vị w và các góc xoay yx  , là các thành phần độc lập nhau, nên chúng ta cần có các hàm dạng để nội suy chúng một cách độc lập. Do đó, với phần tử tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt ngang này sẽ SinhVienKyThuat.Com 217 yêu cầu sử dụng phàn tử tương thích C0. Các hàm dạng đẳng tham số sẽ được sử dụng cho các phương trình PTHH của phần tử tấm chịu uốn, cụ thể như sau :                           n i iyiy n i ixix n i ii N N wNw 1 1 1 , , ,    (11.43) Ở đây, n là số nút của phần tử. Để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng các hàm dạng song tuyến tính (Chương 8) cho phần tử tứ giác bốn nút. Đối với các bài toán có yêu cầu cao về độ chính xác, người ta thường sử dụng các hàm dạng bậc cao hơn. Ta có:                e ss e pb dBz dBz   (11.44) trong đó :                                                      0000 00000000 00000000 44332211 4321 4321 x N y N x N y N x N y N x N y N y N y N y N y N x N x N x N x N Bp (11.45)                                        y NN y NN y NN y NN x NN x NN x NN x NN Bs 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 0000 0000 (11.46) và    Tyxyxyxyxe wwwwd 444333222111  (11.47) Thay các biểu thức trong (11.44) vào (11.38) ta được : SinhVienKyThuat.Com 218                  e V z ss T s Tee A z bb T b Te e ddAdzBDBdddAdzDBdU e                    12 5 2 1  (11.48) Cuối cùng, ta thu được ma trận độ cứng của phần tử tấm tứ giác bậc nhất chịu uốn dưới dạng:            V ss T s A bb T b e dABDBhdADBhk e 6 5 12 3  (11.49) trong đó, h là chiều dày tấm. Chú ý: khi chiều dày h của tấm rất nhỏ so với kích thước của 2 phương còn lại (tấm mỏng), năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3) gây ra. Hiện tượng này được gọi là ‘‘nghẽn cắt’’ (shear locking), khiến cho lời giải số của bài toán không hội tụ. Để khắc phục hiện tượng này, người ta có thể sử dụng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) hoặc tích phân lựa chọn (selective integration). Nội dung chính của các kỹ thuật này là: biểu thức năng lượng của biến dạng uốn sẽ được tính theo luật tích phân đúng cấp, còn biểu thức năng lượng của biến dạng cắt sẽ được lấy tích phân ở mức độ kém chính xác hơn một cấp. Chẳng hạn, với phần tử tứ giác 4 nút đẳng tham số, ta sử dụng tích phân số với 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, còn đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt chỉ sử dụng 1 điểm Gauss. Tương tự, với phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số, nếu sử dụng tích phân số 33 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, thì ta sẽ chỉ sử dụng tích phân số 22 điểm Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt. 5. PHẦN TỬ VỎ Kết cấu vỏ tương tự như kết cấu tấm nhưng có độ cong không đổi hoặc thay đổi theo các phương x và y. Có thể coi kết cấu tấm phẳng là trường hợp riêng của kết cấu vỏ, khi bán kính cong bằng vô cùng. Khi vỏ được chia thành một số hữu hạn các phần tử có kích thước đủ nhỏ, thì mỗi phần tử có thể được xem như là phần tử tấm phẳng chịu uốn với một phương xác định trong không gian. Tuy nhiên, mỗi phần tử này lại SinhVienKyThuat.Com 219 có phương khác nhau (phương véctơ pháp tuyến của mặt), vì vậy biến dạng uốn trong phần tử này có thể gây ra biến dạng trong mặt phẳng cho phần tử kế tiếp. Kết quả là, một phần tử vỏ có thể được xác định như là tổ hợp của một phần tử chịu uốn và một phần tử ở trạng thái ứng suất phẳng, tương tự như phần tử khung 2 chiều được xây dựng từ phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh chịu kéo hoặc nén. Hình 11. 3 mô tả tổ hợp hai phần tử nói trên để tạo ra phần tử vỏ có 5 bậc tự do tại mỗi nút: ba chuyển vị thẳng và hai chuyển vị góc. Ma trận độ cứng của phần tử vỏ được biểu diễn như sau:                               m b m b m b F F d d K K 0 0 (11.50) trong đó: K, d và F tương ứng là ma trận độ cứng, véctơ chuyển vị nút và véctơ lực nút. Các ma trận và các véctơ trên bao gồm hai phần, một là từ phần tử tấm chịu uốn và hai là từ phần tử tấm chịu kéo (nén). Các chỉ số dưới b và m chỉ các biến dạng uốn và biến dạng màng (kéo, nén) của phần tử vỏ. Khi các phần tử vỏ có phương khác nhau, ví dụ khi xét ở vị trí góc của một hình hộp (Hình 11.4), tại đây có 3 phần tử kề nhau; ta có thể thấy rằng thành phần góc xoay của phần tử này x y z w v u x y y x v u w + = Hình 11. 3. Phần tử vỏ là tổ hợp của 2 phần tử X Y zk y Hình 11. 4 zj zi Z x w j k i SinhVienKyThuat.Com 220 sẽ là góc xoắn của phần tử kế tiếp. Do đó, khi ghép nối các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử ta cần phải tính đến góc xoắn nói trên. Kết quả là, số bậc tự do của các ma trận và véctơ phần tử cần phải tăng thêm 1 tại mỗi nút. Như vậy, phương trình (11.50) sẽ được viết lại như sau :                                            0000 00 00 m b z m b m b F F d d K K  (11.51) Các ma trận và véctơ trong phương trình (11.45) được xác định trong hệ trục toạ độ địa phương của mỗi phần tử, với trục x và y nằm trong mặt phẳng trung bình của phần tử vỏ và trục z là trục vuông góc với mặt phẳng phần tử. Vì vậy, để ghép nối các ma trận và véctơ này thành ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực nút tổng thể ở hệ trục toạ độ chung thì chúng phải được biến đổi sang hệ trục toạ độ chung trước khi tiến hành ghép nối. Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục là T, ta có :     gl dTd  (11.52) Trong đó, l và g là ký hiệu cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương ứng. Như vậy, ma trận T chuyển đổi các bậc tự do chung sang các bậc tự do địa phương. Nó chứa các cosin chỉ phương của các trục toạ độ địa phương trong hệ trục toạ độ chung. Tại mỗi nút, quan hệ giữa các bậc tự do trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung được mô tả bởi:                                                              g z g y g x g g g l z l y l x l l l w v u ccc ccc ccc ccc ccc ccc w v u       131211 131211 131211 333231 232221 131211 000 000 000 000 000 000 (11.53) Trong đó, cij là cosin của góc hợp bởi trục toạ độ địa phương xi và trục toạ độ chung Xj. Quan hệ này được sử dụng cho từng nút phần tử. Như vậy, ma trận chuyển đổi T đối với phần tử tứ giác 4 nút sẽ được biểu diễn dưới dạng: SinhVienKyThuat.Com 221                       d d d d T T T T T 000 000 000 000 (11.54) với Td được xác định theo biểu thức (11.53). Cuối cùng, ta xác định được ma trận độ cứng và véctơ lực nút phần tử như sau :       TKTK lTg  (11.55)      lTg FTF  (11.57) Chú ý: khi vỏ suy biến về tấm phẳng, ma trận độ cứng tổng thể sẽ là một ma trận kỳ dị vì trước đó ta đã gán thêm góc xoắn vào véctơ chuyển vị nút. Để khắc phục hiện tượng trên, người ta thường cộng thêm một giá trị nhỏ vào bậc tự do góc xoắn. Giá trị cộng thêm này không được quá nhỏ để cho ma trận đã được sửa đổi là một ma trận không kỳ dị. Đồng thời, giá trị này cũng không quá lớn để tránh ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính. Trong thực tế tính toán, người ta thường khắc phục hiện tượng trên bằng cách đặt K(i,i) = 1, với i là chỉ số ứng với bậc tự do góc xoắn. 6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU UỐN Xét tấm vuông với liên kết đơn trên 4 cạnh chịu uốn bởi tải trọng tập trung đặt tại giữa tấm như Hình 11.5. Tìm độ võng của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Biết các kích thước của tấm là 4004002 (mm). Vật liệu tấm là thép có môđun đàn hồi E=200gPa và hệ số Poatxông =0,3; lực tập trung P=500N. SinhVienKyThuat.Com 222 Do kết cấu đối xứng, nên ta sẽ giải bài toán cho ¼ tấm vuông. Phần diện tích này được chia thành 4 phần tử tứ giác bốn nút, sơ đồ nút như mô tả trên Hình 11.5b. Ở đây, ta lấy tích phân số sẽ 22 điểm Gauss đối với tích phân ma trận độ cứng uốn phần tử và 11 điểm Gauss đối với tích phân ma trận độ cứng cắt phần tử. Theo sơ đồ lưới PTHH, điều kiện biên sẽ được mô tả như sau: Tại các nút 1, 2 và 3: các thành phần x và w bằng không; tại các nút 1, 4 và 7: các thành phần y và w bằng không; tại các nút: 3, 6 và 9 có thành phần x bằng không; còn tại các nút 7, 8 và 9: thành phần y bằng không. Chương trình nguồn %---------------------------------------------------------------------------- % Chuong trinh so 1, chuong 11- Vi du 11.1 %---------------------------------------------------------------------------- % Mo ta bai toan: % Tim bien dang (do vong) cua tam, su dung phan tu tu giac bac 1 % dang tham so voi ly thuyet chuyen vi cat bac nhat. % Kich thuoc tam la 400x400 mm va do day 5 mm. % Vat lieu tam bang thep, tai trong tap trung bang 500 N. % (so do luoi phan tu mo ta tren hinh 11.5) % Mo ta cac bien % k = ma tran do cung phan tu P z y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 Hình 11.5. (a). Sơ đồ hoá tấm vuông chịu uốn (b). Lưới 4 phần tử của ¼ tấm vuông (b) (a) SinhVienKyThuat.Com 223 % kb = ma tran do cung phan tu (thanh phan chuyen vi uon) % ks = ma tran do cung phan tu (thanh phan chuyen vi cat) % f = vecto luc nut phan tu % kk = ma tran do cung tong the % ff = vecto luc nut tong the % disp = vecto chuyen vi nut chung % gcoord = toa do nut tong the % nodes = ma tran dinh vi nut phan tu % index = bang ghep noi phan tu % pointb = ma tran toa do cac diem Gauss cho cac thanh phan uon % weightb = ma tran trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan uon % points = ma tran toa do cac diem Gauss cho cac thanh phan cat % weights = ma tran trong so cac diem Gauss cho cac thanh phan cat % bcdof = vecto chuyen vi nut chiu rang buoc boi dieu kien bien % bcval = vecto gia tri chuyen vi nut chiu rang buoc % B_b = ma tran chuyen vi – ung suat cua cac thanh phan bien dang uon % D_b = ma tran do cung chong uon cua vat lieu % B_s = ma tran chuyen vi – ung suat cua cac thanh