A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương
II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết
III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
IV. Phương pháp hình học
VI. Phương pháp phản chứng
VI. Phương pháp phản chứng
VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậchai
IX. Phương pháp đánh giá
X. Phương pháp quy về một biến
XI. Phương pháp đổibiến
B. Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức
18 trang |
Chia sẻ: longpd | Lượt xem: 1744 | Lượt tải: 4
Nội dung tài liệu Ôn thi đại học về bất đẳng thức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
BẤT ĐẲNG THỨC
A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương
VD1. Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có:
1. 2 2 2a b c ab bc ca
2. 2 3a b c ab bc ca
Giải
1. 2 2 22 2 2 0a b c ab bc ca a b b c c a
2. 2 2 2 23 0a b c ab bc ca a b b c c a
VD2. Chứng minh rằng nếu 0 x y z thì ta có 1 1 1 1 1y x z x z
x z y x z
Giải. Biến đổi tương đương đến: 0y x z x luôn đúng.
VD3. Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
2 2 2 3a b c a b c a b c a b c abc
Giải. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 0b c a . Do đó:
2 0b c b c a , hay
3 3 2 2 2 2 2 0b c b c bc ab ac abc (1)
Tương tự ta có:
3 3 2 2 2 2 2 0c a c a ca bc ba abc (2)
3 3 2 2 2 2 2 0a b a b ab ca cb abc (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được:
2 2 22 2 2 6 0a b c a b c a b c a b c abc
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh.
BÀI TẬP
Bài 1. (1970) CMR với mọi a, b, c, d: 2 22 2 2 2a b c d a c b d
HD. BĐT 2 2 2 2a b c d ac bd
Nếu 0ac bd , BĐT đúng
Nếu 0ac bd , bình phương hai vế biến đổi thành 2 0ad bc .
Bài 2. (TL, 95) Cho 0 a b c . CMR: 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b
HD. Biến đổi tương đương đến: 0b c a c a b ab bc ca
Bài 3. (HH, 96). Cho 1xy , CMR: 2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
.
HD. Ta có: 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1x y xy x xy y xy
2
2 2
1
0
1 1 1
b a ab
a b ab
II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Những bất đẳng thức thường sử dụng:
1. Bất đẳng thức Cô-si:
2
Với hai số không âm a và b ta có:
2
a b ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a b .
Với ba số không âm a, b và c ta có: 3
3
a b c abc . Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi a b c .
2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):
Với mọi số thực a, b, x, y, ta có: 2 2 2 2 2ax by a b x y . Đẳng thức
xảy ra khi: a b
x y
.
Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có:
2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z . Đẳng thức xảy ra khi:
a b c
x y z
.
3. Bất đẳng thức tam giác:
, ,a b a b a b (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0ab .
, ,a b a b a b (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0ab .
VD1. Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có:
1. 1 1 4a b
a b
2. 1 1 4
a b a b
HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
VD2. Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có:
1. 1 1 1 9a b c
a b c
2. 1 1 1 9
a b c a b c
HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
VD3. Với x, y không âm, chứng minh: 21 1 1x y xy
Giải. Ta có: 2 21 1 1 1 2 1x y x y xy xy xy xy
VD4.
1. Nếu 2 2 1x y thì 2 5x y .
2. Nếu 3 4 1x y thì 2 2 1
25
x y .
HD. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki:
1. 2 2 2 2 2 22 1. 2. 1 2 5x y x y x y . Suy ra: 2 5x y
2. 2 2 2 2 2 2 21 3 4 3 4 25x y x y x y . Suy ra: 2 2 1
25
x y
BÀI TẬP
3
Bài 1. (BK HN, 90) Cho , , 0x y z , CMR: 2 2 2
1 1 1
2
x y z
x yz y zx z xy xyz
.
HD. Theo BĐT Cô-si: 2 2
1 12
2
x yz x yz
x yz x yz
Tương tự: 2 2 2
1 1 1 1 1 1
22 2 2
yz zx xy
x yz y zx z xy xyzx yz y zx z xy
Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm.
Bài 2. (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT:
3
3
3 3
1 1a ab b
a b a b
HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 33 3
1 1 31 1 3 .1.1
a a a
, tương tự …. ta có đpcm.
Bài 3. (HH Tp.HCM, 99) Cho , , 0x y z và 3x y z , CMR:
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
x y z
x y z x y z
HD. BĐT bên trái: 2 2
11 2
1 2
xx x
x
BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số.
III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
VD1. Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có:
2
2
1 1 3
3 1
x x
x x
.
HD. Đặt
2
2
2
1 1 1 1 0
1
x xy y x y x y
x x
. Ta tìm y để PT này có nghiệm.
VD2. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 cos cos cos 6 0, , , 0;a b c a b c a b c
Giải. Xét hàm số 2 2cosy x x . Ta có ' 2 2siny x x , " 2 2cos 0,y x x , nên y’ đơn
điệu tăng trên miền 0; , suy ra ' ' 0 0y y . Từ đó y đơn điệu tăng trên miền 0; .
Do vậy, với , , 0;a b c , ta có:
2
2 2 2 2
2
0 2 2cos 2
0 2 2cos 2 2 cos cos cos 6 0
2cos 20 2
y a y a a
y b y b b a b c a b c
c cy c y
VD3. Cho tam giác ABC có 0 90A B C . Chứng minh: 2cos3 4cos 2 1 2
cos
C C
C
.
HD. Ta có: 2cos3 4cos 2 1 2
cos
C C
C
3 22 4cos 3cos 4 2cos 1 1
2
cos
c C C
C
3 28cos 8cos 8cos 5 0C C C
Từ giả thiết suy ra 160 90 0 cos
2
C C .
Đặt 1cos , 0;
2
t C t
, xét hàm số:
4
3 2 18 8 8 5, 0;
2
y t t t t
Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho , , 0x y z và 1x y z , CMR: 18
2
xyzxy yz zx
xyz
HD. Ta có: 233xy yz zx xyz
Đặt 3
1,0
3
t xyz t , ta chỉ cần CM:
3
2 3
3
183 6 2 0
2
tt t t
t
. Đến đây xét hàm số:
3 16 2, 0;
3
f t t t t
IV. Phương pháp hình học
VD1. Chứng minh BĐT tam giác: 2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b , với mọi bộ
số 1 2 1 2, , ,a a b b .
HD. Xét 1 1;M a b , 2 2;N a b , thế thì: 2 21 1OM a b , 2 22 2ON a b ,
2 21 2 1 2MN a a b b .
Ta bất đẳng thức: OM ON MN , suy ra điều phải chứng minh.
VD2. Chứng minh với mọi x ta có: 2 21 1 1 1x x x x .
HD. Ta có:
2 2
2 2 1 3 1 31 1
2 4 2 4
x x x x x x
Đặt 1 3 1 3; , ;
2 2 2 2
M x N x
Thế thì:
21 3
2 4
OM x
,
21 3
2 4
ON x
, 1NM
Từ BĐT: OM ON NM , suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có:
2 2 2 2 2 24cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y
HD. Đặt 2cos cos ;sinM x y x y , 2sin sin ; sinN x y x y và 0;0O . Từ BĐT
OM ON MN , suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2. CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có: 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z
HD. Xét 3 điểm: 0;0O , 1 3;
2 2
M x y y
, 1 3;
2 2
N x z z
. Từ BĐT
OM ON MN , suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3. CMR với mọi số a, b, c ta có: 2 22 2 2 22a c b a c b a b .
HD. Xét 3 điểm: 0;0O , ;M a c b , ;N a c b . Từ BĐT OM ON MN , suy ra
điều phải chứng minh.
5
Bài 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2 1x y z . Hãy tìm GTLN của P = xy + yz
+2zx.
Giải. Ta có
2 2 2 2 2 2 2| | ( ) 2 | | 2( ) ( ) ( )P y x z zx y x z x z x z x z
2 21 1| | 2 2 ( )
2 2
y y y
xét ( 2;1)u và 2 2(| | 1 ;1/ 2 )v y y y ta có
2 2 2 21 1 1 1 3 1 3 1| || | (2 1) ( 1 ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
P uv u v y y y .
V. Phương pháp quy nạp toán học
VD1. Chứng minh bát đẳng thức Becnuli: 1 1 , , 1nh nh n h .
VD2. Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì: 1 1 1...
