Mô hình Hóa Toán học trong dạy học giải quyết vấn đề

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Tác giả: Nguyễn Cao Luận I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế dạy học môn toán ở trường THCS việc trang bị những kĩ năng tư duy, giải quyết vấn đề, cũng như hiểu bản chất các khái niệm, tính chất toán học dường như chưa được quan tâm thỏa đáng. Hơn nữa phương pháp dạy học ít được thay đổi để làm nổi bật mối quan hệ giữa ý nghĩa toán học với các tình huống trong thế giới thực. Điều này dẫn đến những nguyên nhân khiến cho HS ngày một xa rời toán học, hổng kiến thức nền tảng. Giải quyết vấn đề được biết đến dưới nhiều hình thức trong dạy ­ học như dạy học dựa trên vấn đề (Problem­ Based Learning), học tập dự án (Project­Based Learning). Mô hình hóa (MHH) toán học trong dạy học giải quyết vấn đề có thể được tiếp cận theo hai hướng: ­ MHH như một phương tiện tiếp cận: Ở đó MHH được sử dụng theo một cấu trúc làm môi trường học toán trong lớp học. ­ MHH như một nội dung tiếp cận: Tất cả những vấn đề trong thế giới thực, bao gồm cả toán học ngoài cách tiếp cận truyền thống đều có thể tiếp cận bằng MHH toán học, từ đó có thể tạo ra một mô hình toán học từ vấn đề đã cho. Như vậy MHH toán học vừa là phương tiện nghiên cứu các nội dung toán học chuyên biệt, vừa được “nhúng” vào việc khảo sát các vấn đề của thế giới thực trong các môn học khác như vật lí, sinh học, địa lí... Ở bài viết này, tôi xin được chia sẻ sơ lược về MHH toán học trong dạy học giải quyết vấn đề và cách tiếp cận MHH đối với một bài toán có ý nghĩa thực tiễn. II. MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG 1. Qui trình MHH Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trưng của một tình huống thực tế nào đó. Nó bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó. MHH toán học được ứng dụng nhiều trong dạy học và nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống, trong một số mục đích nhất định. Chẳng hạn như để hiểu các hiện tượng của thế giới thực, giải quyết các vấn đề trong toán học và trong thực tiễn cuộc sống, lựa chọn và phản ánh quan điểm cá nhân trước các vấn đề về tự nhiên ­ xã hội, ra quyết định tốt hơn, Hơn nữa trong bất kì ứng dụng toán học nào, một mô hình toán học luôn có sự liên quan một cách rõ ràng hoặc tiềm ẩn [5]. Quy trình các bước MHH toán học: Một mô hình toán học bao gồm lĩnh ngoài toán học được quan tâm N, một số lĩnh vực toán học T, và một “phép chuyển” như là sự thông dịch từ lĩnh vực ngoài toán học vào lĩnh vực toán học. Các đối tượng, quan hệ, hiện tượng, các giả định, các câu hỏi, trong N được xác định và lựa chọn phù hợp với mục đích và tình huống và sau đó được thông dịch thành các đối tượng, quan hệ, hiện tượng, các giả định, các câu hỏi, liên quan đến T. Trong T, thảo luận toán học, thao tác và suy luận được thực hiện, kết quả của nó sẽ được dịch ngược trở lại N và được hiểu là kết luận liên quan đến lĩnh vực đó. Chu kỳ mô hình hoá này có thể lặp lại nhiều lần, trên cơ sở xác nhận và đánh giá mô hình liên quan đến lĩnh vực N, cho đến khi các kết luận kết quả liên quan đến N được thỏa đáng so với mục đích của việc xây dựng mô hình. Tóm lại, thuật ngữ MHH đề cập đến toàn bộ quá trình, và tất cả mọi thứ liên quan đến nó – xuất phát từ cấu trúc N, để quyết định một lĩnh vực T thích hợp và một sự dịch chuyển thích hợp từ N sang T, để làm việc toán học trong T, để giải thích và đánh giá các kết luận liên quan đến N và lặp lại chu kỳ nhiều lần nếu cần thiết hoặc mong muốn.[5] Sơ đồ dưới đây là một sơ đồ biểu diễn một chu kỳ của MHH toán học nói chung, được Kaiser [2], Blum và các cộng sự, 2002 [4], Ok Ki Kang [3] và nhiều tác giả khác đưa ra. Nó bao gồm bốn bước: toán học hóa, giải quyết vấn đề toán học, diễn giải, phân tích và kiểm định. Quy trình này mô tả các hoạt động xây dựng mô hình. Quá trình xây dựng mô hình bắt đầu với một vấn đề trong thế giới thực - một vấn đề phát sinh từ một tình huống thực tế, sử dụng dữ liệu thực tế. Thuật ngữ thế giới thực được sử dụng để mô tả thế giới bên ngoài toán học, đó là một phần rộng lớn được quan tâm trong những vấn đề và kết quả cụ thể. Hình 2.1.Cấu trúc mô hình toán học Thế giới ngoài toán học Toán học Hình 2.2. Sơ đồ quy trình các bước mô hình hóa toán học Lưu ý rằng quá trình MHHTH được tiến hành theo trình tự và có tính tuần hoàn cho đến khi vấn đề thực tiễn được giải quyết. Tức là sau khi THH vấn đề thực tiễn, giải quyết vấn đề toán học đưa ra kết quả có thể phù hợp hoặc không phù hợp với kết quả thực tế, thậm chí không có kết quả toán học do quá trình THH không đúng đắn. Nếu kết quả thực tế không phù hợp hay không được giải quyết thì ta lặp lại quá trình 1, 2, 3 (theo sơ đồ) bằng cách: 1) Xét lại các yếu tố có chính xác, phù hợp với tình huống thực tế hay không. 2) Đưa ra cách tiếp cận mới từ quá trình THH. Kết quả toán học 1. Toán học hóa  Hiểu vấn đề  Thiết lập giả thiết, đơn giản hóa, lí tưởng hóa vấn đề  Miêu tả vấn đề trong môi trường toán học 2. Giải quyết vấn đề toán học  Sử dụng các phương pháp toán học và công cụ ứng dụng công nghệ thông tin để dẫn tới kết quả toán học. 3. Diễn giải  Phiên dịch kết quả toán học theo ngữ cảnh ban đầu của vấn đề thực tế. 4. Phân tích và kiểm định  Kiểm định lại giả thiết và phân tích hạn chế của mô hình toán học và kết quả toán học; các phương pháp toán học và những công cụ đã dùng  Phát triển hoặc cải tiến mô hình toán học; đưa ra cách giải quyết và báo cáo. Vấn đề thực tế Mô hình toán học Kết quả thực tế Cách giải quyết 1 2 3 4 2. Dạy học giải quyết vấn đề sử dụng MHH toán học Trong dạy học giải quyết vấn đề, các cá nhân cần thiết phải sử dụng các kiến thức về toán học trong chương trình để áp dụng vào các tình huống thực tế hoặc ít nhất là các tình huống mô phỏng thực tế. Lesh và Zawojewski (2007) đưa ra một định nghĩa về giải quyết vấn đề như sau: Một nhiệm vụ hoặc một hoạt động hướng tới mục tiêu trở thành một vấn đề (hoặc có vấn đề) khi "người giải quyết vấn đề" (có thể là một nhóm tham gia hợp tác) cần phát triển theo cách tư duy hiệu quả hơn về tình huống đã cho. Suy nghĩ theo một cách hiệu quả do đó đòi hỏi người giải quyết vấn đề giải thích một tình huống toán học, thường bao gồm các chu kỳ lặp lại để diễn đạt, kiểm tra và sửa đổi các giải thích toán học của các khái niệm toán học rút ra từ các nguồn khác nhau, và Lesh và Zawojewski (2007) cho rằng mô hình toán học là một trong những cách tiếp cận xử lý việc giải quyết vấn đề, đóng vai trò không thể thiếu cho sự phát triển của một sự hiểu biết của bất kỳ khái niệm hay quá trình toán học nào. Quan điểm dạy học dựa vào vấn đề PBL (Problem­Based Learning) cũng được các nhà nghiên cứu ủng hộ như một định hướng cải cách dạy học toán. Tại Singapor, Bộ giáo dục đã giới thiệu PBL như một phương pháp dạy học hỗ trợ thường xuyên. Thiết lập PBL được coi là một nền tảng thích hợp để thực hiện các hoạt động MHH toán học (Hjalmarson & Diefes-Dux, 2007). Thiết lập PBL gồm ba thành tố chính: nhiệm vụ MHH, giáo viên và học sinh. Sự tương tác của ba thành tố này làm cho việc giải quyết vấn đề có ý nghĩa và sự học tập luôn được thúc đẩy. Các công việc mô hình hóa tạo ra sự kích thích có tính thách thức học sinh tạo ra nhiều quan điểm từ đó. Nhiệm vụ mô hình là một vấn đề phức tạp, đòi hỏi học sinh làm việc cộng tác để hiểu được nhiệm vụ, phát triển, kiểm tra và sửa đổi các giải pháp của họ. Giáo viên hoạt động như một huấn luyện viên nhận thức. Giáo viên có thể đóng vai trò là một phần của nhóm học tập nhưng không cung cấp các giải pháp. Điều này cho phép giáo viên hiểu được những gì học sinh biết và có thể làm được. Giáo viên đưa ra nhận xét, cung cấp phản hồi hỗ trợ, và cũng có thể mở rộng tư duy của học sinh bằng cách thách thức về các giải pháp của họ. Theo đó, PBL giúp phát triển tính tự định hướng của học sinh trong việc học vì giáo viên không đưa ra những nguyên tắc thực hành hoặc có thể vắng mặt trong nhóm hầu hết thời gian. Nhưng chính vì điều này khiến cho học sinh mất nhiều thời gian để đạt được mục tiêu học tập. Trong dạy học giải quyết vấn đề G. Blum và Borromeo Ferri đã đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề đơn giản gồm 4 giai đoạn như sau: Hình 2.3. Phương pháp giải quyết vấn đề mô tả bởi Blum và Borromeo Ferri Tuy nhiên, các phương pháp giải quyết vấn đề thuộc loại này cũng chứa đựng những nhược điểm. Ví dụ, Meyer và Voigt (2010) đã chỉ ra rằng các phương pháp giải quyết vấn đề nhằm vào việc hiểu các cách giải quyết cuối cùng một cách nhanh chóng hơn là nhằm vào hiểu quá trình giải quyết vấn đề thực tế, và có ít các môn học được bổ sung áp dụng cho HS trong quá trình học. Franke và Ruwisch (2010) chỉ ra rằng có thể quá sức để yêu cầu học sinh có ít kinh nghiệm về giải quyết vấn đề để tìm kiếm các giải pháp trong khi duy trì sử dụng một phương pháp theo một quy trình tổng quát. 3. Ứng dụng MHH toán học Bài toán: Cỏ trên đồng mọc với tốc độ đều đặn mỗi ngày. Có rất nhiều bò ăn cỏ, số bò càng ít thì cỏ càng lâu hết. 200 con bò ăn hết đồng cỏ trong 100 ngày. 150 con bò ăn hết đồng cỏ trong 150 ngày. Hỏi 100 con bò ăn hết đồng cỏ trong bao nhiêu ngày? Đây là bài toán dựa trên bài toán cổ của Newton, dành cho học sinh lớp 6. Ta có thể giải như sau: Giả sử một con bò ăn hết 1 đơn vị cỏ trong một ngày. Số cỏ 200 con bò ăn hết trong 100 ngày là 200  100 = 20000 (đơn vị) Số cỏ 150 con bò ăn hết trong 150 ngày là 150  150 = 22500 (đơn vị) Từ đó suy ra, số cỏ mọc thêm trong một ngày bằng: (22500  20000) : (150  100) = 50 (đơn vị) Số cỏ mọc sẵn trên cánh đồng bằng 20000  100  50 = 15000 (đơn vị) Theo giả thiết đặt ra ban đầu ta thấy cứ mỗi ngày 100 con bò ăn hết 100 đơn vị cỏ, mà cỏ mọc thêm 50 đơn vị mỗi ngày nên suy ra số cỏ trên cánh đồng thực chất mỗi ngày giảm đi 50 đơn vị. Vậy, để ăn hết cánh đồng cỏ 15000 đơn vị, 100 con bò cần ăn trong số ngày là 15000 : 50 = 300 (ngày). Ta thấy rằng lời giải bài toán có thể gây khó hiểu cho học sinh lớp 6 và các học sinh lứa tuổi khác, bởi khi đưa đề bài lên một trang báo mạng, đã