1 2
n
n
.
BÀI TẬP
Bài 1. CMR với mọi n nguyên và 2n thì:
1 1 1... 2
1 2
n
n
1 1 1 13...
1 2 2 24n n n
2 2 2
1 1 1... 2
1 2 n
Bài 2. Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin sinn n
VI. Phương pháp phản chứng
VD1. Cho , , 0;1a b c . Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất
đẳng thức sai: 11
4
a b , 11
4
b c và 11
4
c a .
VD2. Chứng minh rằng nếu 2a b cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng:
2c a , 2d b .
BÀI TẬP
Bài 1. (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho , 0x y và 2 3 3 4x y x y ,
CMR 3 3 2 2 2x y x y x y .
Bài 2. (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai 2f x x ax b . CMR với mọi giá
trị của a và b, trong ba số 0f , 1f , 1f có ít nhất một số 1
2
VII. Phương pháp lượng giác hóa
VD1. Biết 2 2 1x y . Chứng minh: 2 2x y .
VD2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:
2 2
11 1
2 21 1
a b ab
a b
.
BÀI TẬP
Bài 1. CMR 1 1 1 1 1 1 , , , 1a b c a b c a b c
b c a a b c
6
HD. Đặt 1
cos
a
x
; 1
cos
b
y
; 1
cos
c
z
với x, , 0;
2
y z
Khi đó đưa BĐT về 2 2 21 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin .sin .sinx y y z z x x y z
Sau đó lưu ý: 1 cos cos sin sin ta suy ra đpcm.
Bài 2. CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn 0 1
1
x y
xy
.
VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
VD1. Cho 3 36a và 1abc . Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a b c ab bc ca .
VD2. Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý
2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,a a a b b b a b a b a b a a a b b b
BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y thì: 2 25 4 2 6 3 0x y xy x y .
Bài 2. Cho tam giác ABC, CMR: 211 cos cos cos ,
2
x A x B C x
Bài 3. Cho 2 2 2 2 2 2 0.p q a b c d CMR:
22 2 2 2 2 2p a b q c d pq ac bd
Bài 4. Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số 2 1
ax by
x
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị
nhỏ nhất bằng – 1.
IX. Phương pháp đánh giá
VD1. Chứng minh: *1 11 ,
2 1 2
n n n
n n
.
VD2. Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1... 1
2 3 n
Giải. Ta có:
2
1 1 1 1
1 1n n n n n
với mọi số tự nhiên 1n , nên:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 1
2 3 1 2 2 3 1n n n n
, với mọi số tự nhiên 1n (đpcm)
BÀI TẬP
Bài 1. CMR với n nguyên dương ta có: 1 1 1 1... 2 1
1 2 3
n
n
HD. Ta có: 1 2 2 2 1
1
n n
n n n n n
Bài 2. CMR với n nguyên dương ta có: 1 3 5 2 1 1. . ...
2 4 6 2 2 1
n
n n
HD. Ta có:
2 2
2 2
2 1 2 12 1 2 1
2 2 14 4 1
k kk k
k kk k
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 1 2a b c d
a b c b c d c d a d a b
X. Phương pháp quy về một biến
7
VD. Cho 2 2 2 2a b c , 1ab bc ca , chứng minh rằng 4 4
3 3
a .
Giải. Từ giả thiết ta có: 2
2
4
2
b c a
a b c
b c a
Từ đó ta có:
2 2 22 2 2 2 2 2 3 4 42
2 2 2
b c a a aa b c a a
Suy ra: 23 4 0a a . Vậy 4 4
3 3
a
XI. Phương pháp đổi biến
VD. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2 2 2 3a b c , chứng minh rằng:
3 1ab bc ca
c a b
.
Giải. 2 2 2 2 2 21 3a b b c c a abc .
Đặt 2
3xa
x y z
, 2 3yb
x y z
, 2 3zc
x y z
, với , , 0x y z
Khi đó (1) trở thành 3 2xy yz zx xyz x y z
Ta có 22 3xy yz zx xyz x y z
2 2 21 0
2
xy yz yz zx zx xy đúng
BÀI TẬP
Bài 1. Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức:
2 8 4
2 2 4 4
xy yz zxP
x y y z z x
.