có thống kê hàng triệu người giải sai. Thực chất việc tính toán để tìm ra kết quả của bài toán là dễ dàng với học sinh. Khó khăn lớn nhất lại nằm ở việc đọc hiểu bài toán, cách suy luận để tiếp cận bài toán. Ta hãy dùng công cụ MHH để giải quyết vấn đề trên. Đây là một bài toán liên quan đến thế giới thực, chứ chưa hẳn là một vấn đề của thế giới thực, bởi vì một số giả định phù hợp với việc giải quyết dựa vào kiến thức toán học của học sinh lớp 6 đã được đưa ra: Cỏ mọc đều đặn mỗi ngày; 200 con bò ăn hết đồng cỏ trong 100 ngày. 150 con bò ăn hết đồng cỏ trong 150 ngày. Trên thực tế lượng cỏ mỗi con bò ăn trong một ngày là khác nhau, và khi số lượng đàn bò tăng lên (hay giảm đi) thì lượng cỏ mà đàn bò đã ăn không quan hệ tuyến tính với số lượng bò trong đàn. Hơn nữa lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày là khác nhau trên cùng một diện tích, chưa kể đến những yếu tố khác tác động đến tốc độ cỏ mọc như: thời tiết, tác động của đàn bò, yếu tố sinh trưởng của từng loại cỏ, Hiểu vấn đề: Bài toán xoay quanh mối quan hệ giữa số lượng đàn bò và lượng cỏ ở trên đồng. Vấn đề là lượng cỏ trên đồng không phải một số cố định mà tăng theo thời gian. Nếu đàn bò càng đông thì cỏ mọc thêm càng chậm, thậm chí chưa kịp mọc đã bị bò ăn hết. Như vậy với số lượng đàn bò nêu trong giả thiết đã vượt mức giới hạn về số lượng một đàn bò cần thiết để trong một ngày chỉ ăn đủ lượng cỏ mọc thêm trên cánh đồng đó. Từ dữ kiện bài toán cho ta biết tổng lượng cỏ có sẵn và lượng cỏ mọc thêm trong 100 ngày và trong 150 ngày. Những câu hỏi cần được đặt ra trong giai đoạn này có thể là: Vấn đề ở đây là gì? có những yếu tố nào trong đó? Mối quan hệ giữa các yếu tố đó? Dữ kiện được nêu ra cho ta biết điều gì? Thiết lập mô hình: Các dữ kiện cần thiết ở đây là: Cỏ mọc đều đặn mỗi ngày; lượng cỏ (tính theo một đơn vị, chẳng hạn như kg, bó hoặc đấu) có sẵn và mọc thêm trong 100 ngày và 150 ngày; số lượng bò ăn hết cỏ trong khoảng thời gian tương ứng. Ta có thể giả định: Trung bình mỗi con bò trong một ngày ăn hết 1đơn vị cỏ. Sử dụng các phép toán cộng và nhân trên các dữ liệu: Lượng cỏ mà đàn bò 200 con ăn hết trong 100 ngày là: 200  100 = 20000 (đơn vị) = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày. Lượng cỏ mà đàn bò 150 con ăn hết trong 150 ngày là: 150  150 = 22500 (đơn vị) = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày. Muốn biết đàn bò 100 con ăn hết đồng cỏ trong bao nhiêu ngày thì ta phải biết tổng lượng cỏ đàn bò đã ăn. Do đó phải biết lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày. Từ đó sẽ biết được số lượng bò vượt mức ăn đủ lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày trong số 100 con bò. Do vậy sẽ tìm được thời gian mà số bò vượt mức ăn hết lượng cỏ ban đầu có sẵn trên cánh đồng. Sử dụng toán học: Rõ ràng: (lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày)  (lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày) = lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày  lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày = lượng cỏ mọc thêm sau 50 ngày = 22500  20000 = 2500 (đơn vị). Nên lượng cỏ mọc thêm trong 1 ngày là 2500 : 50 = 50 (đơn vị). Đủ cho 50 con bò ăn trong một ngày. Số còn lại phải ăn lượng cỏ có sẵn ban đầu. Lượng cỏ ban đầu có sẵn là: 20000  100  50 = 15000 (đơn vị). Vậy 100 con bò sẽ ăn hết cỏ trên cánh đồng trong 15000 : (100  50) = 300 ngày. Đánh giá/Giải thích kết quả mô hình: Mô hình dựa vào một giả định quan trọng có liên quan mật thiết đến việc hiểu vấn đề bài toán như đã nêu, cùng với suy luận hợp hợp logic. Việc tính toán chỉ là công việc đơn giản. Có thể thấy kết quả của bài toán cũng chính là kết luận của vấn đề đã nêu ra. Đối với học sinh lớp 8, ta có thể sử dụng MHH giải quyết bài toán trên với mục đích khắc sâu chủ đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình như sau: Thiết lập mô hình: Ta có thể giả định: Trung bình mỗi con bò trong một ngày ăn hết 30 kg cỏ. Gọi X (kg) là lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày. Cần thiết lập một mối quan hệ của các dữ liệu đã biết theo X. Ở đây cần lưu ý lượng cỏ có sẵn ban đầu là không đổi. Chỉ có lượng cỏ mọc thêm trong những khoảng thời gian khác nhau là khác nhau, có thể biểu diễn tuyến tính theo X. Câu hỏi có thể đặt ra trong giai đoạn này như: Các đại lượng nào có thể biểu diễn được theo X? Có thể thiết lập được một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các dữ liệu theo X không? Nếu được thì làm như nào? Lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày là 100X; Lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày là 150X; Lượng cỏ có sẵn ban đầu = Lượng cỏ 150 con bò đã ăn trong 150 ngày  lượng cỏ mọc thêm trong 150 ngày = Lượng cỏ 200 con bò đã ăn trong 100 ngày  lượng cỏ mọc thêm trong 100 ngày. Sử dụng toán học: Ta có phương trình: 150.30.150  150X = 200.30.100  100X  50X = (150.150  200.100).30  X = 50.30 = 1500 Lượng cỏ có sẵn ban đầu là 150.150.30  150.50.30 = 15000.30 = 450000 (kg) Vậy để 100 con bò ăn liên tục đến khi hết cỏ trên đồng cần 450000 (100  50).30 = 300 (ngày) Đánh giá/giải thích kết quả mô hình: Việc giả định mỗi con bò trong một ngày ăn hết 30kg cỏ là phù hợp với thực tế, tuy nhiên lại gây ra khó khăn vì phải tính toán con số lớn. Vì đơn vị sử dụng trong trường hợp này không ảnh hưởng tới kết quả bài toán cũng như tới giải pháp cho vấn đề nên có thể thay thế nó bằng một đơn vị phù hợp hơn, có tính tổng quát cao hơn, chẳng hạn như Mỗi con bò trong một ngày ăn hết 1đơn vị cỏ hoặc 1 đấu cỏ. Do đó ta có thể cải tiến mô hình bằng cách đánh giá việc thiết lập mô hình trong sự liên hệ với tính đúng đắn trong giai đoạn sử dụng toán học và sự thỏa đáng của kết quả cuối cùng. Đối với học sinh lớp 9 đã được học về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta cũng có thể sử dụng MHH nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bằng cách lập hệ phương trình. Thiết lập mô hình: Ta có thể giả định: Trung bình mỗi con bò trong một ngày ăn hết 1 đấu cỏ. Gọi X (đấu) là lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày. Tức là nếu cho X con bò ăn cỏ thì chúng sẽ ăn vừa đủ số cỏ mọc thêm mỗi ngày. Gọi Y (đấu) là lượng cỏ có sẵn ở thời điểm ban đầu. Câu hỏi đặt ra: Đại lượng nào biểu diễn được theo X? Đại lượng nào biểu diễn được theo Y? Mối quan hệ giữa X và Y? Có thể biểu diễn mối quan hệ ấy như nào? Lượng cỏ mà đàn bò 200 con ăn trong 100 ngày = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm trong 100 ngày; Lượng cỏ mà đàn bò 150 con ăn trong 150 ngày = lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm trong 150 ngày; Nếu biết được X sẽ biết được Y và ngược