HD. Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta được a + b + c = 12 và :
6
4 4 4
ab bc ca a b b c c aP
a b b c c a
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4.
Bài 2. CMR nếu a, b, c không âm và 1abc thì: 1 1 1 1
2 2 2a b c
HD. Đặt xa
y
, yb
z
, za
x
thay vào ta được:
2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
y z x x y z
y x z y x z x x y y y z z z x
Đến đây sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz sẽ có kết quả.
B. Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức
Bài 1. Với ba số thực bất kì a, b và c. CMR:
3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
Bài 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR:
1. b c a c a b a b c abc
2. Nếu a b c thì 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b
HD.
8
1. Chú ý đến các BĐT dễ thấy sau đây:
22 2a a b c a b c a b c
22 2b b c a b c a b c a
22 2c c a b c a b c a b
Nhân từng vế ba BĐT trên, ta có BĐT cần chứng minh.
2. Phân tích vế trái thành tích: a b b c a c ab bc ca
Bài 3. (BĐT Nesbit) Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: 3
2
a b c
b c c a a b
. Khi nào
đẳng thức xảy ra?
Bài 4. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT:
2 2 21 1 1 12a b c
b c a
. Khi nào
đẳng thức xảy ra?
HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số. Hoặc theo các bước:
22 2 21 1 1 1 1 13 a b c a b c
b c a b c a
2
1 1 1 1 1 14a b c a b c
a b c a b c
1 1 1 9a b c
a b c
Bài 5. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
HD. Dễ chứng minh 2a b c
a b b c c a
. Ta chứng minh 2a b c
b c c a a b
theo gợi ý:
1 2a aa
b c a b c a b c
Bài 6. Cho ba số dương x, y và z, Gọi s x y z . Chứng minh:
31 1 1 31 1 1 1
x y z s
HD. Sử dụng BĐT Cô-si đi đến:
3 3
2
1 1 1 9 27 3 31 1 1 1 1
x y z s s s s
Bài 7. CMR nếu x, y và z là ba số không âm thì: 242 3
2 3 3
y zx y z x x y z
.
HD. Ta có các bất đẳng thức sau:
1 32 3 2 3 3
2 3 3 2
y z yx y z x x y z x z
232 3 31 1 72 4 4
3 2 12 2
yx y z x z
yx z
9
2
2 21 7 1 44 4 4 4 4
12 2 12 3
yx z x y z x y z
(do 7 4
2
y y )
Bài 8.
1. Nếu ba số a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1
a b c
thì
1 1 1 1
2 2 2 4a b c a b c a b c
.
2. Trong một tam giác với ba cạnh a, b, c và chu vi là 2p, ta có BĐT:
1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
Bài 9. Với mọi x, y mà (x + y) 0 ta luôn có 3 3 3( ) 4( )yy xx . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải. Với mọi số x, y ta có
2( )
4
x yxy . Đẳng thức xảy ra kvck x = y. Do (x + y) 0 nên
3( )( )
4
x yxy x y .
Do đó:
2 3
3 3 3 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )
4 4
x y x yx y x y xy x y x y x y .
Bài 10. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2x y zM
y z z x x y
Giải. Ta có
2
4
x y z x
y z
,
2
4
y z x y
z x
và
2
4
z x y z
x y
nên:
2
x y zM x y z
Do đó,
33 3
2 2 2
xyzx y zM . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 11. Cho 2 số thực dương x, y. Chứng minh
2
9(1 ) 1 1 256yx
x y
.
Giải. Áp dụng BĐT 2(1 )(1 ) (1 )a b ab , đẳng thức xảy ra kvck a = b.
2 2 2
2 2 49 9 9(1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 3) 256y yx x y
x xy y y
.
Bài 12. Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2a bc b ac c ab
.
Giải. Áp dụng BĐT 1 1 1 1 1 1 9( )( ) 9x y z
x y z x y z x y z
với x , y, z > 0. Ta
được
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9 9 1
2 2 2 2 2 2 ( )a bc b ac c ab a bc b ac c ab a b c
.
Bài 13. Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức 1 1 1 1
x y z
. Chứng minh:
10
2 2 2
4
x y z x y z
x yz y zx z xy
.