lại. Sử dụng toán học: Lượng cỏ mà 200 con bò ăn hết trong 100 ngày là: 200.100 = Y + 100X (1) Lượng cỏ mà 150 con bò ăn hết trong 150 ngày là: 150.150 = Y + 150X (2) Khi đó X, Y là nghiệm của hệ phương trình   200.100 = Y + 100X 150.150 = Y + 150X Giải hệ ta có nghiệm X = 50; Y = 15000. Đồ thị để biểu diễn nghiệm của hệ phương trình: Thời gian để đàn bò 100 con có thể ăn hết cỏ trên cánh đồng là 15000 : (100  50) = 300 ngày. Đánh giá/Giải thích kết quả mô hình : Kết quả bài toán cũng là kết luận cuối cùng trong việc giải quyết vấn đề nêu ra. Đến đây học sinh có thể đã hiểu được vấn đề “Với đàn bò 100 con trong vòng 300 ngày thì có 50 con bò ăn hết lượng cỏ có sẵn và 50 con còn lại có thể ăn hết lượng cỏ hàng ngày mọc thêm trên cánh đồng”. Câu hỏi củng cố: Nếu sau khi cỏ trên cánh đồng đã bị bò ăn hết, sau đó không cho bò ăn trên đồng cỏ đó nữa thì sau bao lâu cỏ sẽ mọc lại như ban đầu ? Bài toán trên là một mô hình đơn giản của vấn đề cân bằng sinh thái. Nếu nguồn tài nguyên không được tái sinh hoặc tái sinh rất chậm so với tốc độ khai thác của đối tượng sử dụng thì nguy cơ cạn kiệt tài nguyên trong một thời gian ngắn chắc chắn sẽ xảy ra. Ở đây X vừa là tốc độ cỏ tái sinh (mọc thêm), vừa là số lượng bò ăn cỏ (đối tượng sử dụng tài nguyên), do đó nếu cỏ không mọc được hoặc mọc rất chậm (tốc dộ tái sinh) thì số lượng bò ăn cỏ sẽ tỉ lệ nghịch với thời gian cỏ bị cạn kiệt. III. Kết luận Mô hình toán học được xem như là một hoạt động giải quyết vấn đề với đặc trưng là sử dụng các công việc mô hình để thúc đẩy việc học tập của học sinh. Qua đó học sinh được rèn luyện những kĩ năng toán học, kĩ năng giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm, tăng cường hiểu biết các vấn đề tự nhiên – xã hội thông qua quá trình học tập. Ứng dụng MHH dưới góc độ dạy học giải quyết vấn đề là nơi có sự tương tác giữa học sinh và giáo viên nhằm cung cấp một môi trường học tập có khả năng nhận thức về tự điều chỉnh bản thân. Từ quan điểm mô hình hóa, trọng tâm là về quá trình phát triển các khái niệm biểu diễn và mô tả toán học của các tình huống cụ thể. Để học sinh xây dựng các mô hình hiệu quả và vận hành chúng, các công việc mô hình hoá phải được thiết kế phù hợp để đạt được mục tiêu học tập, cho phép học sinh có được kỹ năng và thói quen giải quyết vấn đề ứng dụng thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] CHAN Chun Ming Eric. “Mathematical Modelling in a PBL Setting for Pupils: Features and Task Design”. Mathematical Applications and Modelling_ Yearbook 2010, Association of Mathematics Educators - World Scientific Publishing Company (2010), 112­115. [2] Gabriele Kaiser (2004), Mathematical Modelling in School – Example and Experiences. [3] Ok Ki Kang (2012), Teaching mathematical Modeling in school mathematics, Sung Kyun Kwan University, Korea. [4] Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H.-W., & Niss, M. (2002). ICME Study 14: Applications and modelling in mathematics education - discussion document. Educational Studies in Mathematics, 51(12), 149-171. [5] Mogens Niss, Werner Blum and Peter Galbraith (2007). ICME Study 14: Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer (2007), 3­7. [6] Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics, pp. 763-803. Charlotte, NC: Image Age Publishing. [7] roi-3532743.html.