Giải. Ta có 1 1 1 1
x y z
xy + yz + zx = xyz. Do đó:
2 3 3 3
2 2 ( )( )
x x x x
x yz x xyz x xy yz zx x y x z
.
2 3 3 (1)
8 8 ( )( ) 8 8 4
x x y x z x x y x z x
x yz x y x z
Tương tự:
2 3 (2)
8 8 4
y y z y x y
y zx
và
2 3 (3)
8 8 4
z z x z y z
z xy
.
Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm.
Bài 14. Cho x, y z là các số dương và 3
2
x y z . CMR:
1 1 1 7
2 2 2 2
x y z
x y y z z x
.
Giải. Cách 1: Theo BĐT Côsi ta có 1 4( 2 ) 4
2 9 3
x y
x y
, 1 4( 2 ) 4
2 9 3
y z
y z
và
1 4( 2 ) 4
2 9 3
z x
z x
. Cộng 3 BĐT này ta được 1 1 1 4( ) 4
2 2 2 3
x y z
x y y z z x
1 1 1 ( ) 4
2 2 2 3
x y zx y z
x y y z z x
(1).
Vì 3
2
x y z nên 1
2 3
x y z
. Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 ( )
2 2 2 2 2 2 2 3
x y zx y z x y z
x y y z z x x y y z z x
(2)
Từ (1) và (2) ta được 1 1 1 1 4
2 2 2 2
x y z
x y y z z x
. Suy ra BĐT cần CM.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:
1 1 1[( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]( ) 9
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
nên
1 1 1 9 3
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x y y z z x x y y z z x x y z
Do đó,
3VT x y z
x y z
. Đặt t = x + y + z, xét hàm số: 3( )f t t
t
với 3(0; ]
2
t .
Ta có
2
/
2 2
3 3 3( ) 1 0, (0; ]
2
tf t t
t t
nên f(t) giảm trên 3(0; ]
2
. Vì vậy,
3 7 3( ) ( ) , (0; ]
2 2 2
f t f t
11
Do đó, VT f(t) 7/2. Đẳng thức xảy ra kvck
2 2 2
1
3 2
2
x y y z z x
x y z
x y z
Bài 15. (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm GTNN của
P = 3 3 3 3 3 33 3 3 2 2 24( ) 4( ) 4( ) 2( )
x y zy z
z
x y x
y
z
x
Giải. Với mọi số a, b không âm, ta có
2( )
4
a bab và 0 (a + b) nên
2 3
3 3 3 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )
4 4
a b a ba b a b ab a b a b a b . Đẳng thức xảy ra kvck a
= b 0.
Do đó, P 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( )
x y zx y y z z x
y z x
(1).
Mặt khác:
2 2
2 2
2 2
2 . 2
2 . 2
2 . 2
x x xx x
y y y
y y yy y
z z z
z z zz z
x x x
Nên: 32 2 2 2( ) 2.3 . . 6
x y z x y z x y zx y z
y z x y z x y z x
(2).
Từ (1) và (2) ta được P 12. Đẳng thức xảy ra kvck
2 2 2
1
, ,
x y z
x y zx y zx y z
y z x
.
Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1.
Bài 16. Cho x,y > 0, x + y = 1. Chứng minh: 2 2
1 1 6
xy x y
.
Giải. Ta có:
2 2 2 2 2 22 2
1 1 2 1 1 2 2 42 6
4 2 ( ) ( )2 ( )xy x y xy xy x y x y x yxy x y
.
Bài 17. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . CMR: 2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
Giải. Ta có
2 2
2 21 1 2 2
a ab ab aba a a
b b b
.
Tương tự : 2 2;1 2 1 2
b bc c cab c
c a
Suy ra : 21 1 9 33
2 6 6 2
VT a b c ab bc ca a b c a b c .
Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1.
Bài 18. Cho 0, 0x y và 1x y . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
1 1
x yP
y x
.
12
HD. Ta có:
22 2 2 2 2
1 1 1 1 2
x y x y xyx y x y x y xyP
y x x y xy x y xy xy
Đặt 0t xy , ta có 1= 11 2
4
x y xy t xy
Quy về tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 1, 0;
2 4
tf t t
t
.
Bài 19. (ĐH,A,2009) CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn 3x x y z yz , ta có
3 3 33 5x y x z x y x z y z y z .
Giải. Đặt , , , 0
x y a
x z b a b c
y z c
ta có
1
2
1
2
1
2
x a b c
y a c b
z b c a
, thay và giả thiết, ta được:
22 221 1 1 13 3
2 2 2 2
a b c a b c a c b b c a a b c c a b
2 2 2c a b ab
Ta có:
2
2 2 22 2 2 13 3 2
4 4
a b
c a b ab a b ab a b a b a b c
(1)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
3 3 3 2 2 33 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c
2 33 5a b c abc c
(1) cho ta 22a b c c và 2 233 3
4
ab a b c , nên:
2 3 3 33 2 3 5a b c abc c c c (đpcm)
Bài 20. (ĐH-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 3 4 2x y xy . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y
Giải. Ta có:
22 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 1 3 3 2 1
4
x y
A x y x y x y x y x y
22 2 2 29 2 14 x y x y
Từ: 3 3 24x y xy x y x y và giả thiết ta có:
3 2 22 1 2 2 0 1x y x y x y x y x y x y
Ta lại có:
2 2 2 2 2 12
2
x y x y x y
Đặt 2 2t x y , bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số 29 2 1
4
f t t t với 1
2
t .
13
Ta có: 9 1' 2 0,
2 2
f t t t
Nên:
1;
2
1 9min
2 16t
f t f
Suy ra: 9
16
A ; đẳng thức xảy ra khi 1
2
x y . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9
16
.
Bài 21. (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1x y . Tìm
GTLN và GTNN của biểu thức 2 24 3 4 3 25S x y y x xy .
Giải. Ta có:
33 3 2 2 2 212 16 34 12 36 16 34S x y x y xy x y xy x y x y xy
2 216 2 12x y xy
Đặt t xy , thì
2
0
4
x y
t xy
, hay: 10
4
t
Do đó: 216 2 12S t t , 10
4
t
Xét hàm số: 216 2 12f t t t trên đoạn 10;
4
1' 32 2 0
16
f t t t ; 1 191 1 250 12, ,
16 16 4 2
f f f
10;
4
1 25max
4 2t
f t f
,
10;
4
1 191min
16 16t
f t f
Giá trị nhỏ nhất của S bằng 191
16
; khi
1
2 3 2 3; ;1 4 4
16
x y
x y
xy
hoặc
2 3 2 3; ;
4 4
x y
Giá trị lớn nhất của S bằng 25
2
; khi
1
1 1; ;1 2 2
4
x y
x y
xy
.
Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 1x y . Tìm
GTLN và GTNN của biểu thức
2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y
.
Giải.
Cách 1.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 6 2 6 2 6
1 2 2 2 2 2 3
x xy x xy x xy
P
xy y x y xy y x xy y
Khi 20 1x y thì 0P
Khi 0x , đặt y tx ta có:
2
22 2
2 1 6 2 1 6
1 2 31 2 3
x t t
P
t tx t t
23 2 6 2 0Pt P t P (1)
14
Nếu P = 0 thì phương trình (1) có nghiệm 1
6
t
Nếu 0P thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
2' 6 3 2 0P P P
2 3 18 0 6 3P P P
Ta thấy 3 1,
10 10
x y thì P = 3.
Ta thấy 3 2,
13 13
x y thì 6P .
Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6.
Cách 2. Đặt sin , cosx a y a ta có:
2
2
2 sin 6sin cos 1 cos 2 6sin 2
1 2sin cos 2cos 2 sin 2 cos 2
a a a a aP P
a a a a a
6 sin 2 1 cos 2 1 2P a P a P
Điều kiện tồn tại a: 2 2 2 26 1 1 2 2 6 36 0 6 3P P P P P P
Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6.
Bài 23.(ĐH-D-2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức
2 2
1
1 1
x y xy
P
x y
.
Giải. Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 41 1 1
x y xy x y xy
P P
x y x y xy
Khi 0, 1x y thì 1
4
P
Khi 1, 0x y thì 1
4
P
Vậy, GTLN của P bằng 1
4
, GTNN của P bằng 1
4
.
Bài 24. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . Tìm GTNN
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- On thi Dai hoc ve BDT.pdf